REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE E SCONTO (Esercizi)

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1 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE E SCONTO (Esercizi) Elena Coffetti Copyright SDA Bocconi

2 INDICE INDICE... REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE E SCONTO...1 INFLAZIONE...4 TASSI EQUIVALENTI...5 Avvertenza: nonostante gli esercizi che seguono facciano riferimento ad operazioni reali, alcuni di essi possono non rispecchiare la situazione economica e legislativa italiana attuale. iv

3 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE E SCONTO 1 Es. 1) Per una somma di 9.2 calcolare il montante ed il totale interessi (capitalizzazione semplice) nei seguenti casi: a) tasso annuo 5%, per 6 anni e 4 mesi, b) tasso annuo 8%, per 7 anni 2 mesi e 15 giorni. Es. 2) Con un investimento iniziale di 3650 quanto tempo occorre per avere una somma pari a 4779 (capitalizzazione semplice) al tasso del 5.2% annuo? Es. 3) Dieci anni fa avete depositato in un fondo 15600,00 Euro al tasso del 5% annuo composto. Sei anni fa avete prelevato una somma pari a Euro 8465,00 impiegandola alternativamente al 7.25% annuo composto. Di quanto disponete ora? Es. 4) Determinare il valore futuro di un investimento pari a C di 3 anni al 10.75% annuo composto. Es. 5) Avete diritto ad incassare 100 fra 3 anni; calcolare il valore attuale di tale importo scontato al 16% annuo composto. Es. 6) Quanto dovete investire oggi per ottenere 50 fra 4 anni con un rendimento del 12% annuo composto? Es. 7) Un investimento iniziale di 10 vale 50 fra 10 anni; determinare il tasso di rendimento annuo composto relativo all operazione. Es. 8) Quanto dovete investire oggi per avere 30 fra 5 anni se richiedete un rendimento del 18% annuo semplice? Es. 9) Per quanto tempo dovete mantenere un investimento attuale di 20 per ottenere 50 con un T.A.E. composto del 14%? Es. 10) Quanto dovete investire oggi per avere 250 fra 4 anni con un rendimento annuo del 6% nel regime degli interessi anticipati? Es. 11) Investendo oggi 50 al 13% annuo composto quanto tempo occorre per ottenere 80? Es. 12) Quanto dovete investire oggi per avere 50 dopo 7 mesi con un rendimento mensile composto dell 8%? 1 Nei seguenti esercizi considerate, per semplicità di calcolo, una base anno di 360 giorni.

4 Es. 13) Investendo oggi 30 al 18% semestrale quanto tempo occorre per avere un montante di 80? Es. 14) Quanto dobbiamo investire oggi per ottenere 100 dopo 1 anno con un rendimento bimestrale del 2% ad interessi semplici? Es. 15) Potete scontare una cambiale con scadenza 2 anni di importo facciale (o nominale) 100 ottenendo ; calcolare il tasso di sconto razionale (o semplice). Es. 16) Investendo oggi 15 ad un tasso di sconto commerciale pari al 4% annuo, fra quanti anni avremo 40? Es. 17) Disponendo di 100 esigibili fra 3 anni quanto otteniamo oggi scontando il credito al 16% annuo composto? Es. 18) Per un prestito di 40 a 3 anni al tasso di sconto commerciale annuo dell 8%: a) Stimare il debito finale. b) Valutare il tasso effettivo annuo composto equivalente. Es. 19) Prendete oggi a prestito 100 per 2 anni al 10% annuo con la legge degli interessi anticipati: a) Calcolare il debito finale. b) Stimare il tasso effettivo annuo composto e il tasso effettivo annuo semplice equivalenti. Es. 20) In base all ammontare di oneri finanziari riferiti ad un prestito di 100 milioni e secondo le leggi dei 2 regimi di capitalizzazione (semplice e composta) giudicate quale regime per voi risulta più conveniente con un tasso di interesse pari al 12.5% annuo per entrambi i regimi, in relazione alle seguenti scadenze : a) t = 3 mesi b) t = 1 anno e 6 mesi c) t = 2 anni e 4 mesi Es. 21) Calcolate nel regime dello sconto commerciale il valore attuale di una cambiale di 20 milioni con scadenza fra 4 anni scontata dopo 2 anni al tasso del 12.5% annuo. A che tasso effettivo annuo composto dovrei impiegare questa cifra per avere alla scadenza la possibilità di restituire i 20 milioni? Sarebbe sufficiente investire presso 2

