COMPLEMENTI di MATEMATICA (Docente: Luca Guerrini)

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1 COMPLEMENTI di MATEMATICA (Docente: Luca Guerrini) Alcuni esercizi assegnati in appelli precedenti, comprendenti anche quesiti a risposta multipla ed esercizi nei quali veri care se l a ermazione fatta è vera o falsa. 1. Sia f(x; y) = x 3 + y 3 3axy; con a 2 R. (a) Determinare f x (x; y) e f y (x; y). (b) Determinare f xx (x; y), f yy (x; y) e f xy (x; y): (c) Determinare i punti critici al variare del parametro a 2 R: (d) Determinare la natura dei punti critici trovati. 2. Si consideri la funzione reale di due variabili reali de nita da f(x; y) = x 4 + y 4 2(x 2 + y 2 ) + 4xy: (a) Determinare i punti critici di f(x; y): 3. Si possiede un capitale di 700 euro e lo si vuole impiegare per 5 anni. Supponendo che eventuali ricavi intermedi non vengano reinvestiti, calcolare il montante in regime di interesse composto al tasso d interesse e ettivo dell 10% annuo. 4. Si consideri un prestito di 1000 euro rimborsabile in 4 anni con rata costante annuale e posticipata. Si determini la rata in modo che il rendimento e ettivo del prestito risulti del 10%: 5. Sia f(x; y) = xye x2 +y 2 2. (a) Determinare f x (x; y) e f y (x; y). (b) Determinare i punti critici. (c) Determinare f xy (x; y) e f yy (x; y). (d) Determinare la natura del punto (0; 0): p x2 + y 6. Si consideri la funzione reale di due variabili reali de nita da f(x; y) = 2 ; y 6= 0: jyj (a) Determinare lim f(x; y). (x;y)!(0;0) 7. Per ottenere dopo 3 anni un capitale di 1000 euro si pensa di versare tra un anno 600 euro e tra due anni 300 euro. Determinare il tasso annuo di interesse necessario per rendere possibile tale costituzione di capitale. 8. Si possiede un capitale di 700 euro e lo si vuole impiegare per 5 anni. Determinare il montante in regime di interesse composto al tasso d interesse e ettivo dell 8% annuo. 1

2 9. Sia f(x; y) = 2(x 3 + y 3 ) 3(x 2 + 2y). (a) Determinare f x (x; y) e f y (x; y). (b) Determinare i punti critici. (c) Determinare la matrice Hessiana calcolata in un punto (x; y). (d) Determinare la natura dei punti critici: 10. Si consideri la funzione reale di due variabili reali de nita da f(x; y) = y x 2 y 2 : (a) Discutere la derivabiltà di f(x; y) nel suo dominio. 11. Determinare il tempo necessario a nchè in regime di interesse semplice un capitale di 2000 euro produca un montante di 2050 euro al tasso del 2; 5% annuo. 12. Tizio riceve a prestito la somma di euro da restituire in n rate annue costanti, pagate in via posticipata, di importo 9495; 86 euro ciascuna e calcolate in base al tasso del 6%. Si determini il numero di rate necessarie per estinguere il debito. 13. Sia f(x; y) = ln(1 x 2 y 2 ): Allora f x (1; 1) = 1) 2 2) 0 3) 1 4) 3 5) 2 6) Sia f(x; y) = x 3 y + xy 2 : Allora f yx (0; 1) = 1) non esiste 2) 5 3) 0 4) 2 5) 2 6) Sia f(x; y) = (ln 2) log 2 (xy): Allora f yyy (0; 1) = 1) 1 2) 2 3) ln(2) 4) 3 5) 1 6) Sia f(x; y) = xy2 4x 2 : Determinare se esiste + y4 lim f(x; y). (x;y)!(0;0) 17. Sia f(x; y) = 2xy + e (x+y)2 : Determinare se esistono punti critici della funzione diversi da (0; 0). 2

