MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2001

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2001 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è P = lire, e deve scegliere fra due modalità di pagamento: A) in contanti all atto della consegna, con uno sconto S = lire; B) in dodici rate mensili (senza sconto), secondo un piano di ammortamento anticipato a quota capitale costante e senza interessi (tasso di ammortamento zero). Sapendo che l individuo ritiene equa una legge di equivalenza finanziaria esponenziale, con tasso annuo i = 6%, si determini il valore attuale di quanto pagherebbe in ciascuna delle due modalità, indicandolo con W A e W A, rispettivamente. Si stabilisca quindi quale delle due modalità verrà scelta dall individuo, motivando adeguatamente la risposta. W A = lire W B = lire Sceglierà la modalità: A, B, nessuna, A e B gli sono indifferenti, non ha elementi per scegliere. Esercizio 2. Si consideri una rendita r, a rata costante semestrale posticipata R = 5 euro e di durata m = 10 anni, ed un titolo a cedola nulla z, che rimborsa 200 euro in m. Sapendo che i prezzi dei due titoli sono rispettivamente P r = 78 euro e P z = 122 euro, si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione somma delle due operazioni finanziarie di acquisto dei due titoli. In base alla legge esponenziale implicata da i, si calcoli infine in montante M ed il valore residuo V in T = 9 anni e 7 mesi dell operazione di acquisto del flusso r + z al prezzo P r + P z. Giustificare adeguatamente tutti risultati, che altrimenti non verranno considerati validi! i = % M = euro V = euro

2 Esercizio 3. Si consideri l ammortamento francese di lire a rata semestrale e al tasso annuo i = 7 %. Si determini la durata minima m in semestri dell ammortamento, se si vuole che la rata non superi lire. Si determini quindi la rata R dell ammortamento così individuato e la quota capitale C m e la quota interesse I m dell ultima rata. m = semestri R = lire C m = lire I m = lire

3 Esercizio 4. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli obbligazionari in cui sono quotati: il titolo a cedola nulla x, che rimborsa 100 euro a un anno, al prezzo a pronti P x = 95 euro; il titolo a cedola fissa annule y, con capitale nominale 100 euro, durata 2 anni, tasso nominale annuo i y = 5% e prezzo a pronti P y = 99 euro; il titolo a cedola fissa annule z, con capitale nominale 100 euro, durata 3 anni, tasso nominale annuo i z = 6% e prezzo a pronti P z = 101 euro. Si determinino, in riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a un anno contro variabile a sei mesi. i(0, 1) = % i(0, 0, 1) = % i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % i(0, 1, 2) = % i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri, al tempo t = 0, il flusso x = {6, 6, 6}, definito sullo scadenzario t = {0.5, 1, 1.5} anni. In riferimento alla struttura per scadenza dei tassi a pronti (base annua) i(0, 0.5) = 5.5%, i(0, 1) = 6%, i(0, 1.5) = 6.5%, se ne calcoli il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) (in anni). Si consideri inoltre il titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato y, con cedola semestrale, durata 10 anni (appena emesso), e capitale nominale 100 euro. Avendo a disposizione euro, li si investa interamente nel portafoglio z = αx + βy, scegliendo le quote in modo che D(0, z) = 0.7 anni. V (0, x) = euro α = D(0, x) = anni β =

4 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato in cui è quotata una rendita francese r a rata annuale R = 100 euro, durata 3 anni e prezzo a pronti P = 270 euro. Si considerino i due titoli a tasso variabile a tre anni x e y, appena emessi in t, con capitale nominale 100 euro, cedola annuale, il primo senza spread ed il secondo con spread dello 0.50%. Si calcoli il valore e la durata media finanziaria di entrambi, sapendo che la durata media finanziaria della rendita è D(0, r) = anni. V (t, x) = euro D(t, x) = anni V (t, y) = euro D(t, y) = anni