5 chi vi garantisce un tasso effettivo annuo composto del 20%? (commentare il risultato) Es. 22) Un investitore deposita 3 milioni all inizio del primo anno. Ritira 2 milioni all inizio del secondo anno e deposita 2.5 milioni all inizio del terzo anno. Se la banca applica il tasso effettivo del 5.875% annuo con legge di capitalizzazione ad interessi composti, qual è il valore futuro alla fine del terzo anno? Es. 23) Un investimento di 232 milioni produce milioni in 2 anni nella legge degli interessi composti, qual è il tasso effettivo annuo? Es. 24) Per un investimento di 2500$ la Free Finance Company vi offre 8100$ alla fine dell ottavo anno. Calcolare il rendimento effettivo semestrale nella legge degli interessi composti. Es. 25) Data una cambiale con un valore nominale (o facciale) di 600,00 e scadenza pari a 6 mesi si calcoli il valore attuale con la legge degli interessi anticipati al 15% annuo. Es. 26) Decidete di depositare su un fondo un ammontare fisso alla fine di ogni trimestre per avere fra 9 mesi 250 milioni. Il rendimento effettivo composto è l 8% annuo. Quanto depositate ogni trimestre? Es. 27) Quale tasso annuo è stato applicato se avete impiegato nel regime dell interesse semplice una somma pari a ,00 che dopo 1 anno, 4 mesi (gennaio, febbraio, marzo e aprile) e 10 giorni (con base anno 365 giorni) vi frutta interessi pari a ,00? Es. 28) Calcolare il tasso di rendimento effettivo annuo nel regime degli interessi composti di un operazione che scade fra 3 mesi. L operazione presenta un capitale investito di 2 milioni e un valore futuro di milioni. Es. 29) Un fondo vi chiede un versamento costante su base annua (fine anno) per cumulare alla fine del terzo anno una somma pari a 120 milioni. Il tasso applicato per il calcolo degli interessi è pari al 6% annuo. La legge finanziaria è quella degli interessi semplici. a) Calcolate quando dovete versare nel fondo alla fine di ogni anno. b) Costruite lo scadenziario dei flussi. Es. 30) A quanto ammonterà il vostro conto corrente fra 4 anni se depositate oggi 15 milioni al tasso effettivo annuo composto del 5%?

6 Se prelevate dopo 2 anni il 50% del vostro credito? Se, dopo aver prelevato il 50%, in crisi di liquidità, all inizio del quarto anno prelevate ancora 40 milioni (siete affidati), quanto dovrete rimborsare alla banca se vi applica un tasso effettivo annuo composto del 21% per l affidamento? Es. 31) In base all ammontare di interessi finanziari riferiti ad un investimento di 200 milioni e secondo i due regimi di capitalizzazione (interessi semplici e interessi composti) giudicate quale regime per voi risulta più conveniente in base alle seguenti scadenze: a) t = 6 mesi b) t = 1 anno e 3 mesi con un tasso d interesse pari al 10% annuo per entrambi i regimi. INFLAZIONE Es. 32) Contraete un mutuo al 6% reale annuo, calcolare il tasso nominale se l inflazione prevista è l 8% su base anno. Es. 33) Calcolare il rendimento reale di un investimento con un rendimento dichiarato del 17.5% con un inflazione media annua del 3%. Es. 34) Calcolare il montante fra 3 anni di un investimento di 10 al 13% annuo composto. Determinare il rendimento reale annuo se l inflazione media è del 10% su base anno Es. 35) Investite 100 per 2 anni con un rendimento del 5% annuo composto nominale. Calcolare il valore finale reale del vostro investimento con un inflazione annua dell 8%. Es. 36) Con un rendimento reale del 3% annuo determinare il valore dopo 5 anni di un investimento di 10 milioni se l inflazione media annua è pari al 5%. Se l inflazione crescesse di 1 punto ogni anno? Es. 37) Il prezzo corrente di un prodotto è di Quale sarà il suo prezzo fra 10 anni con un inflazione costante annua pari al 7%? Fra 20 anni? Es. 38) Per quanto tempo dovete mantenere un deposito di 20 milioni sul vostro conto corrente per avere 50 milioni se la banca vi offre un rendimento reale del 2% annuo e l inflazione annua è del 4%? 4