3 18. Un prestito di euro viene ammortizzato tramite il pagamento di 15 rate annue al tasso del 7%. Allora (a) la rata è 1) circa 12822; 27 2) circa 14900; 27 3) circa 14822; 27 4) circa ) circa 15002; 3 6) circa 14885; 76 (b) quota interesse al settimo anno 1) ) circa ) ) ) circa ) circa 4995; 41 (c) quota capitale al settimo anno 1) circa 8002; 13 2) circa ) circa 8062; 27 4) ) circa 8900; 3 6) circa Sia f(x; y) = (x + 1) 2 ln(1 + y 2 ): (a) Determinare il gradiente di f(x; y). (b) Determinare i punti critici di f(x; y). (c) Determinare se esistono punti di massimo, minimo o sella. 20. Una somma di denaro viene prestata per un anno in regime di interesse composto. E preferibile avere un tasso di interesse trimestrale i 4 = 1; 65% oppure un tasso di interesse quadrimestrale i 3 = 2%? x 21. Sia f(x; y) = ln y xy : Determinare i suoi punti critici. 22. Sia f(x; y) = kx 2 36y + 3y 3 ; con k 2 R; k 6= 0: (a) Determinare i punti critici di f(x; y). (b) Determinarela matrice Hessiana di f in (x; y): (c) Discutere l esistenza di punti di massimo, minimo e sella. 3

4 23. Sia f(x; y) = (x 2 y 2 )e y : Allora f y (1; 0) = 1) 0 2) 2 3) 1 4) 3 5) 2 6) Sia f(x; y) = x 3 y + xy 2 : Allora f xy (1; 1) = 1) 5 2) 5 3) 0 4) 2 5) 2 6) Sia f(x; y) = ln(e xy + 1): Allora f yy (1; 0) = 1) 1=2 2) 3=4 3) 1=4 4) 3=4 5) 0 6) 1=4 26. Sia f(x; y) = x 2 + p x 2 + 2y: Allora f xy (1; 0) = 1) 1 2) 2 3) 3 4) 3 5) 2 6) Sia f(x; y) = jxj ln(1 + y): Allora f y ( 1; 0) = 1) 1 2) 1 3) 1 4) 3 5) 2 6) Una persona ha contratto un prestito per la durata di 10 anni al tasso del 7%. Per l estinzione di tale prestito paga annualmente alla ne di ciascun anno rate di 600 euro per i primi 6 anni e di 900 euro per i successivi 4 anni. Determinare l importo del capitale mutuato. 1) circa 4100; 13 2) circa 6000; 2 3) circa 4891; 26 4) circa 3000; 1 5) circa 1002; 32 6) circa 1835; 75 4

5 29. Si determini il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente corrispondente al tasso annuo e ettivo del 16; 5% (in regime composto). 1) nessuna risposta è giusta 2) circa 0; ) circa 0; ) circa 0; ) circa 0; ) circa 0; Sia f(x; y) = jxj ln(1 + y): Determinare se la funzione è derivabile in (0; 0): 31. Sia f(x; y) = jxj + jyj p ; (x; y) 6= (0; 0): Calcolare x2 + y lim f(x; y): 2 (x;y)!(0;0) 32. Sia f(x; y) = (x 2 3x + 2) ln(1 + y 2 ): (a) Determinare il gradiente di f(x; y). (b) Determinare i punti critici di f(x; y). (c) Determinarela matrice Hessiana di f in (x; y): (d) Determinare se tra i punti critici di f(x; y) esistono due punti che sono punti di sella 33. Il gradiente della funzione f(x; y) = e x + ln(x + y) nel punto (0; 1) è (1; 1): 34. La funzione f(x; y) = x 2 + y 2 + 2x + 2y ha un massimo nel punto ( 1; 1): 35. Il dominio della funzione f(x; y) = x + y è R. 36. L equazione del piano tangente in (1; 0) al gra co di f(x; y) = x 2 y è z = 2x + y: 37. Il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d = 0; 25 è pari a 33; 33%: 38. Un capitale di 5000 euro viene impiegato ad un regime di interesse semplice per 18 mesi. Allora il tasso annuo di interesse per cui il montante prodotto e uguale a due volte il capitale impiegato è pari a circa 66; 66%: 39. Il tasso nominale annuo di interesse convertibile 3 volte all anno associato al tasso annuo di interesse del 3; 7% è circa 3; 65%: 40. La funzione f(x; y) = ( xy; se x > 0 e y > 0 0; altrove non è derivabile nell origine. 41. La funzione f(x; y) = ln(1 + x 2 y 2 ) non ammette minimo. 5

