MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 14 gennaio 2016

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 14 gennaio 2016 Cognome e Nome Matricola n Cattedra: Pacati Quaranta Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = euro per il tempo t = un anno e 9 mesi secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo semplice i S = 4%. Si calcolino le seguenti grandezze: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando invece una sottostante legge degli interessi composti, al tasso annuo composto i C = 4%: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Esercizio 2. Si consideri al tempo t = 0 un mercato con due titoli a cedola nulla, entrambi con nominale C = euro: il primo con scadenza 6 mesi, il secondo con scadenza un anno. Nell ipotesi che i prezzi a pronti in t dei due titoli siano rispettivamente P 1 = 980 euro e P 2 = 934 euro, si determini il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria di acquisto di entrambi al tempo t e lo si esprima in forma percentuale e su base annua. i = % Si consideri ora l operazione di acquisto al tempo t del portafoglio composto da due quote del titolo a sei mesi e da tre quote del titolo a un anno. Quale dovrebbe essere il prezzo di acquisto P del portafoglio, in modo tale che il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria di acquisto sia il 5% in base annua? P =

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo al 2.1% annuo per un importo S = euro, da restituirsi in 4 rate annuali posticipate. Si compili il piano di ammortamento sapendo che la seconda quota interessi e le ultime due quote capitale sono pari a euro. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei tassi a pronti: i(0, t) = 2% % t con i tempi espressi in anni. Si calcoli la struttura per scadenza di tassi di interesse a pronti, a termine, e swap sullo scadenzario {1, 2, 3} anni. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene al tempo t = 0 un portafoglio x, che garantisce il flusso di importi: {140, 160, 180} milioni di euro sullo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni; supponendo che l istituzione svolga le sue valutazioni in base ad una legge esponenziale al tasso annuo del 1.6% si calcolino: Valore attuale V (0, x) = milioni Duration D(0, x) = anni Si supponga che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita immediata e perpetua, con rata mensile pari a un milione di euro; si calcoli la duration D del nuovo portafoglio: D = anni

4 Esercizio 6. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui è in vigore una struttura dei tassi di interesse piatta in cui sono quotati: 1. un TCN a pronti con scadenza sei mesi, valore facciale euro e prezzo 992 euro 2. un titolo a tasso variabile x perfettamente indicizzato, con cedola semestrale senza spread, durata residua sette anni e capitale nominale 100 euro; 3. un titolo a tasso variabile y perfettamente indicizzato, con cedola semestrale con spread di un euro, durata residua sette anni, capitale nominale 100 euro; Si determini innanzitutto il tasso di interesse in vigore su tale mercato e lo si esprima in forma percentuale e in base annua (Suggerimento si consideri il primo titolo). i = % Si determini inoltre il valore e la durata media finanziaria (in anni) dei titoli x e y. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 14 gennaio 2016 Cognome e Nome Matricola n Cattedra: Pacati Quaranta Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = euro per il tempo t = un anno e 9 mesi secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo semplice i S = 4%. Si calcolino le seguenti grandezze: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando invece una sottostante legge degli interessi composti, al tasso annuo composto i C = 4%: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Esercizio 2. Si consideri al tempo t = 0 un mercato con due titoli a cedola nulla, entrambi con nominale C = euro: il primo con scadenza 6 mesi, il secondo con scadenza un anno. Nell ipotesi che i prezzi a pronti in t dei due titoli siano rispettivamente P 1 = 981 euro e P 2 = 935 euro, si determini il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria di acquisto di entrambi al tempo t e lo si esprima in forma percentuale e su base annua. i = % Si consideri ora l operazione di acquisto al tempo t del portafoglio composto da tre quote del titolo a sei mesi e da due quote del titolo a un anno. Quale dovrebbe essere il prezzo di acquisto P del portafoglio, in modo tale che il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria di acquisto sia il 5% in base annua? P =

