Indici di variabilità ed eterogeneità

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Cristiano Grassi
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1 Indici di variabilità ed eterogeneità Corso di STATISTICA Prof. Roberta Siciliano Ordinario di Statistica, Università di apoli Federico II Professore supplente, Università della Basilicata a.a. 011/01 Prof. Roberta Siciliano Statistica 1 Obiettivi dell unità didattica Definire i concetti di base sulla variabilità ed eterogeneità Richiamare l attenzione su alcune proprietà della varianza Contenuti Indici di variabilità Campo di variazione Varianza, Scarto quadratico medio, Devianza Coefficiente di variazione Differenza interquartile Indici di eterogeneità Indice del Gini Indice di entropia Prof. Roberta Siciliano Statistica 1

2 Generalità sulla variabilità La variabilità è espressione dell attitudine di un carattere quantitativo ad assumere diverse modalità L uso congiunto di indici di posizione ed indici di variabilità permette di comprendere la dispersione dei dati rispetto alla centralità della distribuzione Variabilità assoluta e relativa Prof. Roberta Siciliano Statistica 3 Variabilità e Dispersione Consideriamo il seguente esempio di tre studenti che hanno superato ciascuno tre esami: È facile vedere che se calcoliamo il voto medio e quello mediano per ciascun studente esso è pari a 4 Prof. Roberta Siciliano Statistica 4

3 Variabilità e Dispersione (cont.) Possiamo dire che i tre studenti hanno uno stesso comportamento agli esami? Dall esempio risulta evidente che da soli gli indici di posizione non riescono a svelare esaustivamente il segreto delle distribuzioni!! Prof. Roberta Siciliano Statistica 5 Caratteristiche di un indice di variabilità Assume valori maggiori o uguali a zero E pari a zero quando il carattere si presenta con una sola modalità distinta (assenza di variabilità) E invariante (ossia non modifica il suo valore) quando si aggiunge una costante a ciascun valore della distribuzione Assume valori crescenti all aumentare della variabilità Prof. Roberta Siciliano Statistica 6 3

4 Campo di variazione V = max(x) min(x) = x ( ) x ( 1) E un indice di variabilità assoluta Prof. Roberta Siciliano Statistica 7 Varianza σ = 1 σ = 1 K i=1 ( x l µ ) ( x i µ ) n i E un indice di variabilità assoluta Prof. Roberta Siciliano Statistica 8 4

5 Caratteristiche principali È una media Vale sempre che: 0 σ Prof. Roberta Siciliano Statistica 9 Consideriamo la distribuzione massimizzante la variabilità Ipotizziamo (come caso limite) che nella nostra distribuzione abbiamo -1 unità distinte con modalità pari a 0 ed una sola unità con modalità pari all intero ammontare del carattere, ossia µ perché µ = 1 Prof. Roberta Siciliano Statistica 10 Tale assunzione presuppone che il carattere quantitativo sia additivo e trasferibile, ossia è ipotizzabile distribuire in maniera diversa l ammontare complessivo del carattere (i.e., il reddito, il numero di addetti, etc.) x l 5

6 Determiniamo il massimo della varianza Allora abbiamo: σ = 1 [ (0 µ) ( 1) + (µ µ) ] = = 1 [ µ ( 1) + µ ( 1) ] = = 1 [ µ ( 1)(1+ 1) ] = = 1 µ ( 1) = µ ( 1) MAX Prof. Roberta Siciliano Statistica 11 La varianza può essere anche scritta come. σ = 1 ( x l µ ) = 1 x l µ σ = 1 = 1 = 1 ( x l µ ) = 1 ( x l x l µ + µ ) = Prof. Roberta Siciliano Statistica 1 x l µ 1 x l + 1 µ = 1 x l µ + µ = x l µ 6

7 Scarto Quadratico Medio σ = σ = 1 1 K i=1 ( x l µ ) ( x i µ ) n i E un indice di variabilità assoluta Prof. Roberta Siciliano Statistica 13 Perché è utile lo s.q.m. Il problema principale della varianza è che è espressa nell unità di misura del fenomeno al quadrato!!!! Lo scarto quadratico medio risolve questo problema!!!! Prof. Roberta Siciliano Statistica 14 7

8 Coefficiente di Variazione CV = σ µ E un indice di variabilità relativa Prof. Roberta Siciliano Statistica 15 Determiniamo il massimo del coefficiente di variazione nell ipotesi di distribuzione massimizzante la variabilità Sappiamo che: 0 σ µ ( 1) 0 σ µ 1 0 σ µ 1 Prof. Roberta Siciliano Statistica 16 8

9 Coefficiente di Variazione normalizzato CV norm = CV 1 con 0 CV 1 E un indice normalizzato Prof. Roberta Siciliano Statistica 17 Proprietà della varianza Consideriamo una variabile X e consideriamo la seguente trasformazione lineare: abbiamo che: σ Y = β σ X Prof. Roberta Siciliano Statistica 18 9

10 Proprietà della varianza Consideriamo una variabile X e consideriamo la seguente trasformazione lineare: Y = βx + α abbiamo che: σ Y = β σ X ossia, aggiungendo o sottraendo una costante fissa a ciascun termine della distribuzione non modifica la variabilità della distribuzione stessa Prof. Roberta Siciliano Statistica 19 Altri indici di variabilità Median Absolute Deviation (MAD) MAD =1.846[ median( x l Me,...,) ] Differenza Interquartile D = Q 3 Q 1 Prof. Roberta Siciliano Statistica 0 10

11 Eterogeneità e omogeneità Indici di eterogeneità o di omogeneità possono essere calcolati per dati qualitativi e quantitativi quantitativi operando unicamente sulle frequenze. Eterogeneità per dati qualitativi: mutabilità Omogeneità per dati quantitativi: concentrazione Prof. Roberta Siciliano Statistica 1 Omogeneità vs. eterogeneità Massima omogeneità: tutte le unità presentano la stessa modalità di X f i* =1 f i = 0 i i * Massima eterogeneità: f i = 1 K i =1,,K le unità si distribuiscono uniformemente tra le K modalità distinte di X Prof. Roberta Siciliano Statistica 11

12 L indice di eterogeneità di Gini K i=1 H =1 f i In presenza di massima omogeneità In presenza di massima eterogeneità 1 H max =1 f i =1 =1 K 1 = K 1 K K K Prof. Roberta Siciliano Statistica 3 L indice normalizzato di Gini H norm = H = 1 f i H max K 1 K con 0 H norm 1 Prof. Roberta Siciliano Statistica 4 1

13 Indice di Entropia di Shannon H S = Indice normalizzato di Entropia di Shannon H S norm = f i log( f i ) f i log f i ( ) log K ( ) Prof. Roberta Siciliano Statistica 5 13

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