6 42. La funzione f(x; y) = p 25 x 2 y 2 ha per dominio l insieme dei punti interni alla circonferenza con centro nell origine degli assi e di raggio 5: 43. Il valore attuale di una rendita annua immediata posticipata è di 2000 euro. Noto che si versano 12 rate annue costanti in capitalizzazione composta ai tassi semestrali del 2% per i primi 8 anni e del 5% per i successivi, allora il valore della rata è di circa 221; 32 euro. 44. Sia f(x; y) = (x 2 y 2 )e 2y : Allora f xy (1; 0) = 1) 4 2) 4 3) 1 4) 2 5) 2 6) Sia f(x; y) = x 3 y + xy 2 : Allora f yy (1; 1) = 1) 2 2) 5 3) 0 4) 4 5) 2 6) Sia f(x; y) = ln(e xy + 1): Allora f xx (1; 0) = 1) 1=4 2) 1=2 3) 1=2 4) 1=4 5) 0 6) Sia f(x; y) = x 2 + p x 2 + 2y: Allora f y (1; 0) = 1) 2 2) 1 3) 1=2 4) 1=2 5) 2 6) Sia f(x; y) = jxyj : Allora f x (1; 1) = 1) 1 2) 1 3) 1 4) 3 5) 2 6) non esiste 6

7 49. Determinare il tempo necessario a nchè, in regime di interesse semplice, un capitale di 2000 euro produca un montante di 2050 euro, al tasso del 2; 5% annuo. 1) 1 anno 2) 1 mese 3) circa 1 anno 4) 2 anni 5) circa 2; 32 anni 6) 2 mesi 50. Tizio versa presso un Istituto di Credito1500 euro all anno, anticipati, per 5 anni, al tasso del 3% annuo. Calcolare il montante di cui si dispone, in regime composto, alla ne del quinto anno. 1) circa 82026; 15 2) circa 62026; 15 3) circa ) circa 8026; 15 5) circa 92026; 15 6) circa 72026; Un individuo riceve a prestito la somma di euro che deve restituire in n rate annue costanti, pagate in via posticipata, di importo 9495; 86 euro ciascuna e calcolate in base al tasso annuo del 6%. Si determini il numero di rate necessarie per estinguere il debito. 52. Sia f(x; y) = jxj p ; (x; y) 6= (0; 0): Calcolare x2 + y lim f(x; y): 2 (x;y)!(0;0) 53. Sia f(x; y) = xye (x 2 + y 2 ) 2 : (a) Determinare il gradiente di f(x; y). (b) Determinare i punti critici di f(x; y). (c) Determinare se l origine è massimo, minimo o sella per la funzione. 54. Il dominio della funzione f(x; y) = p x è dato dall insieme R (0; +1): y 55. Il gradiente della funzione f(x; y) = (x 2 y 2 )e xy nel punto (1; 1) è (2e; 2e): 56. La funzione f(x; y) = x 2 y x 4 y 3 ha un massimo nel punto p3 6 ; 1 6 xyz2 + z + 5xy = xy + 1: 58. Il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d = 0; 25 è pari a 33; 33%: 7