6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo al 2.2% annuo per un importo S = euro, da restituirsi in 4 rate annuali posticipate. Si compili il piano di ammortamento sapendo che la seconda quota interessi e le ultime due quote capitale sono pari a euro. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei tassi a pronti: i(0, t) = 2% % t con i tempi espressi in anni. Si calcoli la struttura per scadenza di tassi di interesse a pronti, a termine, e swap sullo scadenzario {1, 2, 3} anni. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene al tempo t = 0 un portafoglio x, che garantisce il flusso di importi: {140, 160, 180} milioni di euro sullo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni; supponendo che l istituzione svolga le sue valutazioni in base ad una legge esponenziale al tasso annuo del 1.7% si calcolino: Valore attuale V (0, x) = milioni Duration D(0, x) = anni Si supponga che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita immediata e perpetua, con rata mensile pari a un milione di euro; si calcoli la duration D del nuovo portafoglio: D = anni

8 Esercizio 6. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui è in vigore una struttura dei tassi di interesse piatta in cui sono quotati: 1. un TCN a pronti con scadenza sei mesi, valore facciale euro e prezzo 993 euro 2. un titolo a tasso variabile x perfettamente indicizzato, con cedola semestrale senza spread, durata residua sette anni e capitale nominale 100 euro; 3. un titolo a tasso variabile y perfettamente indicizzato, con cedola semestrale con spread di un euro, durata residua sette anni, capitale nominale 100 euro; Si determini innanzitutto il tasso di interesse in vigore su tale mercato e lo si esprima in forma percentuale e in base annua (Suggerimento si consideri il primo titolo). i = % Si determini inoltre il valore e la durata media finanziaria (in anni) dei titoli x e y. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 14 gennaio 2016 Cognome e Nome Matricola n Cattedra: Pacati Quaranta Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = euro per il tempo t = un anno e 9 mesi secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo semplice i S = 4%. Si calcolino le seguenti grandezze: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando invece una sottostante legge degli interessi composti, al tasso annuo composto i C = 4%: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Esercizio 2. Si consideri al tempo t = 0 un mercato con due titoli a cedola nulla, entrambi con nominale C = euro: il primo con scadenza 6 mesi, il secondo con scadenza un anno. Nell ipotesi che i prezzi a pronti in t dei due titoli siano rispettivamente P 1 = 982 euro e P 2 = 936 euro, si determini il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria di acquisto di entrambi al tempo t e lo si esprima in forma percentuale e su base annua. i = % Si consideri ora l operazione di acquisto al tempo t del portafoglio composto da due quote del titolo a sei mesi e da quattro quote del titolo a un anno. Quale dovrebbe essere il prezzo di acquisto P del portafoglio, in modo tale che il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria di acquisto sia il 5% in base annua? P =

10 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo al 2.3% annuo per un importo S = euro, da restituirsi in 4 rate annuali posticipate. Si compili il piano di ammortamento sapendo che la seconda quota interessi e le ultime due quote capitale sono pari a euro. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei tassi a pronti: i(0, t) = 2% % t con i tempi espressi in anni. Si calcoli la struttura per scadenza di tassi di interesse a pronti, a termine, e swap sullo scadenzario {1, 2, 3} anni. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene al tempo t = 0 un portafoglio x, che garantisce il flusso di importi: {140, 160, 180} milioni di euro sullo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni; supponendo che l istituzione svolga le sue valutazioni in base ad una legge esponenziale al tasso annuo del 1.8% si calcolino: Valore attuale V (0, x) = milioni Duration D(0, x) = anni Si supponga che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita immediata e perpetua, con rata mensile pari a un milione di euro; si calcoli la duration D del nuovo portafoglio: D = anni

