MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 24 settembre 2003 studenti nuovo ordinamento

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Adolfo Fusco
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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 24 settembre 2003 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari (SI) prof. Pacati (SI) dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = 4500 in interessi composti al tasso annuo i = 2%. l interesse I maturato nell investimento in 5 anni. Si calcoli I = Si calcoli invece l interesse I maturato nell investimento allo stesso tasso, ma con interessi composti per i primi due anni e semplici per i restanti tre anni. I = Assumendo infine che l investimento frutti tre rate costanti annuali posticipate, anziché il rimborso unico S + I, in regime di capitalizzazione esponenziale al medesimo tasso annuo i, si calcoli il valore R della rata. R = Esercizio 2. Si consideri un TCF emesso in t = 0 avente un tasso nominale annuo del 6%, cedola semestrale, durata 9 anni e capitale facciale C = 100. Si calcoli il valore W di equità del TCF in t = 0, secondo la legge esponenziale di tasso semestrale i s = 3%. W = Si calcoli l incremento di prezzo W in modo tale che il TIR dell operazione finanziaria di acquisto in t = 0 del titolo al prezzo W + W annuo sia il 10% in base annua. Considerando l operazione di acquisto del TCF al prezzo così calcolato, si calcolino il valore montante e il valore residuo in t = 8 anni e 11 mesi secondo la legge degli interessi composti al tasso annuo del 10%. W = M = V =

Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi.

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una certa somma, da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate quadrimestrali posticipate a quota capitale costante, al tasso annuo i = 4%. Si determini l importo massimo S che può farsi prestare, se vuole che ogni rata non superi l importo di 9 000, e si compili il piano relativamente all importo massimo, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

quadrimestrali posticipate a quota capitale costante, al tasso annuo i = 4%.

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza: h(0, s) = α + βs con α = 0.05 anni 1 e β = anni 2 e le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF triennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale pari a C = 100. P 1 =, D 1 = anni il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 6 mesi, per avere il pagamento di 50 in s = 3 anni. P 2 = Esercizio 5. Un ente pubblico detiene un portafoglio obbligazionario di 4.5 milioni di e duration di 5 anni. Essa vuole ridurre la duration del portafoglio di 6 mesi mediante l acquisto di titoli a cedola nulla. Si calcoli il capitale V 3 necessario a quest operazione se si impiegano BOT a tre mesi, e il capitale V 6 necessario se si impiegano BOT a sei mesi. V 3 = V 6 = Supponendo che l ente acquisti di BOT a 3 mesi e di BOT a 6 mesi, si calcoli la duration D del portaglio risultante. [Nota bene: sia per i BOT a tre mesi che per quelli a sei, è il prezzo pagato, non il capitale nominale!] D =

05 anni 1 e β = 0.003 anni 2 e le scadenze s espresse in anni.

4 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli I 1 e I 2 con rendimenti attesi E 1 = 10%, E 2 = 1% e varianze V 1 = 0.05, V 2 = La correlazione fra i due titoli sia ρ = 0.2. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α a e la varianza V a del portafoglio efficiente con rendimento atteso pari a E a = 6%. α a = V a = Si calcoli poi la composizione α b e il rendimento E b in forma percentuale del portafoglio efficiente con varianza complessiva pari a V b = α b = E b = %

5 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato obbligazionario dove sono quotati: un titolo a cedola nulla a un anno, di tasso interno di rendimento il 3% in base annua; un titolo a cedola nulla a due anni, che rimborsa 200 al prezzo a pronti di 187 ; un titolo a cedola nulla a termine, che prevede il pagamento di 103.6% al tempo 3, al prezzo contrattato in 0 e pagabile in 2 di 100. In riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, si determinimo i tassi a pronti e i tassi a termine, esprimendoli in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 2, 3) = %

annua; un titolo a cedola nulla a due anni, che rimborsa 200 al prezzo a pronti di 187 ; un titolo a cedola nulla a termine, che prevede il pagamento di 103.