8 8 >< 59. La funzione f(x; y) = >: x 2 y 3 + y 5 x 4 ; se (x; y) 6= (0; 0) + y4 0; altrove è derivabile nell origine. 60. La funzione f(x; y) = x 2 y x 4 y 3 ha un minimo nell origine. 61. Il valore attuale di una rendita perpetua posticipata pari a 270 euro al tasso di interesse annuo del 5% è pari a 5400 euro. 62. Il valore attuale di una rendita annua immediata posticipata è di 2000 euro. Noto che si versano 12 rate annue costanti in capitalizzazione composta ai tassi semestrali del 2% per i primi 8 anni e del 5% per i successivi, allora il valore della rata è di circa 100; 32 euro. 63. Sia f(x; y) = x 2 + y 2 e 2y : Allora f y (0; 1) = 1) 4e 2 2) 2e 2 3) 1 4) 4e 2 5) 2e 2 6) Sia f(x; y) = y p x 3 + xy 2 : Allora f xy (0; 1) = 1) 5 2) 2 3) 0 4) 5 5) 2 6) Sia f(x; y) = ln(e xy ): Allora f xx (1; 1) = 1) 1 2) 0 3) 2e 4) e 5) 1 6) Sia f(x; y) = x 2 y : Allora fy (0; 0) = 1) 1 2) 0 3) non esiste 4) 1 5) 2 6) 1 8

9 67. Sia f(x; y) = jxj ln(1 + y): Allora f yy (1; 0) = 1) 1 2) 1 3) 1 4) 3 5) 2 6) Un capitale di 5000 euro viene impiegato ad un regime di interesse semplice per 18 mesi. Determinare a quale tasso annuo di interesse il montante prodotto e uguale ai 7=6 del capitale impiegato. 1) circa 11; 11 2) circa 10; 11 3) circa 15; 11 4) circa 12 5) circa 8; 11 6) circa 9; Un debito di euro viene rimborsato con rate costanti posticipate di importo R alle scadenze 8 mesi, 14 mesi, 24 mesi al tasso annuo di interesse del 7%: Determinare la rata. 1) circa 9079; 68 2) circa ) circa ) circa 9324; 67 5) circa 9000; 15 6) nessuna risposta è giusta 70. Per ottenere dopo tre anni un capitale pari a 1000 euro, si pensa di versare tra un anno 600 euro e tra due anni 300 euro. Determinare il tasso annuo necessario per rendere possibile tale costituzione di capitale. 71. Sia f(x; y) = p x2 + y 2 jyj ; y 6= 0: Calcolare lim f(x; y): (x;y)!(0;0) 72. Sia f(x; y) = x y + 8 x y: (a) Determinare il gradiente di f(x; y). (b) Determinare i punti critici di f(x; y). (c) Determinare se tra i punti critici di f(x; y) esistono punti di massimo, minimo, sella. 73. Il dominio della funzione f(x; y) = x ln(xy 2 ) è dato dal primo e quarto quadrante, assi esclusi. 74. Il gradiente della funzione f(x; y) = e x2y nel punto (1; 1) risulta (e; 2e): 9

10 75. La funzione f(x; y) = x 2 y x 4 y 3 ha un massimo nel punto p3 6 ; 1 6 : 76. Il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d = 0; 25 è pari a 33; 33%: 77. La funzione f(x; y) = p jyj (4 x 2 y 2 ) è derivabile nel punto (1; 0): 78. L equazione del piano tangente in (0; 1) al gra co di f(x; y) = p jyj (4 x 2 y 2 ) è 6z = 5 p 3 + p 3y: 79. Circa 7; 33% è il tasso di interesse composto annuo equivalente al tasso di interesse semplice dell 8% relativamente ad un impiego la cui durata è 3 anni e 5 mesi. 80. Il valore attuale di una rendita annua immediata posticipata è di 2000 euro. Noto che si versano 12 rate annue costanti in capitalizzazione composta ai tassi semestrali del 2% per i primi 8 anni e del 5% per i successivi, allora il valore della rata è di circa 550; 87 euro. 81. Sia f(x; y) = p jyj(4 x 2 y 2 ). Nel punto (1; 0) (a) f non è derivabile. (b) esiste f x ma non f y. (c) f x (1; 0) = 0, f y (1; 0) = 0. (d) f x (1; 0) = 0, f y (1; 0) non esiste. (e) esiste f y ma non f x. 82. L insieme f(x; y) 2 R 2 : jxj 1; jyj 2g è (a) un quadrato. (b) un rettangolo. (c) un triangolo. (d) un cerchio. (e) una retta. 83. Sia f(x; y; z) = (98x 6 + e x )(y + 5) 3 + z 2. Allora (a) f xxz (x; y; z) = 30x 2 12xy 2. (b) f xyz (x; y; z) = 18x 2 y 2. (c) f zz (x; y; z) = 2z. (d) f zz (x; y; z) = 2. (e) f zzz (x; y; z) = Sia f(x; y) = p jx 2 xyj: (a) f x, f y esistono sempre. 10