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2001 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è P = lire, e deve scegliere fra due modalità di pagamento: A) in contanti all atto della consegna, con uno sconto S = lire; B) in dodici rate mensili (senza sconto), secondo un piano di ammortamento anticipato a quota capitale costante e senza interessi (tasso di ammortamento zero). Sapendo che l individuo ritiene equa una legge di equivalenza finanziaria esponenziale, con tasso annuo i = 7%, si determini il valore attuale di quanto pagherebbe in ciascuna delle due modalità, indicandolo con W A e W A, rispettivamente. Si stabilisca quindi quale delle due modalità verrà scelta dall individuo, motivando adeguatamente la risposta. W A = lire W B = lire Sceglierà la modalità: A, B, nessuna, A e B gli sono indifferenti, non ha elementi per scegliere. Esercizio 2. Si consideri una rendita r, a rata costante semestrale posticipata R = 8 euro e di durata m = 10 anni, ed un titolo a cedola nulla z, che rimborsa 300 euro in m. Sapendo che i prezzi dei due titoli sono rispettivamente P r = 123 euro e P z = 177 euro, si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione somma delle due operazioni finanziarie di acquisto dei due titoli. In base alla legge esponenziale implicata da i, si calcoli infine in montante M ed il valore residuo V in T = 9 anni e 7 mesi dell operazione di acquisto del flusso r + z al prezzo P r + P z. Giustificare adeguatamente tutti risultati, che altrimenti non verranno considerati validi! i = % M = euro V = euro

6 Esercizio 3. Si consideri l ammortamento francese di lire a rata semestrale e al tasso annuo i = 8 %. Si determini la durata minima m in semestri dell ammortamento, se si vuole che la rata non superi lire. Si determini quindi la rata R dell ammortamento così individuato e la quota capitale C m e la quota interesse I m dell ultima rata. m = semestri R = lire C m = lire I m = lire

7 Esercizio 4. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli obbligazionari in cui sono quotati: il titolo a cedola nulla x, che rimborsa 100 euro a un anno, al prezzo a pronti P x = 94 euro; il titolo a cedola fissa annule y, con capitale nominale 100 euro, durata 2 anni, tasso nominale annuo i y = 6% e prezzo a pronti P y = 99 euro; il titolo a cedola fissa annule z, con capitale nominale 100 euro, durata 3 anni, tasso nominale annuo i z = 7% e prezzo a pronti P z = 101 euro. Si determinino, in riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a un anno contro variabile a sei mesi. i(0, 1) = % i(0, 0, 1) = % i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % i(0, 1, 2) = % i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri, al tempo t = 0, il flusso x = {5, 5, 5}, definito sullo scadenzario t = {0.5, 1, 1.5} anni. In riferimento alla struttura per scadenza dei tassi a pronti (base annua) i(0, 0.5) = 4.5%, i(0, 1) = 5%, i(0, 1.5) = 5.5%, se ne calcoli il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) (in anni). Si consideri inoltre il titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato y, con cedola semestrale, durata 10 anni (appena emesso), e capitale nominale 100 euro. Avendo a disposizione euro, li si investa interamente nel portafoglio z = αx + βy, scegliendo le quote in modo che D(0, z) = 0.8 anni. V (0, x) = euro α = D(0, x) = anni β =

8 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato in cui è quotata una rendita francese r a rata annuale R = 100 euro, durata 3 anni e prezzo a pronti P = 265 euro. Si considerino i due titoli a tasso variabile a tre anni x e y, appena emessi in t, con capitale nominale 100 euro, cedola annuale, il primo senza spread ed il secondo con spread dello 0.50%. Si calcoli il valore e la durata media finanziaria di entrambi, sapendo che la durata media finanziaria della rendita è D(0, r) = anni. V (t, x) = euro D(t, x) = anni V (t, y) = euro D(t, y) = anni

