MATEMATICA FINANZIARIA RISCHI: RAPPRESENTAZIONE E GESTIONE (CENNI)

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1 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 1/315 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA MATEMATICA FINANZIARIA RISCHI: RAPPRESENTAZIONE E GESTIONE (CENNI) ANNAMARIA OLIVIERI a.a. 2011/2012

2 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 276/315 RISCHI: RAPPRESENTAZIONE E GESTIONE Rischio: possibilità che un risultato sia diverso dalle aspettative Definizione matematica Rischio: variabile aleatoria X, la cui determinazione non è nota a priori Esempi è necessario individuare tutte le possibili determinazioni e assegnare le relative probabilità cioè: assegnare la distribuzione di probabilità di X X: risultato nel lancio di una moneta possibili determinazioni: testa, croce probabilità: 1 2 per ogni determinazione X: risultato nel lancio di un dado possibili determinazioni: 1, 2,...,6 probabilità: 1 6 per ogni determinazione

3 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 277/315 X: prezzo di un azione tra un anno possibili determinazioni: [0, + ) probabilità:? X: tasso a pronti a un anno, tra un anno possibili determinazioni: [0, + ) probabilità:? In entrambi i casi: numero infinito e non numerabile di determinazioni modelli continui in alternativa, rappresentazione semplificata con modelli discreti Ad esempio: il prezzo dell azione oggi è 100. Tra un anno può essere 110 oppure 90 determinazioni del prezzo tra un anno: 90, 110 probabilità: stimate (calibrate) osservando andamento dei prezzi sul mercato

4 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 278/315 In generale: variabile aleatoria discreta X determinazioni probabilità x 1 p 1 x 2 p x n p n n i=1 p i = 1 Nell esempio del lancio di un dado determinazioni probabilità = 1

5 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 279/315 Valore atteso (o media) E[X] = x = µ = n x i p i i=1 informazione: ordine di grandezza della quantità aleatoria Nell esempio del lancio del dado: E[X] = = 3.5 NB: non necessariamente il valore atteso corrisponde ad una determinazione

6 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 280/315 Esercizio 74 : calcolare il valore atteso delle seguenti variabili aleatorie variabile aleatoria X determinazioni probabilità variabile aleatoria Y determinazioni probabilità 1 1/3 2 1/3 3 1/3 E[X] = = 1.5 E[Y ] = = 2 NB: E[X] non corrisponde a una determinazione di X, mentre E[Y ] corrisponde ad una possibile determinazione di Y. Tuttavia, il valore effettivo di Y può essere diverso da E[Y ] (con probabilità 2/3)

7 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 281/315 Quanto si può discostare il risultato effettivo da quello atteso? Nell esempio del lancio del dado determinazioni di X scarti dal valore atteso probabilità / / /6 In media, quale scostamento (o scarto o deviazione)? = 0 Il valore atteso degli scarti (o deviazioni o scostamenti) dal valore atteso è sempre 0

8 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 282/315 In generale scarti dal valore atteso: X E[X] scarti dal valore atteso probabilità Valore atteso degli scarti: x 1 E[X] p 1 x 2 E[X] p x n E[X] p n n E[X E[X]] = (x i E[X]) p i = i=1 = E[X] E[X] = 0 n x i p i E[X] i=1 n i=1 p i

9 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 283/315 Consideriamo gli scarti al quadrato Nell esempio del lancio del dado scarti al quadrato probabilità ( 2.5) 2 = /6 ( 1.5) 2 = / (2.5) 2 = /6 Valore atteso degli scarti al quadrato ( 2.5) ( 1.5) (2.5)2 1 6 = Il valore atteso degli scarti (dal valore atteso) al quadrato è detto varianza Informazione: dispersione delle determinazioni (attorno al valore atteso) misura di rischiosità

