Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica 26 maggio 2016

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1 Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica 26 maggio 2016 Esercizi possibili di probabilità e statistica Notazioni: U(a, b) è la distribuzione di probabilità uniforma nell intervallo (a, b) ; N(µ, σ 2 ) è la distribuzione di probabilità normale (gaussiana) con media µ e deviazione standard σ. X N(0, 1) significa che la variabile aleatoria X si distribuisce come la normale di media 0 e varianza 1. Ā è l evento complementare all evento A. P (AB) è la probabilità composta degli aventi A e B. 0. Sia X una variabile aleatoria di media µ e varianza σ 2. Trovare media e varianza della variabile Z = X µ σ 1. La variabile aleatoria X ha densità uniforme nell insieme [ 4, 2] [2, 4]. Scrivere la densità di probabilità di X e la funzione di ripartizione. Trovare media e deviazione standard. 2. Sia X distribuita uniformemente in [0, 1]. Calcolare la probabilità P (X 2 < z), z R. Qual è la distribuzione della variabile aleatoria Z = X 2? 3. Calcolare la probabilità di ottenere almeno un numero pari lanciando 10 dadi. 4. Siano X U(0, 1) e Y indipendenti. Calcolare la probabilità P (X Y ) nel caso in cui Y U(0, 1) e nel caso in cui Y U(0, 2). 5. Siano A, B, C tre eventi con probabilità diversa da zero. Dire se è vero che: - P (ABC) = P (A BC)P (B C)P (C) - P (AB) = P (A)P (B) - P (A) = P (AB) + P (A B) 6. Siano E e H due eventi tali che P (E) = 1 4 P (H E) = 1 2 P (E H) = 1 4 Trovare P (Ē H). 7. Una variabile X può assumere i valori {2, 4, 6, 8, 10} con uguale probabilità. Trovare media e deviazione standard delle variabili X e Y = 2X + 1. Calcolare Cov[X, Y ]. 8. Una variabile X può assumere i valori {0, 1, 2, 3, 4, 5} con uguale probabilità. Calcolare E[X], Var[X] e E[X 2 ]. 9. Sia X N(µ, σ 2 ). Trovare µ e σ sapendo che P (X 4, 41) = 21% e che P (X 6, 66) = 6%. 10. Un evento ha probabilità 0.6 di verificarsi. Trovare la probabilità di avere almeno due successi su 3 tentativi 11. Siano X e Y due variabili aleatorie e sia Cov[X, Y ] la loro covarianza. Dati a e c non nulli, trovare Cov[U, V ] essendo U = a 1 X + b 1 e V = a 2 Y + b 2.

2 12. Le stature espresse in centimetri di uomini e donne all interno di una popolazione si distribuiscono normalmente con distribuzioni rispettivamente N(174, 81) e N(165, 25). Qual è la percentuale di uomini più alti di 183 cm? Supponendo non vi sia correlazione, trovare la percentuale di coppie con uomo più alto della donna. 13. Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti con media nulla e varianza unitaria. Sia U = X + Y e V = XY. Calcolare media e varianza di U e V e calcolare Cov[U, V ]. 14. Sia X 1,..., X n un campione casuale estratto da una popolazione con distribuzione N(0, 1). Sia M la media campionaria. Mostrare che la covarianza tra M e lo scarto X i M è nulla. 15. Una moneta viene lanciata 1000 volte. Trovare l intero S tale che la probabilità di ottenere un numero di teste compreso tra 475 e S valga Siano X e Y due variabili aleatorie ugualmente distribuite. Calcolare la covarianza tra X Y e X + Y. 17. Siano A 1, A 2, A 3 tre eventi che verificano A 1 A 2 A 3 = P (A i ) = 2 5 P (A i A j ) = 1 3 (i j) Calcolare la probabilità dell evento condizionato (E 1 E 2 E 1 E 2 E 3 ). 18. Un lotto è costituito da 15 componenti simili, 10 dei quali costruiti da una macchina M 1 e 5 da una macchina M 2. Ogni componente prodotto da M 1 o M 2 è difettoso con probabilità del 20%. Indicati con X e Y i numeri aleatori di pezzi difettosi tra quelli prodotto rispettivamente da M 1 e M 2, calcolare la probabilità P (X + Y = 2), il coefficiente di correlazione tra X + Y e Y e la probabilità P (X = 1 X + Y = 2). 19. Un test per la diagnosi di una malattia è efficacie nel 100% dei casi di effettiva malattia ma risulta positivo anche sul 5% delle persone sane. Se la malattia in questione colpisce l 1% della popolazione, qual è la probabilità che una persona positiva al test sia malata? Qual è la probabilità che una persona risultata positiva due volte consecutivamente sia malata? 20. Nel lancio di 1000 monete sono state ottenute 420 teste. Dare un intervallo al 99% per la probabilità vera di ottenere testa. 21. Un campione gaussiano di dimensione N = 100 ha media 20 e deviazione standard 5. Dare un intervallo al 95% per la media vera. 22. Se X è continua e X = 6 e Var[X] = 4, dedurrre dalla disuguaglianza di Tchebichev un limite inferiore per P (3 < X < 9). 23. Osservando un campione gaussiano di 1000 persone si rileva una media µ = 170 cm e varianza σ 2 = 100 cm. Quante persone sono alte meno di 165 cm? 24. Un campione di dimensione N = 50 estratto da una popolazione normale fornisce i valori x i = 110 x 2 i = 720 Stimare la media vera µ del campione con CL = 90% i 25. Trovare µ e σ di una distribuzione normale sapendo che il 6.3% dei valori dello spettro sono maggiori di e che il 51.2% sono maggiori di i 2