11 (b) f x (0; 0), f y (0; 0) esistono. (c) f x (0; 0) non esiste, f y (0; 0) esiste. (d) f x (0; 0) = 0, f y (0; 0) = 0. (e) il gradiente in (0; 0) non esiste. 85. Determinare il dominio di f(x; y) = 2. (a) R: (b) R 2 : (c) 8(x; y) 6= (0; 0). (d) cerchio con centro nell origine e raggio 1. (e) f(x; y) 2 R 2 : x 6= 0g: 86. Trovare tutti i punti critici di f(x; y) = 1 + x 3 y 4. (a) R: (b) R 2 : (c) asse x e asse y. (d) origine. (e) asse x e y = Sia f(x; y) = 1 + x 3 y 4. Allora (a) tutti i punti del semiasse x positivo sono punti di minimo. (b) tutti i punti del semiasse x negativo sono punti di massimo. (c) tutti i punti dell asse y sono punti di sella. (d) (1; 1) è un punto di massimo. (e) (0; 1) è un punto di minimo. 88. Sia f(x; y) = x 2 xy 2 + 2y 2. (a) (0; 0) è un punto di minimo. (b) (0; 0) è un punto di sella. (c) (2; 2) è un punto di sella. (d) (2; 2) è un punto di massimo. (e) (1; 1) è un punto di sella. 89. Calcolare il montante che si ottiene impiegando la somma di euro per 15 mesi in regime di interessi semplici al tasso annuo del 10%. (a) (b)

12 (c) (d) circa 13212; 13 (e) circa 1530; Calcolare in regime di interessi semplici il tasso trimestrale equivalente al tasso annuo del 16%. (a) circa 5; 71% (b) 4% (c) circa 4; 83% (d) circa 5; 91% (e) 1% 91. Calcolare il valore attuale della somma di 500 euro disponibile tra 3 anni e 4 mesi in regime di interessi composti con tasso annuo del 9%. (a) circa 1233; 85 (b) 50 (c) circa 583; 47 (d) circa 35; 91 (e) circa 375; Calcolare il montante ad interesse composto annuo del capitale di 1000 euro al tasso annuo dell 8% per 5 anni. (a) circa 1596; 12 (b) circa 1700; 17 (c) 1340 (d) circa 1469; 33 (e) circa 1630; Consideriamo una rendita di 500 euro l anno per 7 anni, anticipata, in regime di interessi composti con tasso annuo del 6%. Allora (a) Valore attuale circa = 2345; 13 (b) Valore attuale circa = 12289; 13 (c) Valore attuale circa = 2958; 66 (d) Montante circa = 4448; 73 (e) Montante circa = 5320; Un nanziamento di euro viene rimborsato con rate costanti in 6 anni al tasso di interesse del 7% annuo composto. Allora 12

13 (a) la prima rata è di 4560 euro. (b) la quota capitale relativa al primo anno risulta di 3494; 89 euro. (c) la seconda rata è di circa 5244; 89 euro. (d) il debito estinto relativo al primo anno è di 2456 euro. (e) il debito residuo relativo al secondo anno risulta di 1454 euro. 95. Siano f(x; y) = log 2 (ax + by), con a e b parametri reali positivi. (a) f xy (x; y) < 0; f yx (x; y) < 0: (b) f xy (x; y) < 0; f yx (x; y) > 0: (c) f xy (x; y) > 0; f yx (x; y) < 0: (d) f xy (x; y) > 0; f yx (x; y) > 0: (e) non esistono f xy (x; y); f yx (x; y). 96. Calcolare rf(0; 0) di f(x; y) = e x + 2y. (a) R: (b) (3; 2): (c) ( 1; 2): (d) (1; 2): (e) non esiste. 97. Quale delle seguenti funzioni veri ca f xx + f yy = 0 per ogni (x; y) del dominio? (a) f(x; y) = x 2 + y 2 : (b) f(x; y) = x 2 y 2 : (c) f(x; y) = y 3 3x 2 y + e x : (d) f(x; y) = x + y + 5: xy (e) f(x; y) = (x 2 + y 2 ) 2 : 98. In quali punti esistono tutte le derivate parziali prime della funzione f(x; y; z) = x + y + z? (a) R. (b) R 2 : (c) R 3 : (d) nessun punto. (e) soltanto in (1; 1; 1): 99. Sia f(x; y) = 3x 2 2xy + y 2 8y: Allora (a) (2; 6) minimo relativo. 13