10 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 284/315 In generale: varianza Var[X] = σ 2 = E[(X E[X]) 2 ] = n n (x i E[X]) 2 p i = ((x i ) 2 2 x i E[X] + (E[X]) 2 ) p i = i=1 n (x i ) 2 p i 2E[X] i=1 n x i p i + (E[X]) 2 n p i i=1 i=1 i=1 = E[X 2 ] 2 (E[X]) 2 + (E[X]) 2 = E[X 2 ] (E[X]) 2 Risulta: Var[X] 0 In particolare: Var[X] = 0 se tutti gli scarti sono nulli, cioè se x 1 = x 2 = = x n = E[X] (situazione non aleatoria) In tutti gli altri casi: Var[X] > 0

11 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 285/315 Esercizio 75: Si considerino le seguenti variabili aleatorie: Calcolare: X 1 : risultato del lancio di un dado X 2 : risultato del lancio di un secondo dado Y : doppio del risultato del lancio del primo dado Z: somma del lancio dei due dadi 1. valore atteso e varianza delle quattro variabili aleatorie; 2. confrontare i valori ottenuti e dire se Z ha una maggiore dispersione di Y, e se Y ha una maggiore dispersione di X 1.

12 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 286/315 Distribuzione di probabilità di X 1 determinazioni probabilità 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Valore atteso: E[X 1 ] = = 3.5 Varianza: Var[X 1 ] = = X 2 : stessa distribuzione di probabilità di X 1 Quindi: E[X 2 ] = E[X 1 ] = 3.5, Var[X 2 ] = Var[X 1 ] Attenzione: stessa distribuzione di probabilità non significa che X 1 e X 2 siano uguali. X 1 potrebbe assumere valore 1 e al contempo X 2 assumere valore 5

13 Distribuzione di probabilità di Y : Y = 2X 1 determinazioni probabilità 2 1/6 4 1/6 6 1/6 8 1/6 10 1/6 12 1/6 Valore atteso: E[Y ] = = 7 = 2 ( = 2 E[X 1] Varianza: Var[Y ] = = Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 287/315

14 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 288/315 Distribuzione di probabilità di Z: Z = X 1 + X 2 X X 1 determinazioni probabilità 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/ / / /36

15 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 289/315 E[Z] = = 7 = E[X 1 ] + E[X 2 ] Var[Z] = = = Var[X 1 ] + Var[X 2 ] Confronti Siccome E[Z] = E[Y ] e Var[Z] < Var[Y ], si può affermare che Z ha minore dispersione rispetto ad Y Le varianze di Y e X 1 non sono immediatamente confrontabili, visto che E[Y ] E[X 1 ]. Si può fare un confronto relativo. V. in seguito

16 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 290/315 Alcune proprietà di valore atteso e varianza Data X, si definisca Y = ax + b (a, b numeri reali) Y è una trasformazione lineare di X Risulta E[Y ] = a E[X] + b Var[Y ] = a 2 Var[Y ] Nell esercizio 75: Y = 2 X 1 (a = 2, b = 0) Date X 1, X 2, si definisca Z = X 1 + X 2 Risulta E[Z] = E[X 1 ] + E[X 2 ] se X 1 e X 2 sono stocasticamente indipendenti (cioè: il risultato di una non dipende da quello dell altra), allora Var[Z] = Var[X 1 ] + Var[X 2 ] V. esercizio 75

17 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 291/315 Esercizio 76 : Il valore di un azione tra un anno è descritto dalla variabile aleatoria X, la cui distribuzione di probabilità è Calcolare 1. valore atteso e varianza di X; determinazioni probabilità 95 1/ /3 2. valore atteso e varianza di Y = X E[X] = = Var[X] = = E[Y ] = E[X] = 3.17 Var[Y ] = Var[X] = NB: se 100 è il prezzo corrente dell azione, Y ne rappresenta il VAN calcolato al tasso annuo del 5%

18 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 292/315 Osservazione: se X è un importo, E[X] è un importo, mentre Var[X] è un importo al quadrato Scarto quadratico medio (o deviazione standard) σ = Var[X] stesse informazioni della varianza, ma espresse in termini di importo Detta anche volatilità (soprattutto se X rappresenta il prezzo di un titolo azionario) Coefficiente di variazione CV[X] = Var[X] E[X] misura relativa di dispersione: volatilità per euro di importo atteso (è un numero puro)