7 Es. 39) Valutare il tasso d interesse medio annuo necessario per avere un rendimento annuo reale del 3% con le seguenti previsioni di inflazione: Anni Inflazione 13% 10% 9% (Supponete che la controparte dell operazione sia di nazionalità argentina). Es. 40) Per l acquisto di un appartamento contraete un mutuo di 80 con rimborso totale (capitale + interessi) dopo 5 anni ad interessi composti. La banca vi addebita un tasso d interesse annuo pari al 150% dell inflazione. Quanto rimborserete alla scadenza con un inflazione media annua del 12%? Es. 41) Determinare il tasso annuo reale per un prestito di 3 anni con scoperto di conto corrente bancario al 14% (nominale convertibile trimestralmente) e con un inflazione annua del 4%. Es. 42) Determinare il rendimento reale annuo di un investimento con un ritorno totale annuo del 15% ed un inflazione annua del 5%? TASSI EQUIVALENTI Es. 43) Investendo oggi 50 al 15%, nominale convertibile semestralmente, quanto avremo fra 3 anni? Es. 44) Investendo oggi 30 al 20%, nominale convertibile trimestralmente quanto sarà disponibile fra 2 anni? Es. 45) Prendete a prestito 50 da una banca che vi addebita il TAN 12% convertibile trimestralmente; quanto rimborserete fra 3 anni? Es. 46) Disporrete di 100 fra 5 anni. Quanto potere ottenere oggi scontando il vostro credito al TAN 16% convertibile trimestralmente? Es. 47) Quanti tempo ci vuole per raddoppiare un capitale investito pari a 1 al 21% annuo effettivo composto su base mensile? Es. 48) Investendo oggi 10 all 11.5% nominale convertibile bimestralmente di quanto disporremo fra 4 anni?

8 Es. 49) Investendo oggi 30 al TAN 7.8%, convertibile ogni 4 mesi, quanto sarà disponibile fra 5 anni? Es. 50) Investite oggi 200 milioni e vi vengono proposte le seguenti operazioni con scadenza fra tre anni e mezzo. Operazione I) : Tasso nominale convertibile semestrale pari al 6%. Operazione II): Tasso effettivo composto trimestrale pari all 1.5%. a) Quali sono i tassi effettivi composti annui equivalenti nelle due operazioni? b) Quale operazione risulta più vantaggiosa alla scadenza? Es. 51) Dovete versare due rate bimestrali di Euro 350,00; calcolate il valore attuale dell operazione (importo finanziato) in base alle seguente ipotesi: a) interessi semplici con tasso di interesse semestrale 5%, b) interessi anticipati con tasso di sconto annuo pari al 10%. Es. 52) Valutate il montante (valore futuro) di 30 milioni dopo 3 anni con un tasso annuo nominale annuo convertibile trimestrale del 12%. Se fosse convertibile semestralmente, a quanto ammonterebbe il differenziale d interessi fra le due operazioni? Es. 53) Quanto dovreste investire al 3.5% quadrimestrale per avere dopo un anno e 4 mesi 420,00 Euro di interessi nei due regimi dell interesse semplice e dell interesse composto? Es. 54) Nel regime dell interesse semplice, quale somma occorre impiegare al 4% semestrale per avere dopo 1 anno e 9 mesi 532,00 Euro di interessi? Es. 55) Considerate di voler investire 400 milioni per un anno. Vi propongono le seguenti alternative: a) capitalizzazione a interessi semplici al tasso di interesse semestrale del 4%. b) capitalizzazione ad interessi anticipati al tasso di sconto del 2% trimestrale. Valutate la convenienza delle due operazioni. Es. 56) Essendo investitori quali fra le seguenti alternative preferite? a) Un investimento che rende un tasso effettivo di interesse dell 8% semestrale (composto). 6

9 b) Un investimento che paga un tasso nominale annuo (TAN) convertibile semestrale del 16%. c) Un investimento che paga un tasso effettivo annuo del 16.64%. L orizzonte temporale dell investimento è pari a 1 anno. Es. 57) Investite oggi 30 milioni e vi vengono proposte le seguenti operazioni: Operazione A) : Scadenza 2 anni e 6 mesi. Tasso effettivo composto semestrale pari al 3%. Operazione B) Scadenza 2 anni e 6 mesi. Tasso effettivo composto trimestrale pari all 1.5%. a) Quale operazione rende di più alla scadenza? b) Quali sono gli equivalenti tassi effettivi composti annui? Es. 58) Supponete di poter disporre fra 4 anni di una somma pari a 280.Quanto vale oggi tale somma rispetto alle seguenti leggi: a) Sconto semplice/razionale con tasso di interesse semplice semestrale 5%. b) Sconto commerciale con tasso di sconto annuo pari al 10%. Es. 59) Si supponga di poter disporre fra 3 anni di una somma pari a 300. Quanto vale oggi tale somma con riferimento alle seguenti leggi: a) Sconto commerciale con tasso di sconto semestrale pari al 4,5%. b) Sconto semplice/razionale con tasso di interesse semplice quadrimestrale pari al 3%. Es. 60) Oggi investite 50 milioni e vi vengono proposte le seguenti operazioni: Operazione A Scadenza 4 anni e 3 mesi. Tasso effettivo composto trimestrale pari al 2%. Operazione B Scadenza 4 anni e 3 mesi. Tasso nominale convertibile semestralmente pari all 8%. Operazione C Scadenza 4 anni e 3 mesi. Tasso effettivo annuale pari all 8% in capitalizzazione semplice. a) Quale operazione rende di più al termine dei 4 anni e 3 mesi?