14 (b) (2; 6) massimo relativo. (c) (2; 6) punto di sella. (d) (1; 6) minimo relativo. (e) (0; 0) punto di sella Trovare e classi care i punti critici della funzione f(x; y) = (a) (0; 0) è punto di minimo. (b) (0; 0) è punto di massimo. (c) non esistono punti critici. (d) (0; 0) è punto di sella. (e) (1; 0) è punto di sella. xy 1 + x 2 + y 2 su R2 : 101. Dato il tasso annuo dell 8% si trovi in regime di interesse composto l equivalente tasso mensile. (a) circa 0; 643% (b) circa 1; 234% (c) circa 13; 781% (d) circa 3% (e) circa 0; 999% 102. Determinare il montante di un capitale di 700; 45 euro, sapendo che l interesse semplice maturato per cinque anni è di 2000 euro. (a) circa 5; 71% (b) circa 5 (c) circa 6; 01% (d) circa 5; 91% (e) circa 1% 103. Calcolare il valore attuale di una rendita perpetua che prevede il pagamento di rate annue posticipate di 300 euro in regime di interessi composti con tasso annuo del 5%. (a) 7000 (b) circa 2374; 15 (c) 8000 (d) 6000 (e) Dato il tasso annuo dell 8% si trovi in regime di interesse composto l equivalente tasso mensile. 14

15 (a) circa 0; 643% (b) circa 1; 234% (c) circa 13; 781% (d) 3% (e) circa 0; 999% 105. Consideriamo una successione di pagamenti mensili di 50 euro ciascuno che si cominceranno a ricevere tra 1 mese e che dureranno per 2 anni in regime di interessi composti con tasso annuo del 9%. Allora (a) Valore attuale circa = 1235; 13 (b) Valore attuale circa = 1098; 42 (c) Valore attuale circa = 821; 89 (d) Montante circa = 1674; 85 (e) Montante circa = 1304; Un nanziamento di 3000 euro viene rimborsato con rate costanti in 5 anni al tasso di interesse del 15% annuo composto. Allora (a) la quarta rata è di circa 894; 95 euro. (b) il debito estinto relativo al primo anno risulta di 2555; 05 euro. (c) la seconda rata è di 860 euro. (d) la quota capitale relativa al primo anno è di 444; 95 euro. (e) il debito residuo relativo al secondo anno risulta di 1454 euro Sia f(x; y) = e xy. Allora (a) f x (x; y) = ye xy, f y (x; y) = xe xy. (b) f x (x; y) = xe xy, f y (x; y) = xe xy. (c) f x (x; y) = xe xy, f y (x; y) = ye xy. (d) f x (x; y) = ye xy, f y (x; y) = ye xy. (e) f x (x; y) e f y (x; y) non esistono Sia f(x; y) = xy + x. Calcolare f(1=2; 3). y (a) 5=3: (b) 3. (c) 5=3. (d) 0. (e) 7= Sia f(x; y) = ln(xy). Allora 15