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2001 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è P = lire, e deve scegliere fra due modalità di pagamento: A) in contanti all atto della consegna, con uno sconto S = lire; B) in dodici rate mensili (senza sconto), secondo un piano di ammortamento anticipato a quota capitale costante e senza interessi (tasso di ammortamento zero). Sapendo che l individuo ritiene equa una legge di equivalenza finanziaria esponenziale, con tasso annuo i = 8%, si determini il valore attuale di quanto pagherebbe in ciascuna delle due modalità, indicandolo con W A e W A, rispettivamente. Si stabilisca quindi quale delle due modalità verrà scelta dall individuo, motivando adeguatamente la risposta. W A = lire W B = lire Sceglierà la modalità: A, B, nessuna, A e B gli sono indifferenti, non ha elementi per scegliere. Esercizio 2. Si consideri una rendita r, a rata costante semestrale posticipata R = 12 euro e di durata m = 10 anni, ed un titolo a cedola nulla z, che rimborsa 400 euro in m. Sapendo che i prezzi dei due titoli sono rispettivamente P r = 179 euro e P z = 221 euro, si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione somma delle due operazioni finanziarie di acquisto dei due titoli. In base alla legge esponenziale implicata da i, si calcoli infine in montante M ed il valore residuo V in T = 9 anni e 7 mesi dell operazione di acquisto del flusso r + z al prezzo P r + P z. Giustificare adeguatamente tutti risultati, che altrimenti non verranno considerati validi! i = % M = euro V = euro

10 Esercizio 3. Si consideri l ammortamento francese di lire a rata semestrale e al tasso annuo i = 9 %. Si determini la durata minima m in semestri dell ammortamento, se si vuole che la rata non superi lire. Si determini quindi la rata R dell ammortamento così individuato e la quota capitale C m e la quota interesse I m dell ultima rata. m = semestri R = lire C m = lire I m = lire

11 Esercizio 4. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli obbligazionari in cui sono quotati: il titolo a cedola nulla x, che rimborsa 100 euro a un anno, al prezzo a pronti P x = 93 euro; il titolo a cedola fissa annule y, con capitale nominale 100 euro, durata 2 anni, tasso nominale annuo i y = 7% e prezzo a pronti P y = 99 euro; il titolo a cedola fissa annule z, con capitale nominale 100 euro, durata 3 anni, tasso nominale annuo i z = 8% e prezzo a pronti P z = 101 euro. Si determinino, in riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a un anno contro variabile a sei mesi. i(0, 1) = % i(0, 0, 1) = % i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % i(0, 1, 2) = % i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri, al tempo t = 0, il flusso x = {6, 6, 6}, definito sullo scadenzario t = {0.5, 1, 1.5} anni. In riferimento alla struttura per scadenza dei tassi a pronti (base annua) i(0, 0.5) = 6.5%, i(0, 1) = 6%, i(0, 1.5) = 5.5%, se ne calcoli il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) (in anni). Si consideri inoltre il titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato y, con cedola semestrale, durata 10 anni (appena emesso), e capitale nominale 100 euro. Avendo a disposizione euro, li si investa interamente nel portafoglio z = αx + βy, scegliendo le quote in modo che D(0, z) = 0.75 anni. V (0, x) = euro α = D(0, x) = anni β =

12 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato in cui è quotata una rendita francese r a rata annuale R = 100 euro, durata 3 anni e prezzo a pronti P = 275 euro. Si considerino i due titoli a tasso variabile a tre anni x e y, appena emessi in t, con capitale nominale 100 euro, cedola annuale, il primo senza spread ed il secondo con spread dello 0.50%. Si calcoli il valore e la durata media finanziaria di entrambi, sapendo che la durata media finanziaria della rendita è D(0, r) = anni. V (t, x) = euro D(t, x) = anni V (t, y) = euro D(t, y) = anni

