Metodi matematici 2 9 giugno 2011

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1 Metodi matematici giugno 0 TEST 6CFU Cognome Nome Matricola Si indichi la soluzione senza procedimento. Nel caso si intenda annullare una risposta crocettare la risposta ritenuta errata. Risultati corretti al secondo decimale, tassi in forma percentuale.. - Impiego un capitale in capitalizzazione composta al tasso d interesse del 0% con l obiettivo di raddoppiare il capitale. Quanto deve durare, in anni, l impiego? - Si intende impiegare un capitale per 8 mesi. I tassi spot di mercato sono i 0; 8 = % e i 0; = 4:6%: Se si sceglie di investire inizialmente solo per i primi mesi, si dovrà poi reinvestire al futuro tasso spot i ; 8 per i successivi mesi. Per quali tassi futuri i ; 8 il montante con il reimpiego dopo mesi coincide con l impiego a 8 mesi al tasso del %? N.B. Solite convenzioni sui tassi: semplici annui per durate inferiori all anno, altrimenti composti annui. - Sul mercato viene scambiato un BOT con scadenza residua 0 mesi che era stato emesso al prezzo di 7. Se il tasso di rendimento al netto delle tasse per gli acquirenti è del 4%, qual è la quotazione al lordo delle tasse del BOT stesso (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): 4 - Determinare il prezzo secco di un obbligazione a cedola ssa trimestrale, tasso su base annua del 6%, scadenza 7 mesi essendo noti i seguenti dati di mercato. Si prescinda dagli aspetti scali. Scadenze m m m 4m m 6m 7m tassi % :8% :% :% :% :4% :% - Un decisore con un costo opportunità del % per i prossimi anni ed un capitale disponibile di 000 valuta la convenienza ad impiegare il proprio capitale nei seguenti investimenti, eventualmente in modo congiunto all attivazione di un nanziamento. I ussi delle tre operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Si indichi la scelta ottimale. tempi 0 Invest Invest Finanz

2 6 - Si ammortizza su di un orizzonte di 4 anni un debito di e00000 con rate trimestrali posticipate costanti. Qual è l importo della rata a nché il tasso sia del 6%? 7 - Determinare l insieme S delle soluzioni del sistema lineare Ax = b, dove: 4 4 A = 4 6 ; b = 4 0 : Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 00 tra titoli che quotano rispettivamente e 8. Il gestore desidera costruire un portafoglio immune rispetto ad un fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente 0. e. Le quantità da detenere dei due titoli sono: n = n =. - Si determinino le soluzioni delsistema omogeneo avente la seguente matrice dei 4 coe cienti: A = Si consideri la funzione f(x; y) = x + y + : Si disegni la curva di livello 4; ovvero f (4). - Si risolva il seguente problema di ottimo vincolato lineare: max x + y; sub : x + y 6; x + y 4; x; y 0: - Si determinino gli eventuali punti di minimo o massimo della funzione f(x; y) = x + y.

3 Metodi matematici giugno 0 TEST 4CFU Cognome Nome Matricola Si indichi la soluzione senza procedimento. Nel caso si intenda annullare una risposta crocettare la risposta ritenuta errata. RISULTATI CORRETTI AL SECONDO DECIMALE, TASSI IN FORMA PERCENTUALE. - Impiego un capitale in capitalizzazione composta al tasso d interesse del 0% con l obiettivo di raddoppiare il capitale. Quanto deve durare, in anni, l impiego? - Si intende impiegare un capitale per 8 mesi. I tassi spot di mercato sono i 0; 8 = % e i 0; = 4:6%: Se si sceglie di investire inizialmente solo per i primi mesi, si dovrà poi reinvestire al futuro tasso spot i ; 8 per i successivi mesi. Per quali tassi futuri i ; 8 il montante con il reimpiego dopo mesi coincide con l impiego a 8 mesi al tasso del %? N.B. Solite convenzioni sui tassi: semplici annui per durate inferiori all anno, altrimenti composti annui. - Sul mercato viene scambiato un BOT con scadenza residua 0 mesi che era stato emesso al prezzo di 7. Se il tasso di rendimento al netto delle tasse per gli acquirenti è del 4%, qual è la quotazione al lordo delle tasse del BOT stesso (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): 4 - Determinare il prezzo secco di un obbligazione a cedola ssa trimestrale, tasso su base annua del 6%, scadenza 7 mesi essendo noti i seguenti dati di mercato. Si prescinda dagli aspetti scali. Scadenze m m m 4m m 6m 7m tassi % :8% :% :% :% :4% :% 8m m 0m m m :6% :7% :8% :% 4%

