MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 27 settembre 2000

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 27 settembre 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione di acquisto di un bot di valore nominale di euro a 90 giorni, al prezzo di euro (non comprensivo della ritenuta fiscale, che è del 12.5% sull interesse lordo e che va pagata all atto dell acquisto). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse lordo: % (b) il tasso di interesse netto: % (c) l intensità di interesse lordo su base giornaliera: (d) l intensità di interesse netto su base giornaliera: giorni 1 giorni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (e) il tasso annuo di interesse lordo: % (f) il tasso annuo di interesse netto: % (g) l intensità istantanea di interesse lordo su base annua: (h) l intensità istantanea di interesse netto su base annua: anni 1 anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (i) il tasso annuo di interesse lordo: % (j) il tasso annuo di interesse netto: % Esercizio 2. Si consideri l ammortamento di S = euro a quota capitale costante e rata annuale posticipata, al tasso annuo i = 6%. Si determini il numero minimo di annualità m necessarie per effettuare l ammortamento, nell ipotesi che ciascuna rata non superi l importo X = euro. In base alla durata m ottenuta, si calcoli quindi la quota capitale C dell ammortamento e si determini l importo della prima rata R 1 e dell ultima rata R m. m = anni C = euro R 1 = euro R m = euro

2 Esercizio 3. Si consideri l operazione finanziaria di acquisto al prezzo P = 98 euro di un titolo a cedola fissa semestrale, con vita a scadenza un anno, capitale nominale 100 euro e tasso nominale annuo del 4.6%. Se ne calcoli anzitutto il tasso interno di rendimento in base annua i. Si determini quindi, in base alla legge esponenziale individuata dal t.i.r., il valore montante dopo un anno M dell operazione finanziaria. Si determini quindi a quale prezzo di acquisto P si sarebbe ottenuto un t.i.r. annuo i = 7.5%. i = % M = euro P = euro

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, alla data odierna (tempo t = 0), siano quotati: un titolo a cedola fissa annuale, di durata tre anni, tasso nominale annuo 6.4 %, e quotato alla pari; un titolo a cedola nulla a un anno, che rimborsa 100 euro al prezzo a pronti di 95 euro; un titolo a cedola nulla che scade tra due anni e rimborsa 100 euro, al prezzo, contrattato oggi e pagabile fra un anno, di 94 euro. Si determini, in riferimento allo scadenzario {1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un titolo a cedola fissa annuale, di vita a scadenza 2 anni e capitale nominale 100 euro. In riferimento ad una struttura piatta di tasso annuo i = 5.0%, se ne determini il tasso nominale annuo i nom in modo che il titolo quoti alla pari. Si calcoli quindi la durata media finanziaria D del titolo con tale tasso nominale. Si determini infine il valore del tasso nominale i nom in modo tale che il titolo abbia durata media finanziaria D = 1.95 anni. i nom = % D = anni i nom = %

4 Esercizio 6. Si consideri al tempo t = 0 un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato x, con cedola annuale, capitale nominale 100 euro e durata 3 anni. Si assuma che la prima cedola sia fissata contrattualmente al livello I 1 = 5 euro e che sulle altre sia previsto uno spread dello 0.30% (0.30 euro per ogni 100 euro di nominale). Si determini il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) del contratto, assumendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello i = 4%. Si consideri quindi il titolo a cedola nulla indicizzato y, che paga al tempo s = 6 mesi l importo 100/v(T, s) euro, dove T = 1 mese. Se ne determini il valore V (0, y) e la durata media finanziaria D(0, y). Si determini inoltre quante quote α del titolo y bisogna aggiungere al titolo x, in modo da ottenere un portafoglio con durata media finanziaria di tre mesi. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni α =

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 27 settembre 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione di acquisto di un bot di valore nominale di euro a 91 giorni, al prezzo di euro (non comprensivo della ritenuta fiscale, che è del 12.5% sull interesse lordo e che va pagata all atto dell acquisto). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse lordo: % (b) il tasso di interesse netto: % (c) l intensità di interesse lordo su base giornaliera: (d) l intensità di interesse netto su base giornaliera: giorni 1 giorni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (e) il tasso annuo di interesse lordo: % (f) il tasso annuo di interesse netto: % (g) l intensità istantanea di interesse lordo su base annua: (h) l intensità istantanea di interesse netto su base annua: anni 1 anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (i) il tasso annuo di interesse lordo: % (j) il tasso annuo di interesse netto: % Esercizio 2. Si consideri l ammortamento di S = euro a quota capitale costante e rata annuale posticipata, al tasso annuo i = 7%. Si determini il numero minimo di annualità m necessarie per effettuare l ammortamento, nell ipotesi che ciascuna rata non superi l importo X = euro. In base alla durata m ottenuta, si calcoli quindi la quota capitale C dell ammortamento e si determini l importo della prima rata R 1 e dell ultima rata R m. m = anni C = euro R 1 = euro R m = euro

