Corso di Economia degli Intermediari Finanziari

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1 Corso di Economia degli Intermediari Finanziari Elementi di matematica finanziaria utili alla comprensione di alcune parti del Corso Definizione di operazione finanziaria Successione di importi di segno - e + da considerare congiuntamente ad una successione di tempi ai quali detti importi maturano, ovvero sono incassati se entrate o versati se uscite. 1

2 Il regime finanziario dell interesse semplice E noto che la disponibilità di un capitale altrui è un servizio vantaggioso avente un costo commisurato all ammontare del capitale prestato nonché alla durata del prestito; L uso di denaro altrui comporta la corresponsione di un compenso: l interesse; Il debitore al termine del periodo di prestito dovrà quindi restituire un importo, detto Montante (M), pari a: Capitale prestato (C) + Interesse pattuito (I) Il regime finanziario dell interesse semplice L interesse (I) da aggiungere al capitale deve tenere conto: della somma data a prestito; della durata del prestito. Per tenere conto del primo aspetto, l interesse viene definito in termini % sul capitale prestato; Per tenere conto del secondo elemento gli interessi così calcolati sono moltiplicati per la durata del prestito. 2

3 Il regime finanziario dell interesse semplice L Interesse (I) da aggiungere al Capitale (C) è quindi dato da: I = C x i x t Il Montante (M) diviene quindi: M = C + I = C + (C x i x t) da cui, raggruppando, : M = C x (1 + i x t) Questo è il regime finanziario di capitalizzazione semplice. Il regime finanziario dell interesse semplice Il problema può naturalmente essere inverso a quello considerato: noto il Montante (M) che una certa operazione assume ad una data futura, si cerca quale valore è corretto pretendere oggi (C - valore attuale) per la cessione del diritto di avere M a scadenza. In termini generali: C = M - I da cui: C = M - C x i x t ossia: C = M / (1 + i x t) 3

4 Il regime finanziario dell interesse semplice Esempio Capitale Investito (C) = ; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. La Vostra Idea? Il regime finanziario dell interesse semplice Esempio Capitale Investito (C) = ; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. Montante M = x (1 + 0,12 x 3/12) = Valore Attuale VA = / (1 + 0,12 x 3/12) =

5 Il regime finanziario dello sconto commerciale Si richiede una precisazione con riguardo all operazione che ricerca il valore attuale (noto il montante a scadenza, si cerca il valore odierno equivalente); Nella pratica commerciale, per le operazioni di sconto cambiario o di anticipazione su crediti, non si usa la formula appena vista (C = M / (1 + i x t)), ma: C = M - M x i x t = = M x (1 - i x t) Il regime finanziario dello sconto commerciale Esempio Capitale Investito (C) = ; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. La Vostra Idea? 5

6 Il regime finanziario dello sconto commerciale Esempio Capitale Investito (C) = ; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%. 1 a soluzione (interesse semplice) VA = / (1 + 0,12 x 3/12) = a soluzione (interesse commerciale) VA = x (1-0,12 x 3/12) = Il regime finanziario della capitalizzazione composta In questo regime (capitalizzazione composta) gli interessi maturati alla fine del periodo di riferimento considerato vengono sommati al capitale di partenza divenendo anch essi fruttiferi di interessi; La formula del Montante è: M = C x (1 + i) n La formula del Valore Attuale è: VA = M / (1 + i) n 6

7 Il regime finanziario della capitalizzazione composta Esempio Capitale Investito (C) = ; Periodo (t) = 3 anni; Tasso annuo (i) = 12%. La Vostra Idea? Il regime finanziario della capitalizzazione composta Esempio Capitale Investito (C) = ; Periodo (t) = 3 anni; Tasso annuo (i) = 12%. Montante M = x (1 + 0,12) 3 = Valore attuale VA = / (1 + 0,12) 3 =

8 Confronto fra i tre regimi Interesse semplice Capitale Tasso annuo Mesi Montante Valore attuale 100,00 8% 3 102,00 98,04 100,00 8% 6 104,00 96,15 100,00 8% 9 106,00 94,34 100,00 8% ,00 92,59 100,00 8% ,00 86,21 100,00 8% ,00 80,65 100,00 8% ,00 75,76 100,00 8% ,00 71,43 Confronto fra i tre regimi Interesse composto Capitale Tasso annuo Mesi Montante Valore attuale 100,00 8% 3 101,94 98,09 100,00 8% 6 103,92 96,23 100,00 8% 9 105,94 94,39 100,00 8% ,00 92,59 100,00 8% ,64 85,73 100,00 8% ,97 79,38 100,00 8% ,05 73,50 100,00 8% ,93 68,06 8

9 Confronto fra i tre regimi Interesse commerciale Capitale Tasso annuo Mesi Montante Valore attuale 100,00 8% 3 \ 98,00 100,00 8% 6 \ 96,00 100,00 8% 9 \ 94,00 100,00 8% 12 \ 92,00 100,00 8% 24 \ 84,00 100,00 8% 36 \ 76,00 100,00 8% 48 \ 68,00 100,00 8% 60 \ 60,00 Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (montante) 9

10 Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (valore attuale) Confronto fra i tre regimi: conclusioni di sintesi Montante per durate inferiori all anno: montante più elevato: regime interesse semplice; montante minore: regime interesse composto; per durate superiori all anno si invertono. Valore attuale per durate inferiori all anno: sconto più elevato: regime sconto commerciale; sconto minore: regime interesse composto. per durate superiori all anno: sconto più elevato: regime sconto commerciale; sconto minore: regime interesse semplice. 10

11 ALCUNE DEFINIZIONI Tassi... di vario tipo Tasso annuo nominale convertibile Il tasso al quale vengono calcolati effettivamente gli interessi è riferito ad 1/k di anno e si ottiene da quello nominale convertibile assegnato, dividendo per k. Es. tasso annuo 12%; semestrale 6%; trimestrale 3%. Tassi equivalenti (1) Tasso annuo e frazionario che producono, nella medesima unità di tempo, lo stesso risultato. 11

12 Tassi... di vario tipo Tassi equivalenti (2) Formula per la definizione del tasso annuo; k i = ( 1+ ) 1 i k Formula per la definizione del tasso frazionario i = k k ( 1+ k) 1 Tassi... di vario tipo Esempio: tassi equivalenti Tasso trimestrale del 2,00% Quale il tasso annuo equivalente? i = (1 + 0,02) 4-1 = 8,24% Tasso annuo del 9,38% Quale il tasso mensile equivalente? i k = 12 (1 + 9,38%) 1 = 0,75% 12