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2001 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: prof. Mari prof. Pacati. Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un individuo deve acquistare un bene, il cui prezzo è P = lire, e deve scegliere fra due modalità di pagamento: A) in contanti all atto della consegna, con uno sconto S = lire; B) in dodici rate mensili (senza sconto), secondo un piano di ammortamento anticipato a quota capitale costante e senza interessi (tasso di ammortamento zero). Sapendo che l individuo ritiene equa una legge di equivalenza finanziaria esponenziale, con tasso annuo i = 9%, si determini il valore attuale di quanto pagherebbe in ciascuna delle due modalità, indicandolo con W A e W A, rispettivamente. Si stabilisca quindi quale delle due modalità verrà scelta dall individuo, motivando adeguatamente la risposta. W A = lire W B = lire Sceglierà la modalità: A, B, nessuna, A e B gli sono indifferenti, non ha elementi per scegliere. Esercizio 2. Si consideri una rendita r, a rata costante semestrale posticipata R = 14 euro e di durata m = 10 anni, ed un titolo a cedola nulla z, che rimborsa 500 euro in m. Sapendo che i prezzi dei due titoli sono rispettivamente P r = 212 euro e P z = 288 euro, si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i dell operazione somma delle due operazioni finanziarie di acquisto dei due titoli. In base alla legge esponenziale implicata da i, si calcoli infine in montante M ed il valore residuo V in T = 9 anni e 7 mesi dell operazione di acquisto del flusso r + z al prezzo P r + P z. Giustificare adeguatamente tutti risultati, che altrimenti non verranno considerati validi! i = % M = euro V = euro

14 Esercizio 3. Si consideri l ammortamento francese di lire a rata semestrale e al tasso annuo i = 10 %. Si determini la durata minima m in semestri dell ammortamento, se si vuole che la rata non superi lire. Si determini quindi la rata R dell ammortamento così individuato e la quota capitale C m e la quota interesse I m dell ultima rata. m = semestri R = lire C m = lire I m = lire

15 Esercizio 4. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli obbligazionari in cui sono quotati: il titolo a cedola nulla x, che rimborsa 100 euro a un anno, al prezzo a pronti P x = 92.5 euro; il titolo a cedola fissa annule y, con capitale nominale 100 euro, durata 2 anni, tasso nominale annuo i y = 8% e prezzo a pronti P y = 99 euro; il titolo a cedola fissa annule z, con capitale nominale 100 euro, durata 3 anni, tasso nominale annuo i z = 9% e prezzo a pronti P z = 101 euro. Si determinino, in riferimento allo scadenzario t = {1, 2, 3} anni, le strutture per scadenza dei tassi a pronti, dei tassi a termine e dei tassi di interest rate swap del tipo fisso a un anno contro variabile a sei mesi. i(0, 1) = % i(0, 0, 1) = % i sw (0; 1) = % i(0, 2) = % i(0, 1, 2) = % i sw (0; 2) = % i(0, 3) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Si consideri, al tempo t = 0, il flusso x = {5, 5, 5}, definito sullo scadenzario t = {0.5, 1, 1.5} anni. In riferimento alla struttura per scadenza dei tassi a pronti (base annua) i(0, 0.5) = 5.5%, i(0, 1) = 5%, i(0, 1.5) = 4.5%, se ne calcoli il valore V (0, x) e la durata media finanziaria D(0, x) (in anni). Si consideri inoltre il titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato y, con cedola semestrale, durata 10 anni (appena emesso), e capitale nominale 100 euro. Avendo a disposizione euro, li si investa interamente nel portafoglio z = αx + βy, scegliendo le quote in modo che D(0, z) = 0.85 anni. V (0, x) = euro α = D(0, x) = anni β =

16 Esercizio 6. Si consideri, al tempo t = 0, un mercato in cui è quotata una rendita francese r a rata annuale R = 100 euro, durata 3 anni e prezzo a pronti P = 260 euro. Si considerino i due titoli a tasso variabile a tre anni x e y, appena emessi in t, con capitale nominale 100 euro, cedola annuale, il primo senza spread ed il secondo con spread dello 0.50%. Si calcoli il valore e la durata media finanziaria di entrambi, sapendo che la durata media finanziaria della rendita è D(0, r) = anni. V (t, x) = euro D(t, x) = anni V (t, y) = euro D(t, y) = anni