4 - Un decisore con un costo opportunità del % per i prossimi anni ed un capitale disponibile di 000 valuta la convenienza ad impiegare il proprio capitale nei seguenti investimenti, eventualmente in modo congiunto all attivazione di un nanziamento. I ussi delle tre operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Si indichi la scelta ottimale. tempi 0 Invest Invest Finanz Si ammortizza su di un orizzonte di 4 anni un debito di e00000 con rate trimestrali posticipate costanti. Qual è l importo della rata a nché il tasso sia del 6%? 7 - Determinare l insieme S delle soluzioni del sistema lineare Ax = b, dove: 4 4 A = 4 6 ; b = 4 0 : Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 00 tra titoli che quotano rispettivamente e 8. Il gestore desidera costruire un portafoglio immune rispetto ad un fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente 0. e. Le quantità da detenere dei due titoli sono: n = n =. - Si determinino le soluzioni delsistema omogeneo avente la seguente matrice dei 4 coe cienti: A = Il vettore x = [ ] T è generato dai seguenti due altri vettori? In caso a ermativo si indichino i coe cienti della combinazione lineare che genera x: Altrimenti si indichi la matrice orlata, Ajb del sistema lineare tramite il quale si può risolvere il quesito in questione. x = 4 ; x = 4 4

5 Metodi Matematici Appello giugno 0 Soluzioni Test Domanda 6CFU 4CFU anni 7:7 anni 7:7 i ; 8 = :8% i ; 8 = :8% Attivare tutte le operazioni Attivare tutte le operazioni impossibile impossibile 8 n = 66:667; n = 4:667 n = 66:667; n = 4:667 x x x = 4 x con x R x = 4 x con x R x x x 0 x x non è generabile da x ; x : La matrice è: 4 (x; y) = ( ; :) - (x; y) = (0 ; 0) -

6 Metodi matematici giugno 0 TEST soluzioni 4 e 6 CFU Si indichi la soluzione senza procedimento. Nel caso si intenda annullare una risposta crocettare la risposta ritenuta errata. Risultati corretti al secondo decimale, tassi in forma percentuale.. Si riportano le soluzioni di due soli quesiti. I rimanenti sono identici, a meno delle cifre, a numerosissimi altri quesiti di passati appelli. 4 e 6 CFU - Sul mercato viene scambiato un BOT con scadenza residua 0 mesi che era stato emesso al prezzo di 7. Se il tasso di rendimento al netto delle tasse per gli acquirenti è del 4%, qual è la quotazione al lordo delle tasse del BOT stesso (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): Se il tasso di rendimento netto di tasse per l acquirente è del 4% allora il prezzo della compravendita è :04 0 = 6:774 L imposta sostitutiva che l acquirente deve riconoscere al venditore è 0 (00 7) 0: = 0: Quindi il prezzo, tasse escluse, del Bot risulta essere: 6:774 0: = 6:46 solo 4CFU 0 - Il vettore x = [ ] T è generato dai seguenti due altri vettori? In caso a ermativo si indichino i coe cienti della combinazione lineare che genera x: Altrimenti si indichi la matrice orlata, Ajb del sistema lineare tramite il quale si può risolvere il quesito in questione. x = 4 ; x = 4 Seguendo la de nizione di combinazione lineare si può impostare il sistema che consente di risolvere il quesito: 4 Il sistema non ammette soluzione per cui la risposta è no. 6