16 (a) f x (x; y) = 1=(xy), f y (x; y) = 1=(xy). (b) f x (x; y) = 1=x, f y (x; y) = 1=y. (c) f x (x; y) = 1=y, f y (x; y) = 1=x. (d) f x (x; y) = e, f y (x; y) = e. (e) f x (x; y) e f y (x; y) non esistono Il di erenziale totale di f(x; y) = x 2 y 3 è (a) f x (x; y) = 2xy 3, f y (x; y) = 3x 2 y 2. (b) non esiste. (c) 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy. (d) coincide con il gradiente essendo la funzione di erenziabile. (e) 2dx + 3dy Determinare il dominio di f(x; y) = p x 2 + y 2. (a) R: (b) R 2 : (c) 8(x; y) 6= (0; 0). (d) cerchio con centro nell origine e raggio 1. (e) insieme dei punti del primo e terzo quadrante I punti stazionari di f(x; y) = x 3 + y 2 + 4xy sono (a) (0; 0), (8=3; 16=3). (b) (0; 0), (7=3; 16=3). (c) (0; 0), (8=3; 16=3). (d) (0; 0), (8=3; 8=3).non esistono Sia f(x; y) = 4x 3 y 3 x y. Allora (a) (0; 3); (0; 3); (1=6; 3); (1=6; 3) sono punti critici. (b) (0; 0); (1=6; 3); (1=6; 3) sono punti critici. (c) (0; 0) è un punto critico. (d) (0; 3); (0; 3); ( 1=6; 3); (1=6; 3) sono punti critici. (e) (0; 3); (0; 3); ( 1=6; 3); ( 1=6; 3) sono punti critici Sia f(x; y) = 4x 3 y 3 x y. Allora (a) (0; 3) è un punto di massimo relativo. (b) (0; 3) è un punto di sella. (c) (0; 3) è un punto di minimo relativo. 16

17 (d) (0; 3) è un punto di massimo relativo. (e) (1=6; 3) è un punto di sella Calcolare a quale tasso annuo è stato impiegato un capitale di 7000 euro sapendo che l interesse semplice maturato per cinque anni è di 2000 euro. (a) circa 5; 7% (b) circa 5% (c) circa 6; 1% (d) circa 4; 91% (e) circa 1% 116. Calcolare il montante ad interesse composto annuo del capitale di 1400 euro al tasso annuo del 6% per 2 anni e 3 mesi. (a) circa 1596; 12 (b) circa 1700; 17 (c) circa 1000 (d) circa 13212; 13 (e) circa 1530; Calcolare dopo quanti anni un capitale di 1640 euro impiegato al 3% semestrale produce un montante di 2640; 80 euro. (a) circa 8 anni. (b) circa 10 anni. (c) circa 1 anno e 7 mesi. (d) circa 7 anni. (e) circa 4 anni ed 11 mesi Si trovi in regime di interesse composto l equivalente tasso mensile del tasso annuo dell 8%. (a) circa 0; 643% (b) circa 1; 234% (c) circa 13; 781% (d) circa 3% (e) circa 0; 999% 119. Calcolare il valore tra 2 anni di due versamenti, il primo di 1500 euro e ettuato subito ed il secondo di 1000 euro e ettuato tra 3 anni in regime di interessi composti con tasso annuo del 6%. (a) circa 1433; 12 17

18 (b) circa 1800; 17 (c) circa (d) circa 2628; 80 (e) circa 3530; Un nanziamento di 1000 euro viene rimborsato in 3 anni pagando a titolo di quote di capitale rispettivamente 200 euro, 300 euro e 500 euro. Sia 15% il tasso di interesse annuo composto usato. Allora (a) la prima rata è di 350 euro. (b) il debito estinto relativo al primo anno risulta di 250 euro. (c) il debito residuo relativo al primo anno risulta di 800 euro. (d) la seconda rata è di 420 euro. (e) il debito residuo relativo al secondo anno risulta di 700 euro. 8 >< 121. Sia f(x; y) = >: (a) f x, f y esistono sempre. xy 3 x 2 ; (x; y) 6= (0; 0); + y2 0; (x; y) = (0; 0): (b) f xy (0; 0), f yx (0; 0) esistono. (c) f xy (0; 0) = f yx (0; 0). (d) f xy (0; 0) 6= f yx (0; 0). (e) f xy (0; 0) = 1, f yx (0; 0) = 0. 18