Statistica. Alfonso Iodice D Enza

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1 Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 33

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3 Misura del legame Nel caso di variabili quantitative preferibile utilizzare una misura del legame che coinvolga, oltre le frequenze, anche le modalità (numeriche) delle variabili. Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in genere che µ x µ y e σ x σ y Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalità di X ed Y, si fa riferimento alla versione standardizzata delle variabili, data da Z x = X µx σ x e Z y = Y µy σ y questo per escludere dalla misura del legame gli effetti della differente media e varianza (essendo µ x µ y e σ x σ y) () Statistica 3 / 33

4 di Pearson ρ L indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalità standardizzate delle variabili si definisce coefficiente di Pearson ρ ed dato da ρ xy = 1 (z x,i z y,i ) = 1 ( xi µ x n n σ x y ) i µ y σ y Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione ρ xy = 1 n n (x i µ x)(y i µ y) σ xσ y = σxy σ xσ y La quantità al numeratore si definisce covarianza: essa corrisponde alla media del prodotto degli scarti delle modalità di X e Y dalle rispettive medie. La covarianza misura la contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle loro medie. () Statistica 4 / 33

5 Proprietà del coefficiente se X e Y sono indipendenti, allora ρ xy = 0 (NON vale il contrario) se ρ xy = 1, allora Y = α + βx (ovvero Y una trasformazione di X ) se ρ xy = 1, allora Y = α βx (ovvero Y una trasformazione di X ) ρ xy = ρ yx ρ xx = 0 () Statistica 5 / 33

6 di Pearson ρ Esercizio Si considerino i voti riportati da n = studenti negli esami di matematica e statistica. matematica(x i ) statistica(y i ) Si misuri il legame che caratterizza le due variabili () Statistica 6 / 33

7 di Pearson ρ Svolgimento É necessario calcolare le medie aritmetiche µ e gli scarti quadratici medi σ Il voto medio ottenuto dagli studenti all esame di matematica è x µ m = i = n 197 = Il voto medio ottenuto dagli studenti all esame di statistica è µ s = y i n x i y i x i µ x y i µ y (x i µ x) 2 (y i µ y) T ot = 203 = (x i µ m) scarti quadratici medi: σ m = = = 3.7 n (y i µ s) σ s = = = 3.05 n () Statistica 7 / 33

8 di Pearson ρ Svolgimento Per calcolare il coefficiente resta da calcolare la covarianza, ovvero la media aritmetica del prodotto degli scarti dalla media. La covarianza è x i y i x i µ x y i µ y (x i µ x) (y i µ y) T ot σ ms = (x i µ m)(y i µ s) É ora possibile calcolare il coefficiente dato da n = = 13.9 ρ ms = σms 13.9 = σ mσ s = () Statistica / 33

9 Metodo alternativo per il calcolo di ρ Da un punto di vista computazionale risulta conveniente l utilizzo della seguente formulazione alternativa del coefficiente ρ basata sulle somme delle modalità delle componenti ( n x i, n y i), sulle somme dei quadrati delle modalità delle componenti ( n (x i) 2, n (y i) 2 ), sulla somma dei prodotti tra le modalità ( n x iy i ) n n ρ = x iy i n x n i y i (n n (x i) 2 [ n x ] 2)(n n i (y i) 2 [ n 2) y i] () Statistica 9 / 33

10 Metodo alternativo per il calcolo di ρ x i y i x 2 i yi 2 x i y i x = 197 y = 203 x 2 = 4971 y 2 = 5267 xy = 5110 n n ρ = x iy i n x n i y i (n n (x i) 2 [ n x ] 2)(n n i (y i) 2 [ n y ] = 2) i = 5110 ( ) ( 4971 (197) 2 ) ( 5267 (203) 2 ) = () Statistica 10 / 33

11 Coefficiente : esempi di casi limite () Statistica 11 / 33

12 Coefficiente : esempi di casi limite () Statistica 11 / 33

13 Coefficiente : esempi di casi limite () Statistica 11 / 33

14 Coefficiente : esempi di casi limite () Statistica 11 / 33

15 Dipendenza Lo studio della relazione tra caratteri statistici è, nel caso della inter, di tipo simmetrico: due caratteri quantitativi X e Y hanno lo stesso ruolo e si vuole studiare se essi siano indipendenti o meno. A questo scopo sono stati introdotti gli indici di covarianza σ xy e ρ. Si consideri di aver osservato due caratteri quantitativi X ed Y. Si riportano i valori e il grafico di dispersione: Y X Il diagramma di dispersione (scatter plot) () Statistica 12 / 33