10 b) Quali sono gli equivalenti tassi effettivi composti annui? Es. 61) Contraete oggi un prestito di 350 da restituire dopo tre anni e 2 mesi. Vi offrono le seguenti alternative per quanto concerne le condizioni: a) Un tasso di interesse semplice bimestrale dell 1.5% b) Un tasso di interesse effettivo composto annuo (TAE) del 9% Quale condizione risulta più vantaggiosa in termini di valore futuro? Calcolare l ammontare complessivo degli interessi in entrambe le operazioni. Es. 62) Per quanto tempo dovete investire ad interessi semplici una somma pari a 495 milioni se desiderate ottenere alla scadenza 594 milioni ad un rendimento semestrale pari al 4%? Es. 63) Data un operazione ad interessi anticipati che prevede un impiego oggi di ,00 e un valore a scadenza pari a ,00 dopo 2 anni e 9 mesi. Calcolate il rendimento (tasso di sconto commerciale) trimestrale dell operazione. Calcolate la componente interessi dell operazione. Se confrontate codesta operazione con un altro investimento effettuato ad interessi composti al 3.5% effettivo trimestrale, a parità di scadenza e di capitale iniziale quale risulta più vantaggiosa? (Giustificare la risposta) Es. 64) Avete a disposizione un operazione che presenta il seguente scadenziario dei flussi: 0 4 mesi 8 mesi - 1,500 1,000 a) Calcolate il valore attuale dei flussi sapendo che il tasso di interesse al quale potete impiegare i flussi è pari al tasso annuo nominale del 6% (TAN) convertibile su base quadrimestrale. b) Qual è il tasso annuo effettivo equivalente? Es. 65) Un fondo vi chiede 2 versamenti: il primo - pari a 70 milioni - alla data di oggi e il secondo - pari a 30 milioni - fra 6 mesi. Supponete che il tasso d interesse che vi propongono sia pari al 6% annuo. La legge finanziaria è quella degli interessi semplici. 8

11 a) Calcolate quanto avete nel fondo dopo un anno e mezzo. b) Qual è il tasso trimestrale equivalente al 6% annuo? Es. 66) Dovete versare in un fondo di investimento i seguenti importi alle scadenze evidenziate: 4 mesi 8 mesi 12 mesi a) Calcolate il valore futuro dei flussi dopo un anno sapendo che il tasso di interesse al quale potete impiegare i flussi è pari al tasso annuo nominale del 12% (TAN) convertibile su base quadrimestrale. b) Decidendo di proseguire l operazione per un ulteriore anno quale risulterebbe il valore futuro supponendo di non variare il tasso? Es. 67) Fra 4 anni e 3 mesi otterrete un somma pari a 105 alle seguenti condizioni: a) tasso effettivo composto trimestrale 2.5%; b) tasso annuo nominale convertibile semestrale 10%; c) tasso annuo semplice dell 11%. Valutate i valori attuali delle tre operazioni. Qual è il tasso reale dell operazione b) sapendo che l inflazione è pari allo 0.5% su base semestrale? Es. 68) Il valore ad oggi di un operazione ad interessi anticipati è pari a 500. Quanto tempo (in anni) richiede tale investimento per cumulare un valore di se il rendimento dell operazione è pari al 4% su base bimestrale? Qual è l ammontare degli interessi globali dell operazione? Qual è il tasso annuo equivalente nella legge degli interessi semplici? Qual è il differenziale fra i tassi delle due leggi finanziarie su base annua? Es. 69) Investendo 270 per 4 anni e 6 mesi avete le seguenti opportunità: a) tasso effettivo composto trimestrale 2.5%, b) tasso annuo nominale convertibile semestrale 10%.

12 Confrontate il valore dei TAE delle due operazioni. Es. 70) Quanto dovete investire al 4% mensile per avere dopo un anno e 3 mesi un montante di ,00 impiegando la legge degli interessi semplici? Es. 71) A fronte di un prestito su c/c bancario pari a 50, quanto dovete rimborsare dopo 2 anni se la banca vi addebita un TAN del 10%? (La capitalizzazione degli interessi avviene trimestralmente). Es. 72) Quanto pagherete fra 3 anni per uno scoperto in c/c bancario di 400 al tasso dell 8% nominale convertibile su base trimestrale? Es. 73) Comparare le seguenti alternative di finanziamento per 2 anni sulla base dei tassi applicati: a) Scoperto di c/c bancario al TAN del 12% (interessi composti su base trimestrale) b) Sconto di effetti al 10% annuo (interessi semplici anticipati). c) Sconto di effetti su base razionale al 12.5% annuo semplice. 10