6 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 24 settembre 2003 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari (SI) prof. Pacati (SI) dott. Renò (GR) dott. Riccarelli (AR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = 4500 in interessi composti al tasso annuo i = 3%. l interesse I maturato nell investimento in 5 anni. Si calcoli I = Si calcoli invece l interesse I maturato nell investimento allo stesso tasso, ma con interessi composti per i primi due anni e semplici per i restanti tre anni. I = Assumendo infine che l investimento frutti tre rate costanti annuali posticipate, anziché il rimborso unico S + I, in regime di capitalizzazione esponenziale al medesimo tasso annuo i, si calcoli il valore R della rata. R = Esercizio 2. Si consideri un TCF emesso in t = 0 avente un tasso nominale annuo del 8%, cedola semestrale, durata 9 anni e capitale facciale C = 100. Si calcoli il valore W di equità del TCF in t = 0, secondo la legge esponenziale di tasso semestrale i s = 4%. W = Si calcoli l incremento di prezzo W in modo tale che il TIR dell operazione finanziaria di acquisto in t = 0 del titolo al prezzo W + W annuo sia il 10% in base annua. Considerando l operazione di acquisto del TCF al prezzo così calcolato, si calcolino il valore montante e il valore residuo in t = 8 anni e 11 mesi secondo la legge degli interessi composti al tasso annuo del 10%. W = M = V =

7 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una certa somma, da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate quadrimestrali posticipate a quota capitale costante, al tasso annuo i = 5%. Si determini l importo massimo S che può farsi prestare, se vuole che ogni rata non superi l importo di , e si compili il piano relativamente all importo massimo, giustificando adeguatamente i valori inseriti. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

quadrimestrali posticipate a quota capitale costante, al tasso annuo i = 5%.

8 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza: h(0, s) = α + βs con α = 0.07 anni 1 e β = anni 2 e le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF triennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale pari a C = 100. P 1 =, D 1 = anni il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 6 mesi, per avere il pagamento di 50 in s = 3 anni. P 2 = Esercizio 5. Un ente pubblico detiene un portafoglio obbligazionario di 5.5 milioni di e duration di 5 anni. Essa vuole ridurre la duration del portafoglio di 6 mesi mediante l acquisto di titoli a cedola nulla. Si calcoli il capitale V 3 necessario a quest operazione se si impiegano BOT a tre mesi, e il capitale V 6 necessario se si impiegano BOT a sei mesi. V 3 = V 6 = Supponendo che l ente acquisti di BOT a 3 mesi e di BOT a 6 mesi, si calcoli la duration D del portaglio risultante. [Nota bene: sia per i BOT a tre mesi che per quelli a sei, è il prezzo pagato, non il capitale nominale!] D =

07 anni 1 e β = 0.004 anni 2 e le scadenze s espresse in anni.

9 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli I 1 e I 2 con rendimenti attesi E 1 = 12%, E 2 = 2% e varianze V 1 = 0.06, V 2 = La correlazione fra i due titoli sia ρ = 0.1. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 + (1 α)i 2, si calcoli la composizione α a e la varianza V a del portafoglio efficiente con rendimento atteso pari a E a = 7%. α a = V a = Si calcoli poi la composizione α b e il rendimento E b in forma percentuale del portafoglio efficiente con varianza complessiva pari a V b = α b = E b = %

06, V 2 = 0.009. La correlazione fra i due titoli sia ρ = 0.1.

10 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato obbligazionario dove sono quotati: un titolo a cedola nulla a un anno, di tasso interno di rendimento il 4% in base annua; un titolo a cedola nulla a due anni, che rimborsa 100 al prezzo a pronti di 92 ; un titolo a cedola nulla a termine, che prevede il pagamento di 104.4% al tempo 3, al prezzo contrattato in 0 e pagabile in 2 di 100. In riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, si determinimo i tassi a pronti e i tassi a termine, esprimendoli in forma percentuale e su base annua. i(0, 1) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 2, 3) = %

annua; un titolo a cedola nulla a due anni, che rimborsa 100 al prezzo a pronti di 92 ; un titolo a cedola nulla a termine, che prevede il pagamento di 104.

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