Nota: tutti i calcoli sono effettuati tenendo conto solo delle cifre decimali effettivamente riportate nella soluzione che segue.

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1 1. Un prestito S = euro viene ammortizzato con 18 rate quadrimestrali costanti al tasso annuo del 4% in cc. (a) Determinare l ammontare della rata R. (b) Verificare, senza calcolare tutte le righe del piano di ammortamento, che il debito residuo D 10, dopo il pagamento di 10 rate, è di circa euro. (c) Nell'ipotesi che subito dopo il pagamento della decima rata il tasso di ammortamento passi all 5% annuo, calcolare la nuova rata R, la quota di capitale K 11, la quota di interessi I 11, il debito residuo D 11. Nota: tutti i calcoli sono effettuati tenendo conto solo delle cifre decimali effettivamente riportate nella soluzione che segue. (a) Per calcolare la rata R serve il tasso quadrimestrale i 3 = (1 + i) = 1, = 0,01316 R = S a i nǀ = = = 5334,44 a 18ǀ 0, ,9342 (b) Per calcolare D 10 utilizziamo la formula D k = Ra n kǀ i (valore attuale delle rate ancora da pagare) D 10 = 5334,44a 8ǀ 0,01316 = 5334,44 7,5463 = 40255,28 (c) Per calcolare la rata R serve il nuovo tasso quadrimestrale i 3 = (1 + i ) = 1, = 0,0164 R = S a i nǀ = D 10 = 40255,28 = 5410,29 a 8ǀ 0,0164 7,4405 Poi si calcola, nell'ordine: I 11 = D 10 i 3 = 40255,28 0,0164 = 660,19 K 11 = R I 11 = 5410,29 660,19 = 4750,1 D 11 = D 10 K 11 = 40255, ,1 = 35505,18

2 2. Ad una azienda viene proposto un investimento definito dal seguente flusso di cassa anni (gli importi sono in migliaia di euro). (a) Scrivere il REA dell operazione. (b) Supponendo che l azienda solitamente investa il suo denaro in obbligazioni con un tasso di rendimento annuo del 5%, valutare se l investimento proposto risulta conveniente. (c) Verificare che il TIR dell operazione è compreso tra il 4% e il 5% (non ci sono equazioni da risolvere, basta ragionare). Nota: il fatto che gli importi siano in migliaia è, ai nostri fini, ininfluente. (a) Il REA dell operazione: G(x) = i + 40 (1+i) (1+i) 4 (b) Poiché G(0,05) = 0.50 < 0, l investimento non è conveniente. (c) Il flusso di cassa considerato individua un investimento di tipo PICO (una sola uscita seguita da più entrate). Per un investimento di questo tipo il grafico della funzione G(i) ha sempre lo stesso andamento qualitativo, in particolare la funzione è strettamente decrescente e il grafico taglia l asse delle i in un unico punto (vedi figura). Ricordando che il TIR è l ascissa del punto (nel nostro caso unico) in cui il grafico del REA taglia l asse delle i, per verificare che il TIR è compreso tra 0,04 e 0,05 basta verificare che Poiché si ha G(0,04) > 0 e G(0,05) < 0 G(0,04) = 2,34 e G(0,05) = 0.50 abbiamo la verifica che il TIR è compreso tra 0,04 e 0,05.

3 3. Sono dati i titoli A e B con la seguente matrice delle probabilità, congiunte e marginali, dei loro rendimenti A B 0,1 0,2 0,4 0,1 0,2 0,3 0,05 0,3 0, ,4 0,6 (in neretto i rendimenti, nelle celle grigie le probabilità congiunte, ai margini le probabilità marginali). (a) I due titoli sono efficienti oppure uno domina l altro? (b) Calcolare il coefficiente di correlazione lineare dei rendimenti dei titoli. (c) Cosa si può dire della correlazione dei due titoli? (d) Calcolare il rendimento per unità di rischio dei due titoli. Rendimenti attesi di A e B: E(A) = 0,4 0,3 + 0,05 0,7 = 0,155 E(B) = 0,1 0,4 + 0,2 0,6 = 0,16 Varianza e deviazione standard di A e B: vvv(a) = (0,4 0,155) 2 0,3 + (0,05 0,155) 2 0,7 = 0,02573 vvv(b) = (0,1 0,16) 2 0,4 + (0,2 0,16) 2 0,6 = 0,0024 σ(a) = 0,02573 = 0,1604 σ(b) = 0,0024 = 0,04899 Covarianza e coeff. di corr. lin. di A e B: ccc(a, B) = (0,4 0,155)(0,1 0,16) 0,1 + (0,4 0,155)(0,2 0,16) 0,2 + (0,05 0,155)(0,1 0,16) 0,3 + (0,05 0,155)(0,2 0,16) 0,4 = 0,0007 ρ(a, B) = ccc(a, B) σ(a)σ(b) = 0,0007 0,1604 0,04899 = 0,0891 Rendimento per unità di rischio: E(A) σ(a) = 0,155 0,1604 = 0,97 E(B) σ(b) = 0,16 0,04899 = 3,27

4 I due titoli non sono efficienti, B domina A, infatti B ha rendimento atteso maggiore e varianza minore (quindi rischio minore). D altra parte che il titolo B sia decisamente preferibile al titolo A lo si vede anche dai rendimenti per unità di rischio. Visto il valore di ρ molto vicino a zero, i due titoli non sono correlati (il che da un punto di vista finanziario, nella costruzione di un portafoglio, non è irrilevante). Bisogna ricordare che per il coefficiente ρ di correlazione lineare di due variabili casuali A e B sia ha sempre 1 ρ 1 Se ρ è uguale a 1 o -1 c è una perfetta relazione lineare tra le due variabili (con pendenza rispettivamente crescente o decrescente) mentre per ρ = 0 non c è alcuna correlazione (lineare). Domande 1. Qual è il fattore di sconto che caratterizza il regime di attualizzazione dello sconto composto? f(t) = 1 (1+i) t dove i è il tasso d interesse 2. Qual è il montante a 15 mesi, in capitalizzazione composta, di un euro al tasso annuo d interesse i = 0,1? Utilizzando il tasso annuo: 15 mmmm = 15 aaaa = 1,25 aaaa M = ( ,1)1,25 = 1,1265 Oppure utilizzando il tasso semestrale equivalente: i 12 = (1 + 0,1) = 0,00797 M = (1 + 0,00797) 15 = 1, Cosa significa che due regimi finanziari sono coniugati? Due regimi, uno di capitalizzazione e uno di attualizzazione, si dicono coniugati se i rispettivi fattori di montante e di sconto sono uno il reciproco dell altro. 4. Che cosa significa il simbolo i 6? E un tasso bimestrale effettivo.

5 5. Scrivi, a tua scelta, un flusso di cassa relativo a un titolo ZCB con rendimento a un anno del 14%. Ad esempio: Qual è il valore al tempo t = 1 (anni) del seguente flusso di cassa al tasso annuo composto del 5%. (anni) (importi) V t=1 = 10(1 + 0,05) , ( ) 2 = 56,7585