3 26. In 5 prove di conteggio (processo poissoniano) sono stati ottenuti i valori Dare l intervallo al 68.5% per la media vera di conteggi. 27. I panettoni prodotti da un azienda di dolciumi hanno peso distribuito secondo legge normale, con peso medio della produzione di 1000 g e deviazione standard 5 grammi quando il processo produttivo opera correttamente. Viene estratto in maniera casuale da tale produzione un campione di 50 panettori, il cui peso medio risulta essere 998 g. Verificare, sulla base di un intervallo di accettazione del 95%, che si possa ritenere il processo produttivo fuori controllo. Quale dovrebbe essere il valore dell intervallo di accettazione per modificare la propria decisione, ovvero ritenere il processo controllato? 28. Si vuole stimare la proporzione p di genitori soddisfatti del servizio mensa scolastica fornito dal Comune. In un campione casuale di 350 genitori, in 42 hanno dichiarato di essere soddisfatti. Determinare l intervallo di confidenza al 99% per p e l ampiezza campionaria necessaria per ridurre a il margine d errore con lo stesso livello di confidenza. 29. Il quantitativo medio di acqua assunto da una popolazione si distribuisce normalmente con una σ = Per un campione di 6 persone si sono rilevati i seguenti quantitativi di acqua assunta: 1.12, 1.80, 1.54, 0.75, 2.15, Determinare un intervallo di confidenza al 95% per µ, prima usando la σ data e poi stimandola dai dati. Quante persone occorrerebbe estrarre affinché l intervallo di confidenza al 95% per µ abbia lunghezza inferiore a 0.5? 30. Siano X e Y variabili aleatorie tali che E[X] = 1, E[Y ] = 0, Var[X] = Var[Y ] = 1 e Cov[X, Y ] = 1/2. Determinare Var[2X Y ]. Nell ulteriore ipotesi che la distribuzione congiunta di (X, Y ) sia normale, si determini la probabilità P (2X 2 > Y + 3). 31. Sono date tre urne. L urna A contiene 3 palline rosse e 2 bianche, l urna B contiene 6 palline rosse e 4 bianche mentre l urna C ne contiene 4 rosse e 6 bianche. Si sceglie un urna tramite meccanismo aleatorio tale che P (A) = P (B) = P (C) = 1/3 e si estrae una pallina dall urna scelta. Calcolare la probabilità di estrarre una pallina bianca. Calcolare la probabilità che si sia scelta l urna B, se è stata estratta una pallina bianca. 32. Siano x 1,.., x n osservazioni indipendenti ed identicamente distribuite provenienti da una popolazione distribuita normalmente con media µ e varianza σ 2. - Determinare un intervallo di fiducia per µ di livello 0.95 nell ipotesi che i x i = 18, σ 2 = 16 e n = 9. - Determinare un intervallo di fiducia per µ di livello 0.95 nell ipotesi che σ 2 sia incognita, n = 9, i x i = 18 e i x2 i = 68. 3

4 Alcune relazioni utili: A e B eventi, con P (A) > 0: P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) P (B A) = P (AB) P (A) A e B indipendenti se P (AB) = P (A)P (B). Se eventi B k, k = 1..n esauriscono lo spazio campionario e B i B j = (i j) allora: P (A) = i P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) i P (A B i)p (B i ) (Bayes) X, Y, Z variabili aleatorie, a costante reale: E[aX] = ae[x] E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] E[X] = x i p(x i ) se X discreta E[X] = xp(x) dx se X continua Var[aX] = a 2 Var[X] Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] + 2 Cov[X, Y ] Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 Var[X] = (x i (E[X])) 2 p(x i ) se X discreta Var[X] = (x E[X]) 2 p(x) dx se X continua Deviazione standard σ[x] = Var[X] Cov[X, Y ] = E [(X E[X])(Y E[Y ])] = Cov[Y, X] Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Cov[aX, by ] = a Cov[X, by ] = b Cov[aX, Y ] = ab Cov[X, Y ] Cov[X + Y, Z] = Cov[X, Z] + Cov[Y, Z] Cov[X, X] = Var[X] Se X e Y sono indipendenti: E[XY ] = E[X]E[Y ] Cov[X, Y ] = 0 4

5 È utile ricordare i seguenti numeri per una variabile Z standard (ovvero Z N(0, 1)): probabilità 1 < Z < < Z < < Z < < Z < < Z < < Z < che si generalizzano per una distribuzione normale X con media µ e deviazione standard σ: probabilità µ σ < X < µ + σ µ 2σ < X < µ + 2σ µ 3σ < X < µ + 3σ µ 1.645σ < X < µ σ 0.9 µ 1.96σ < X < µ σ 0.95 µ 2.57σ < X < µ σ