16 Dipendenza covarianza e coefficiente 10 µ x = x i = µ y = y i = σ x = (x i µx)2 = σ y = (y i µy )2 = σ xy = (x i µx)(y i µy ) = ρ xy = σxy σxσy = 0.97 Dipendenza funzionale Essendo il valore del coefficiente prossimo ad 1 esiste una forte relazione tra X ed Y. Come confermato dal grafico di dispersione, i dati sono approssimativamente allineati lungo una retta crescente. Ci si può dunque aspettare che sussista una relazione funzionale tra i dati del tipo Y = f(x) = b 0 + b 1 X che rappresenta l equazione di una retta passante attraverso la nube di punti di coordinate (x i, y i ). () Statistica 13 / 33

17 rette passanti per la nube di punti fornisce una approssimazione della dei valori di Y dai valori di X. La relazione di non è esattamente riprodotta dalla retta; i valori yi = b 0 + b 1 x i sono dunque i valori teorici, ovvero i valori che la variabile Y assume, secondo il modello Y = b 0 + b 1 X, in corrispondenza dei valori x i osservati. Determinazione della retta di L identificazione della retta avviene attraverso la determinazione dei valori di b 0, l intercetta, e b 1, il coefficiente angolare o pendenza. La retta migliore è quella che passa più vicina ai punti osservati. In altre parole, si vuole trovare la retta per la quale le differenze tra i valori teorici yi e i valori osservati y i siano minime. () Statistica 14 / 33

18 I residui le differenze tra i valori teorici yi e i valori osservati y i vengono definite residui. è tale che la somma dei residui al quadrato sia minima. Formalmente Ricerca dei parametri della retta di :(b 0 ) e 2 n i = (y i y i )2 = (y i b 0 b 1 x i ) 2 2 (y i b 0 b 1 x i ) = Il problema consiste dunque nel ricercare b 0 e b 1 che minimizzano la precedente espressione. Da un punto di vista n operativo bisogna risolvere il seguente sistema di equazioni y i n b 0 b 1 x i = 0 (y i b 0 b 1 x i ) 2 = 0 b 0 = µ y b 1 µ x b 0 (y i b 0 b 1 x i ) 2 = 0 b 1 () Statistica 15 / 33

19 I residui le differenze tra i valori teorici yi e i valori osservati y i vengono definite residui. La retta di è tale che la somma dei residui al quadrato sia minima. Ricerca dei parametri della retta di :(b 1 ) Formalmente e 2 i = n (y i y i )2 = = (y i b 0 b 1 x i ) 2 Il problema consiste dunque nel ricercare b 0 e b 1 che minimizzano la precedente espressione. Da un punto di vista operativo bisogna risolvere il seguente sistema di equazioni 2 x i (y i b 0 b 1 x i ) = 0 n n x i y i b 0 x i b 1 x 2 i = 0 n b 1 x 2 n ( i = n y n ) i x i x i y i x i b 1 n n b 1 (n x 2 n ) i ( x i ) 2 n = n x i y i x i y i b 1 = n n x i y i n x n i y i (y i b 0 b 1 x i ) 2 n n x 2 i ( n x i ) 2 = σxy σx 2 = 0 b 0 (y i b 0 b 1 x i ) 2 = 0 b 1 () Statistica 16 / 33

20 Determinazione della retta di Calcolo dei coefficienti Richiamando le quantità calcolate in precedenza e le formule per il calcolo dei parametri si ha b 1 = σxy σ x 2 = 2.55 b 0 = µ y b 1 µ x = 37.6 ( ) = 0.62 La retta migliore () Statistica 17 / 33

21 Interpretazione dei valori dei coefficienti di b 0 rappresenta l intercetta della retta di ed indica il valore della variabile di risposta Y quando il predittore X assume valore 0. b 1 rappresenta l inclinazione della retta di, ovvero la variazione della variabile di risposta Y in conseguenza di un aumento unitario del predittore X. () Statistica 1 / 33

22 Bontà di adattamento Esistono diversi strumenti grafici ed analitici per valutare la bontà dell adattamento della retta di ai dati Strumenti grafici: plot dei residui Strumenti analitici:coefficiente di determinazione R 2 () Statistica 19 / 33