6 Esercizio 3. Si consideri l operazione finanziaria di acquisto al prezzo P = 98.5 euro di un titolo a cedola fissa semestrale, con vita a scadenza un anno, capitale nominale 100 euro e tasso nominale annuo del 4.7%. Se ne calcoli anzitutto il tasso interno di rendimento in base annua i. Si determini quindi, in base alla legge esponenziale individuata dal t.i.r., il valore montante dopo un anno M dell operazione finanziaria. Si determini quindi a quale prezzo di acquisto P si sarebbe ottenuto un t.i.r. annuo i = 7.5%. i = % M = euro P = euro

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, alla data odierna (tempo t = 0), siano quotati: un titolo a cedola fissa annuale, di durata tre anni, tasso nominale annuo 6.5 %, e quotato alla pari; un titolo a cedola nulla a un anno, che rimborsa 100 euro al prezzo a pronti di 94 euro; un titolo a cedola nulla che scade tra due anni e rimborsa 100 euro, al prezzo, contrattato oggi e pagabile fra un anno, di 95 euro. Si determini, in riferimento allo scadenzario {1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un titolo a cedola fissa annuale, di vita a scadenza 2 anni e capitale nominale 100 euro. In riferimento ad una struttura piatta di tasso annuo i = 5.5%, se ne determini il tasso nominale annuo i nom in modo che il titolo quoti alla pari. Si calcoli quindi la durata media finanziaria D del titolo con tale tasso nominale. Si determini infine il valore del tasso nominale i nom in modo tale che il titolo abbia durata media finanziaria D = 1.95 anni. i nom = % D = anni i nom = %

8 Esercizio 6. Si consideri al tempo t = 0 un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato x, con cedola annuale, capitale nominale 100 euro e durata 3 anni. Si assuma che la prima cedola sia fissata contrattualmente al livello I 1 = 6 euro e che sulle altre sia previsto uno spread dello 0.30% (0.30 euro per ogni 100 euro di nominale). Si determini il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) del contratto, assumendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello i = 5%. Si consideri quindi il titolo a cedola nulla indicizzato y, che paga al tempo s = 6 mesi l importo 100/v(T, s) euro, dove T = 1 mese. Se ne determini il valore V (0, y) e la durata media finanziaria D(0, y). Si determini inoltre quante quote α del titolo y bisogna aggiungere al titolo x, in modo da ottenere un portafoglio con durata media finanziaria di tre mesi. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni α =

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 27 settembre 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione di acquisto di un bot di valore nominale di euro a 92 giorni, al prezzo di euro (non comprensivo della ritenuta fiscale, che è del 12.5% sull interesse lordo e che va pagata all atto dell acquisto). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse lordo: % (b) il tasso di interesse netto: % (c) l intensità di interesse lordo su base giornaliera: (d) l intensità di interesse netto su base giornaliera: giorni 1 giorni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (e) il tasso annuo di interesse lordo: % (f) il tasso annuo di interesse netto: % (g) l intensità istantanea di interesse lordo su base annua: (h) l intensità istantanea di interesse netto su base annua: anni 1 anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (i) il tasso annuo di interesse lordo: % (j) il tasso annuo di interesse netto: % Esercizio 2. Si consideri l ammortamento di S = euro a quota capitale costante e rata annuale posticipata, al tasso annuo i = 8%. Si determini il numero minimo di annualità m necessarie per effettuare l ammortamento, nell ipotesi che ciascuna rata non superi l importo X = euro. In base alla durata m ottenuta, si calcoli quindi la quota capitale C dell ammortamento e si determini l importo della prima rata R 1 e dell ultima rata R m. m = anni C = euro R 1 = euro R m = euro

10 Esercizio 3. Si consideri l operazione finanziaria di acquisto al prezzo P = 99 euro di un titolo a cedola fissa semestrale, con vita a scadenza un anno, capitale nominale 100 euro e tasso nominale annuo del 4.8%. Se ne calcoli anzitutto il tasso interno di rendimento in base annua i. Si determini quindi, in base alla legge esponenziale individuata dal t.i.r., il valore montante dopo un anno M dell operazione finanziaria. Si determini quindi a quale prezzo di acquisto P si sarebbe ottenuto un t.i.r. annuo i = 7.5%. i = % M = euro P = euro

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, alla data odierna (tempo t = 0), siano quotati: un titolo a cedola fissa annuale, di durata tre anni, tasso nominale annuo 6.6 %, e quotato alla pari; un titolo a cedola nulla a un anno, che rimborsa 100 euro al prezzo a pronti di 94.5 euro; un titolo a cedola nulla che scade tra due anni e rimborsa 100 euro, al prezzo, contrattato oggi e pagabile fra un anno, di 93.5 euro. Si determini, in riferimento allo scadenzario {1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un titolo a cedola fissa annuale, di vita a scadenza 2 anni e capitale nominale 100 euro. In riferimento ad una struttura piatta di tasso annuo i = 6.0%, se ne determini il tasso nominale annuo i nom in modo che il titolo quoti alla pari. Si calcoli quindi la durata media finanziaria D del titolo con tale tasso nominale. Si determini infine il valore del tasso nominale i nom in modo tale che il titolo abbia durata media finanziaria D = 1.95 anni. i nom = % D = anni i nom = %