19 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 293/315 Esercizio 75 (cont.) : Confrontare la dispersione delle variabili aleatorie X 1, X 2, Y, Z. X 1 X 2 Y = 2 X 1 Z = X 1 + X 2 E Var CV In termini relativi, la variabile Z ha il minor livello di dispersione, mentre le altre tre variabili hanno lo stesso livello di dispersione

20 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 294/315 Esercizio 77 : La variabile aleatoria X ha valore atteso pari a 2 e varianza pari a 1. Calcolare valore atteso e varianza delle variabili aleatorie Y = X 2, Z = 2X, W = 2Y. E[Y ] = E[X] 2 = 0; Var[Y ] = Var[X] = 1 E[Z] = 2 E[X] = 4; Var[Z] = 4 Var[X] = 4 E[W] = 2 E[Y ] = 0; Var[W] = 4 Var[Y ] = 4

21 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 295/315 Esercizio 78 : Una roulette ha 38 numeri; ciascun numero esce con la stessa probabilità (la roulette è cioè equilibrata). Si punta 1 euro su un numero; se esce il numero, si vincono 36 euro, altrimenti non si vince nulla. Qual è il guadagno atteso del giocatore? Il gioco è equo o è favorevole al banco? (NB: il gioco è equo quando il guadagno atteso è 0.) Qual è l importo della vincita che rende equo il gioco? Vincita aleatoria: X = { 0 prob. 37/38 36 prob. 1/38 Guadagno netto aleatorio: Y = X 1 Guadagno atteso: E[Y ] = E[X] 1 = = 0.05 Gioco non equo, ma favorevole al banco Importo x della vincita che rende equo il gioco: E[Y ] = x = 0 x = 38 Osservazione: in caso di vincita, il guadagno netto che rende equo il gioco è x 1 = 37 = 1 p (p = 1, cioè probabilità di vincere), che è il cosiddetto odd della p 38 puntata

22 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 296/315 Esercizio 79 : In una data copertura assicurativa, l assicuratore pagherà euro se si verifica un dato evento (ad esempio, un incidente). L assicuratore ritiene che l evento possa verificarsi con probabilità Il premio del contratto (cioè il prezzo corrisposto dall assicurato) è il valore atteso del pagamento dell assicuratore. Qual è il guadagno atteso dell assicuratore? Se l assicuratore volesse ottenere un guadagno atteso pari al 10% del premio incassato, a quanto dovrebbe ammontare il premio? Pagamento dell assicuratore: X = { 0 prob prob Premio pagato dall assicurato: P = E[X] = = 10 Guadagno dell assicuratore: G = P X guadagno atteso: E[G] = P E[X] = 0 In alternativa, obiettivo: E[G] = 0.10 P P 10 = 0.10 P P = 11

23 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 297/315 ALBERI BINOMIALI Riferimento: prezzo di un titolo azionario Esempio: indice S&P500

24 Andamento aleatorio titolo rischioso Albero binomiale: modello (semplice) per rappresentare (in modo semplificato) la dinamica aleatoria dei prezzi dei titoli azionari Esempio: prezzo corrente di una data azione: S 0 = 100 tra tre mesi (t = 1 trimestre) il prezzo S 1 con probabilità p sarà 110, con probabilità 1 p sarà 90 t = 0 t = 1 p p S 1 = { 90 prob. 1 p 110 prob. p Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 298/315

25 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 299/315 Qual è il valore atteso del prezzo (in breve: prezzo atteso) al tempo t = 1? E[S 1 ] = 90 (1 p) p Ad esempio se p = 1 2 : E[S 1] = 100 (rendimento atteso: = 0%) se p = 1 3 : E[S 1] = (rendimento atteso: = 3.33%) se p = 2 3 : E[S 1] = (rendimento atteso: = 3.33%)