23 Plot dei residui Perchè la retta possa essere considerata una buona approssimazione della relazione che intercorre tra Y ed X è necessario che i residui abbiano un andamento casuale rispetto ai valori della X. Se, ad esempio, all aumentare dei valori della X aumentassero sistematicamente anche i residui, allora la relazione potrebbe non essere non : la retta di ne sarebbe dunque una cattiva approssimazione. Plot dei residui Per verificare che l andamento dei residui sia effettivamente casuale rispetto ad X, è possibile utilizzare un diagramma di dispesione tra i valori x i ed i corrispondenti residui e i (i = 1,..., n) () Statistica 20 / 33

24 coefficiente di determinazione R 2 Ricordando che la devianza il numeratore della varianza... Dev y = (y i µ y) 2 = (y i ŷ i + ŷ i µ y) 2 = = (y i ŷ i ) 2 + (ŷ i µ y) (y i ŷ i )(ŷ i µ y) = (y i ŷ i ) 2 + (ŷ i µ y) 2 + 2( y i ŷ i )( ŷ i nµ y) Il metodo dei minimi quadrati assicura che n ŷ i = n y i, quindi Dev(y) = (y i ŷ i ) 2 + (ŷ i µ y) ( ŷ i nµ y) = (ŷ i µ y) 2 + (y i ŷ i ) 2 = Dev r + Dev e () Statistica 21 / 33

25 Decomposizione della devianza La devianza può essere decomposta dunque nelle seguenti quantità Dev y = Dev r + Dev e Dev y = n (y i µ y) 2 devianza totale Dev r = n (ŷ i µ y) 2 devianza di Dev e = n (y i ŷ i ) 2 devianza dei residui Interpretazione grafica () Statistica 22 / 33

26 Bontà dell adattamento Intituitivamente, l adattamento della retta è migliore quanto maggiore sarà proporzione di variabilità totale che la retta di riesce a spiegare; ovvero, l adattamento della retta è migliore quanto minore sarà la variabilità residua. Una misura di come il modello approssima i dati osservati è data dal coefficiente di determinazione R 2, dato da ovvero esempio di calcolo R 2 Dev y = n (y i µ y) 2 = n R 2 = Devr (ŷ i µ y) 2 = Dev n y (y i µ y) 2 n R 2 = 1 Deve (y i ŷ i ) 2 = 1 Dev n y (y i µ y) 2 Dev r = n (ŷ i µ y) 2 = Dev e = n (y i ŷ i ) 2 = R 2 = Devr Dev y = = 0.94 ovvero R 2 = 1 Deve = = = 0.94 Dev y () Statistica 23 / 33

27 Influenza di un outlier sulla Un piccolo esempio Si considerino le seguenti osservazioni Retta di La induce a concludere che vi sia una relazione di proporzionalità inversa: poichè la retta è decrescente si deduce che all aumentare di X, la variabile dipendente Y diminuisce. () Statistica 24 / 33

28 Influenza di un outlier sulla Retta di Un (altro) piccolo esempio Si considerino le osservazioni precedenti a cui è aggiunta un unica coppia di valori (, ). I dati sono In questo caso, la sola presenza della nuova osservazione conduce all identificazione di una retta di diversa dalla prima: l inclinazione positiva della retta indica una relazione di diretta proporzionalità. Tuttavia tale è unicamente dovuta dalla presenza dell osservazione (, ) che pertanto induce a valutare la relazione di tra Y ed X in maniera errata. L osservazione (, ) si definisce pertanto un outlier. L identificazione e la conseguente eliminazione degli eventuali outlier è un elemento molto importante nello studio della tra fenomeni. () Statistica 25 / 33

29 Esercizio : distribuzione doppia di frequenze Si consideri di aver osservato su 10 rivenditori di componenti informatiche le variabili numero di punti vendita e Fatturato settimanale complessivo. Si studi la del fatturato dal numero di punti vendita. fino a 2 tra 2 e 4 tra 4 e 6 fino a tra 5000 e Si stimino i coefficienti della retta di. Si valuti la bontà di adattamento della retta ai dati. () Statistica 26 / 33