12 Esercizio 6. Si consideri al tempo t = 0 un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato x, con cedola annuale, capitale nominale 100 euro e durata 3 anni. Si assuma che la prima cedola sia fissata contrattualmente al livello I 1 = 4 euro e che sulle altre sia previsto uno spread dello 0.30% (0.30 euro per ogni 100 euro di nominale). Si determini il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) del contratto, assumendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello i = 5%. Si consideri quindi il titolo a cedola nulla indicizzato y, che paga al tempo s = 6 mesi l importo 100/v(T, s) euro, dove T = 1 mese. Se ne determini il valore V (0, y) e la durata media finanziaria D(0, y). Si determini inoltre quante quote α del titolo y bisogna aggiungere al titolo x, in modo da ottenere un portafoglio con durata media finanziaria di tre mesi. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni α =

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 27 settembre 2000 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione di acquisto di un bot di valore nominale di euro a 93 giorni, al prezzo di euro (non comprensivo della ritenuta fiscale, che è del 12.5% sull interesse lordo e che va pagata all atto dell acquisto). Relativamente al periodo di durata dell operazione, calcolare: (a) il tasso di interesse lordo: % (b) il tasso di interesse netto: % (c) l intensità di interesse lordo su base giornaliera: (d) l intensità di interesse netto su base giornaliera: giorni 1 giorni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (e) il tasso annuo di interesse lordo: % (f) il tasso annuo di interesse netto: % (g) l intensità istantanea di interesse lordo su base annua: (h) l intensità istantanea di interesse netto su base annua: anni 1 anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare e misurando l anno in giorni effettivi (365), calcolare: (i) il tasso annuo di interesse lordo: % (j) il tasso annuo di interesse netto: % Esercizio 2. Si consideri l ammortamento di S = euro a quota capitale costante e rata annuale posticipata, al tasso annuo i = 9%. Si determini il numero minimo di annualità m necessarie per effettuare l ammortamento, nell ipotesi che ciascuna rata non superi l importo X = euro. In base alla durata m ottenuta, si calcoli quindi la quota capitale C dell ammortamento e si determini l importo della prima rata R 1 e dell ultima rata R m. m = anni C = euro R 1 = euro R m = euro

14 Esercizio 3. Si consideri l operazione finanziaria di acquisto al prezzo P = 99.5 euro di un titolo a cedola fissa semestrale, con vita a scadenza un anno, capitale nominale 100 euro e tasso nominale annuo del 4.9%. Se ne calcoli anzitutto il tasso interno di rendimento in base annua i. Si determini quindi, in base alla legge esponenziale individuata dal t.i.r., il valore montante dopo un anno M dell operazione finanziaria. Si determini quindi a quale prezzo di acquisto P si sarebbe ottenuto un t.i.r. annuo i = 7.5%. i = % M = euro P = euro

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, alla data odierna (tempo t = 0), siano quotati: un titolo a cedola fissa annuale, di durata tre anni, tasso nominale annuo 6.7 %, e quotato alla pari; un titolo a cedola nulla a un anno, che rimborsa 100 euro al prezzo a pronti di 93.5 euro; un titolo a cedola nulla che scade tra due anni e rimborsa 100 euro, al prezzo, contrattato oggi e pagabile fra un anno, di 94.5 euro. Si determini, in riferimento allo scadenzario {1, 2, 3} anni, la struttura per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri un titolo a cedola fissa annuale, di vita a scadenza 2 anni e capitale nominale 100 euro. In riferimento ad una struttura piatta di tasso annuo i = 6.5%, se ne determini il tasso nominale annuo i nom in modo che il titolo quoti alla pari. Si calcoli quindi la durata media finanziaria D del titolo con tale tasso nominale. Si determini infine il valore del tasso nominale i nom in modo tale che il titolo abbia durata media finanziaria D = 1.95 anni. i nom = % D = anni i nom = %

16 Esercizio 6. Si consideri al tempo t = 0 un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato x, con cedola annuale, capitale nominale 100 euro e durata 3 anni. Si assuma che la prima cedola sia fissata contrattualmente al livello I 1 = 5 euro e che sulle altre sia previsto uno spread dello 0.30% (0.30 euro per ogni 100 euro di nominale). Si determini il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) del contratto, assumendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato sia piatta al livello i = 6%. Si consideri quindi il titolo a cedola nulla indicizzato y, che paga al tempo s = 6 mesi l importo 100/v(T, s) euro, dove T = 1 mese. Se ne determini il valore V (0, y) e la durata media finanziaria D(0, y). Si determini inoltre quante quote α del titolo y bisogna aggiungere al titolo x, in modo da ottenere un portafoglio con durata media finanziaria di tre mesi. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni α =