26 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 300/315 Rappresentazione generale t = 0 t = 1 p S 0 1 p S 0 u S 0 d Ipotesi: nell intervallo di tempo, il prezzo può aumentare (up) o diminuire (down) secondo parametri specificati u: fattore di incremento del prezzo (nell esempio: u = 1.1) d: fattore di riduzione del prezzo (nell esempio: d = 0.9) Valore atteso del prezzo a fine periodo: E[S 1 ] = S 0 (u p + d (1 p)) Rendimento atteso nell intervallo di tempo: E[S 1 ] S 0 1 = (u p + d (1 p)) 1

27 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 301/315 Orizzonte temporale pluriennale Ipotesi: qualunque sia il prezzo dell azione al tempo t, nell intervallo successivo il prezzo con probabilità p può aumentare secondo il fattore u, e con probabilità 1 p diminuire secondo il fattore d t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 S 0 u 3 p p S 0 1 p p S 0 u 1 p p S 0 d 1 p S 0 u 2 1 p p S 0 u d 1 p p S 0 d 2 S 0 u 2 d S 0 u d 2 1 p S 0 d 3

28 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 302/315 Esercizio 80 : Il prezzo di un titolo azionario all epoca 0 è 100. Nel corso di ogni trimestre, e qualunque sia il prezzo raggiunto all inizio del trimestre, il prezzo del titolo può aumentare del 10% o diminuire del 10%, con uguale probabilità. Costruire la distribuzione di probabilità del prezzo del titolo rispettivamente dopo 1, 2, 3 trimestri. Calcolare il valore atteso del prezzo alla fine di ciascuno dei prossimi tre trimestri. Parametri: u = 1.1, d = 0.9, p = 1/2, 1 p = 1/2 t = 0 t = 1 t = 2 t =

29 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 303/315 Primo trimestre { S 1 = E[S 1 ] = = 100 Secondo trimestre = 0.25 S 2 = = = 0.25 E[S 2 ] = = 100 Terzo trimestre S 3 = = = = = E[S 3 ] = = 100

30 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 304/315 Esercizio 81 : Il prezzo di un titolo azionario all epoca 0 è 100. Nel corso di ogni mese, e qualunque sia il prezzo raggiunto all inizio del mese, il prezzo del titolo può aumentare del 5% o diminuire del 2%, rispettivamente con probabilità 0.6 e 0.4. Costruire la distribuzione di probabilità del prezzo del titolo rispettivamente dopo 1 e 2 mesi. Calcolare il valore atteso del prezzo alla fine di ciascuno dei prossimi due mesi. Parametri: u = 1.05, d = 0.98, p = 0.6, 1 p = 0.4 t = 0 t = 1 t =

31 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 305/315 Primo mese { S 1 = E[S 1 ] = = Secondo mese = 0.16 S 2 = = = 0.36 E[S 2 ] = =

32 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 306/315 Quanto è realistico il modello? Scegliendo in modo opportuno l intervallo di tempo (1 trimestre, 1 mese, 1 settimana, ecc.) e i parametri, il modello può fornire una rappresentazione soddisfacente della dinamica dei prezzi di titoli rischiosi I parametri, d, u, p, sono calibrati sui dati di mercato In particolare, devono essere scelti in modo coerente con il valore atteso e la volatilità dei prezzi di mercato

33 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 307/315 GESTIONE DEL RISCHIO: HEDGING Rischio per chi detiene un titolo azionario: all epoca t, il prezzo può essere basso (rispetto ad un target) Rischio per chi vuole acquistare un titolo azionario in futuro: il prezzo all epoca t può essere alto (rispetto ad un target) Possibile copertura con strumenti derivati: titoli finanziari il cui valore (pay-off ) dipende da quello di un altro titolo (sottostante) Un titolo derivato è, ad esempio, un opzione call europea il sottoscrittore ha diritto ad acquistare alla scadenza un titolo azionario (specificato) ad un prezzo prefissato (strike o prezzo di esercizio)

34 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 308/315 Esempio Si desidera acquistare un titolo azionario tra tre mesi, spendendo non più di 105 euro Il titolo azionario ha prezzo corrente (all epoca t = 0) 100. Tra tre mesi (epoca t = 1) il prezzo sarà 110 (con probabilità p = 1 2 ) oppure 90 (con probabilità 1 p = 1 2 ) Si sottoscrive un opzione call, con scadenza tra tre mesi e prezzo di esercizio 105 Pay-off dell opzione Se S 1 = 90, conviene acquistare il titolo azionario sul mercato, al prezzo 90 l opzione non viene esercitata; ha valore nullo Se S 1 = 110, conviene acquistare il titolo azionario esercitando l opzione, pagando 105 valore opzione = 5