30 Esercizio : distribuzione doppia di frequenze Essendo le modalità delle variabili qualitative espresse in intervalli di valori, è necessario fare riferimento ai centri di ciascun intervallo. La tabella è dunque data da Y /X Tot Tot Le medie aritmetiche si ottengono a partire dalle distribuzioni marginali di frequenze: µ x = 1 k x j n.j = (1 4) + (3 4) + (5 2) = = 2.6 n j= µ y = 1 h y i n i. = (2500 5) + (7500 5) = = 5000 n dove h rappresenta numero di righe della tabella, k il numero di colonne della tabella. () Statistica 27 / 33

31 Esercizio : distribuzione doppia di frequenze Per calcolare le varianze si fa riferimento agli scarti dalla media al quadrato Y /X (1 2.6) 2 (3 2.6) 2 (5 2.6) 2 Tot ( ) ( ) Tot Le varianze si ottengono a partire dalle distribuzioni marginali di frequenze: σ 2 x = 1 k (x j µ x) 2 n.j = 1 n j=1 10 ((1 2.6)2 4) + ((3 2.6) 2 4)+ + ((5 2.6) ) = = σ 2 y = 1 h (y i µ y) 2 n i. = 1 n 10 (2500 5)2 + (7500 5) = = dove h rappresenta numero di righe della tabella, k il numero di colonne della tabella. () Statistica 2 / 33

32 Esercizio : distribuzione doppia di frequenze Per calcolare la covarianza si deve fare riferimento alle distribuzioni condizionate di frequenza. Y /X (1 2.6) (3 2.6) (5 2.6) Tot ( ) ( ) Tot y i x i y i µ y x i µ x ( ) (1-2.6) ( ) (1-2.6) ( ) (1-2.6) ( ) (3-2.6) ( ) (3-2.6) ( ) (1-2.6) ( ) (3-2.6) ( ) (3-2.6) ( ) (5-2.6) ( ) (5-2.6) σ xy = 1 h k (y i µ y) (x j µ x) n ij = n j=1 = 1 (( )(1 2.6) 3 + ( )(3 2.6) ( )(1 2.6) 1 + ( )(3 2.6) ( )(5 2.6) 2) = = () Statistica 29 / 33

33 Esercizio : distribuzione doppia di frequenze Avendo calcolato le quantità µ x = 2.6, µ y = 5000, σ 2 x = 2.24 e σ xy = 2000, è possibile calcolare i coefficienti della retta di Calcolo dei coefficienti b 1 = σxy = 2000 σx = b 0 = µ y b 1 µ x = 5000 ( ) = quindi l equazione della retta di è y = b 0 + b 1 x = x Dunque, il valore stimato ŷ i corrispondente ad un valore x i assegnato è ŷ i = b 0 + b 1 x. () Statistica 30 / 33

34 Valutazione della bontà di adattamento Ricordando che ovvero con Dev y = Dev r + Dev e n R 2 = Devr (ŷ i µ y) 2 = Dev n y (y i µ y) 2 n R 2 = 1 Deve (y i ŷ i ) 2 = 1 Dev n y (y i µ y) 2 Dev y = n (y i µ y) 2 devianza totale Dev r = n (ŷ i µ y) 2 devianza di Dev e = n (y i ŷ i ) 2 devianza dei residui Per ottenere R 2, misura della bontà di adattamento, si deve calcolare solo la devianza dei residui, avendo già calcolato σ 2 y. () Statistica 31 / 33

35 Calcolo della devianza dei residui Dev e = n (y i ŷ i ) 2 devianza dei residui in base alla retta di stimata, i valori ŷ i stimati in funzione dei valori x i sono ŷ 1 = b 0 + b 1 x 1 = = ŷ 2 = b 0 + b 1 x 2 = = ŷ 3 = b 0 + b 1 x 3 = = () Statistica 32 / 33

36 Calcolo della devianza dei residui Per calcolare i residui y i ŷ i nel caso di si procede come segue y i /ŷ j ŷ 1 = ŷ 2 = ŷ 3 = Tot y 1 = y 2 = Tot Dev e = h k ((y i ŷ j ) 2 ) n ij devianza dei residui per tabella doppia calcolo della devianza dei residui h k Dev e = ((y i ŷ j ) 2 ) n ij = (( ) 2 ) 3 + (( ) 2 ) 2+ j=1 + (( ) 2 ) 1 + (( ) 2 ) 2 + (( ) 2 ) 2 = = dev y = (y i µ y) 2 = σ 2 y n = = R 2 = 1 deve dev y = = 0.29 () Statistica 33 / 33

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