12 Esercizio 6. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui è in vigore una struttura dei tassi di interesse piatta in cui sono quotati: 1. un TCN a pronti con scadenza sei mesi, valore facciale euro e prezzo 994 euro 2. un titolo a tasso variabile x perfettamente indicizzato, con cedola semestrale senza spread, durata residua sette anni e capitale nominale 100 euro; 3. un titolo a tasso variabile y perfettamente indicizzato, con cedola semestrale con spread di un euro, durata residua sette anni, capitale nominale 100 euro; Si determini innanzitutto il tasso di interesse in vigore su tale mercato e lo si esprima in forma percentuale e in base annua (Suggerimento si consideri il primo titolo). i = % Si determini inoltre il valore e la durata media finanziaria (in anni) dei titoli x e y. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 14 gennaio 2016 Cognome e Nome Matricola n Cattedra: Pacati Quaranta Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = euro per il tempo t = un anno e 9 mesi secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo semplice i S = 4%. Si calcolino le seguenti grandezze: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando invece una sottostante legge degli interessi composti, al tasso annuo composto i C = 4%: Valore montante M(t) = euro Interesse I = euro Tasso di interesse periodale j(0, t) = % Intensità di interesse in base annua γ = anni 1 Tasso di interesse trimestrale i trim = % Esercizio 2. Si consideri al tempo t = 0 un mercato con due titoli a cedola nulla, entrambi con nominale C = euro: il primo con scadenza 6 mesi, il secondo con scadenza un anno. Nell ipotesi che i prezzi a pronti in t dei due titoli siano rispettivamente P 1 = 983 euro e P 2 = 937 euro, si determini il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria di acquisto di entrambi al tempo t e lo si esprima in forma percentuale e su base annua. i = % Si consideri ora l operazione di acquisto al tempo t del portafoglio composto da quattro quote del titolo a sei mesi e da tre quote del titolo a un anno. Quale dovrebbe essere il prezzo di acquisto P del portafoglio, in modo tale che il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria di acquisto sia il 5% in base annua? P =

14 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo al 2.4% annuo per un importo S = euro, da restituirsi in 4 rate annuali posticipate. Si compili il piano di ammortamento sapendo che la seconda quota interessi e le ultime due quote capitale sono pari a euro. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei tassi a pronti: i(0, t) = 2% % t con i tempi espressi in anni. Si calcoli la struttura per scadenza di tassi di interesse a pronti, a termine, e swap sullo scadenzario {1, 2, 3} anni. i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = % i(0, 0, 1) = % i(0, 1, 2) = % i(0, 2, 3) = % i sw (0; 1) = % i sw (0; 2) = % i sw (0; 3) = % Esercizio 5. Un istituzione finanziaria detiene al tempo t = 0 un portafoglio x, che garantisce il flusso di importi: {140, 160, 180} milioni di euro sullo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni; supponendo che l istituzione svolga le sue valutazioni in base ad una legge esponenziale al tasso annuo del 1.9% si calcolino: Valore attuale V (0, x) = milioni Duration D(0, x) = anni Si supponga che l istituzione aggiunga al portafoglio una rendita immediata e perpetua, con rata mensile pari a un milione di euro; si calcoli la duration D del nuovo portafoglio: D = anni

16 Esercizio 6. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui è in vigore una struttura dei tassi di interesse piatta in cui sono quotati: 1. un TCN a pronti con scadenza sei mesi, valore facciale euro e prezzo 995 euro 2. un titolo a tasso variabile x perfettamente indicizzato, con cedola semestrale senza spread, durata residua sette anni e capitale nominale 100 euro; 3. un titolo a tasso variabile y perfettamente indicizzato, con cedola semestrale con spread di un euro, durata residua sette anni, capitale nominale 100 euro; Si determini innanzitutto il tasso di interesse in vigore su tale mercato e lo si esprima in forma percentuale e in base annua (Suggerimento si consideri il primo titolo). i = % Si determini inoltre il valore e la durata media finanziaria (in anni) dei titoli x e y. V (0, x) = euro D(0, x) = anni V (0, y) = euro D(0, y) = anni