35 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 309/315 In sintesi: pay-off a scadenza di un opzione call europea c 1 = max{s 1 E, 0} (E: prezzo di esercizio) o più in generale se la scadenza è T c T = max{s T E, 0} NB: il pay-off a scadenza dell opzione è aleatorio Qual è il prezzo (di equilibrio) c 0 dell opzione all epoca 0? Si sfrutta il principio di non arbitraggio

36 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 310/315 Consideriamo la seguente strategia (delta hedging) All epoca 0 si acquistano unità di titolo azionario si vende 1 unità di opzione call europea, scadenza tra tre mesi, prezzo di esercizio 105 Il numero è fissato in modo che il valore del portafoglio tra tre mesi sia certo S 0 =100 c 0 =? t = 0 t = 1 S 1 =110 c 1 =5 S 1 =90 c 1 =0

37 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 311/315 Valore del portafoglio all epoca t = 1, V 1 se S 1 = 110: V 1 = se S 1 = 90: V 1 = 90 V 1 è certo = 90 = = 0.25 Valore del portafoglio tra tre mesi: V 1 = = = 22.5 Valore (costo) del portafoglio all epoca 0: V 0 = c 0 Visto che il valore del portafoglio tra tre mesi è certo, il suo rendimento deve essere pari al rendimento risk-free (per evitare arbitraggi) V 1 = V 0 (1 + r) 3/12 (r: rendimento annuo risk-free)

38 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 312/315 Se r = 0.03, deve risultare 22.5 = ( c 0 ) /4 c 0 = /4 = 2.67 Osservazioni Risulta: = max{s 1 E,0} S 0 u S 0 d e c 0 = S 0 V 1 (1 + r) t Lo schema è generalizzabile ad una scadenza T qualunque (orizzonte temporale pluriennale) La strategia di non arbitraggio comporta la "replica" di un titolo certo Nel determinare il prezzo dell opzione, non si impiegano le probabilità {p, 1 p}, nonostante l opzione abbia un pay-off aleatorio Il prezzo dell opzione all epoca 0 è esprimibile anche come segue: c 0 = /4 (p 5 + (1 p ) 0) = 2.67 con p = / =

39 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 313/315 Risulta cioè c 0 = /4 }{{} fattore di sconto risk-free (p 5 + (1 p ) 0) }{{} valore atteso con probabilità {p,1 p } del pay-off dell opzione Le quantità p sono dette probabilità neutrali al rischio (perché consentono di esprimere il prezzo dell opzione come valore attuale a tasso risk-free del pay-off atteso) non dipendono dalle probabilità p (che sono dette naturali o fisiche) sono calibrate sui prezzi di mercato (visto che dipendono da r, che è il tasso risk-free osservato, e da d, u, che sono scelti sulla base di prezzo e volatilità dei titoli azionari)

40 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 314/315 Esercizio 82 : Un titolo azionario ha prezzo 100 all epoca 0. Tra 1 mese, avrà prezzo 105 o 98. Il tasso annuo risk-free è pari al 3%. Calcolare il prezzo di un opzione call europea, che ha strike 103 e scadenza tra 1 mese. Pay-off a scadenza dell opzione: c 1 = max{s 1 103, 0} S 0 =100 c 0 =? t = 0 t = 1 S 1 =105 c 1 =max{ ,0}=2 S 1 =98 c 1 =max{98 103,0}=0 Valore del portafoglio tra un mese: V 1 = = 98 = = 2 7 V 1 = = 28 Valore del portafoglio all epoca corrente: V 0 = 100 c 0 = c 0

41 Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 315/315 Condizione di non arbitraggio: V 0 = V / c 0 = /12 Prezzo di non arbitraggio dell opzione: c 0 = /12 = 0.64