PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2006/07

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1 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 006/07 Esercizio 1 Prova scritta del 16/1/006 In un ufficio postale lavorano due impiegati che svolgono lo stesso compito in maniera indipendente, sbrigando ciascuna pratica in un tempo Q che puo essere considerata una v.a. di tipo esponenziale, avente valor medio λ (la stessa per entrambi). Ad un certo momento, in cui entrambi gli impiegati sono inoperosi, entrano nell ufficio tre clienti, due dei quali sono subito serviti, mentre il terzo si dispone ad attendere il suo turno. Qual é il tempo medio di attesa del terzo cliente, prima di essere servito? [Sugg.: Denotate con Q 1 e Q le v.a. esponenziali relative ai due impiegati, puo essere utile determinare la distribuzione di Z = min{q 1, Q }, e a tale scopo calcolare la quantita 1 F Z (z), z > 0.] Esercizio In una sala da gioco, si lancia indefinitamente una monetina, non necessariamente onesta; si denoti con X 1 il numero di lanci occorrenti per la prima uscita di Testa, e con X il numero di lanci occorrenti per la seconda uscita di Testa. Dati due interi positivi, j e k, con k > j, si calcoli P ([X 1 = j] [X = k]). Supposto poi P (T ) = 1 e j = A, (A = numero lettere del nome), qual é il valore massimo di k per cui tale probabilita condizionata sia maggiore di P ([X 1 = j])? Esercizio 3 Sia X la variabile aleatoria che descrive la lunghezza in millimetri di una barretta di metallo. Si supponga che X N(µ, σ = 5). Posto di aver estratto da X un campione casuale di ampiezza n = 40 e di aver trovato che x = 5 si calcoli: (a) l errore quadratico medio della Media campionaria; (b) l intervallo di confidenza per la media al livello di confidenza (1 α = 0, 95); (c) supponendo che il valore di x rimanga invariato determinare il valore minimo di n affinché l intervallo di confidenza (1 α = 0, 95) abbia ampiezza complessiva minore di 1. Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, 1), utilizzare la seguente tabella: ( Φ(1, 645) = 0, 95 Φ(1, 96) = 0, 975 Φ(, 58) = 0, 995 Φ(3, 7) = 0, 9995 ) 1

2 Soluzioni compito 16/1/006 Esercizio 1 Denotati con Q 1 e Q i tempi di lavoro dei due impiegati per ciascuna pratica, occorre determinare il valor medio della v.a. Z = min{q 1, Q }: infatti il terzo cliente sara servito non appena il piu veloce dei due avra finito col cliente precedente. Naturalmente Z é una v.a. positiva, e, per ogni reale z 0, si ha P ([Z > z]) = P ([Q 1 > z] [Q > z]) = P ([Q 1 > z])p ([Q > z]), per l indipendenza. Considerato che le Q i hanno distribuzione esponenziale, a media λ, si ha P ([Q 1 > z]) = e z/λ, e quindi P ([Z > z]) = e z/λ, da cui si deduce subito che Z ha distribuzione esponenziale, con media λ: questo é dunque il tempo medio di attesa del terzo cliente. Esercizio Chiaramente X 1 ha distribuzione geometrica NB(1, p) e X NB(, p), ove p = P (T ). Pertanto si ha P ([X 1 = j]) = p(1 p j 1, P ([X = k]) = (k 1)p (1 p) k. Risulta inoltre P ([X = k] [X 1 = j]) = P ([X 1 = k j]) = p(1 p) k j 1, (se k > j). Dunque si ha P ([X 1 = j] [X = k]) = P ([X = k] [X 1 = j])p ([X 1 = j]) = p (1 p) k e quindi P ([X 1 = j] [X = k]) = P ([X = k] [X 1 = j])p ([X 1 = j]) P ([X = k]) = p (1 p) k (k 1)p (1 p) = 1 k k 1. Si puo dunque asserire che, noto il valore di X, quello di X 1 assume distribuzione uniforme tra tutti i valori possibili, e cio indipendentemente da p. Nel caso onesto, assumendo j = A, si vuole che risulti 1 k 1 > A ossia k 1 < A, dunque il valore massimo di k perché cio accada é A.

3 Esercizio 3 (a) L errore quadratico medio della Media campionaria per definizione dato da: e quindi. MSE(X) = E(X µ) = σ n MSE(X µ) = 5 40 = 0, 65 (b) Poich la popolazione di partenza é normale sappiamo che: P ( z α X µ n z α σ ) = 1 α Quindi con i dati che noi abbiamo si ha che α = 0, 05 da cui α/ = 0, 05. Possiamo quindi determinare il valore di z α normale vediamo essere: z α = 1, 96. Da cio ricaviamo che l intervallo fiduciario per µ é dato da: e sostituendo con i numeri si ha (5 1, 96 (X z α σ/; X + z α σ/) che dalla tabella sulla funzione 5 5 ; 5 + 1, 96 ) = (5 1, 96 0, 791; 5 + 1, 96 0, 791) = (5 + 1, 55) = (3, 45; 6, 55). (c) Sappiamo che l ampiezza di un intervallo fiduciario é data da: A = z α σ n Andiamo quindi a determinare il valore minimo di n affinché tale ampiezza sia minore di 1, e sempre con (1 α) = 0, 95: 1 > 1, 96 da cio ricaviamo il valore minimo di n 5 n > ( 1, 96 5) = 384, 16 e in conclusione il valore minimo di n é

4 Prova scritta del 1/01/007 Esercizio 1 Si vuole esaminare la dimensione dei fiocchi di neve che cadono su una determinata localita. A tale scopo si assume che il generico fiocco di neve abbia forma di esagono regolare, e la lunghezza del lato (espressa in un opportuna unita di misura) sia una variabile aleatoria X, con densita Beta. In particolare, si assume che la densita di X sia la funzione f(x) = 30x (1 x), per x ]0, 1[, e nulla altrove. Si calcolino media e varianza di X. Inoltre, utilizzando la nota formula A = kl che fornisce l area A dell esagono regolare in funzione del lato l (la costante k vale approssimativamente.6), si determini anche la densita della variabile aleatoria Z che misura l area del generico fiocco di neve. Esercizio Si lancia n volte una moneta onesta, e si denota con X n la v.a. che indica il numero di teste uscite, con Y n quella che indica il numero di croci, e con Z n la v.a. X n Y n. Si trovino media e varianza di Z n, e si calcoli, in funzione di n, la probabilita che sia Z n = 0. Si dica infine a se e a che cosa converge, in distribuzione, la successione ( Zn ) n. Esercizio 3 Uno strumento per misurare la profondita di un lago presenta errori che si possono considerare distribuiti secondo una legge normale, con media nulla e deviazione standard (σ) pari a 10 m. Quante misure occorre effettuare con tale strumento, affinché l errore medio delle varie misure non superi i 5 m (in eccesso o in difetto), con probabilita del 90% almeno? Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, 1), utilizzare la seguente tabella: ( ) Φ(1, 81) = 0, 9, Φ(1, 645) = 0, 95 Φ(1, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 Soluzioni compito 1/01/007 4

5 Esercizio 1 Chiaramente, si ha E(X) = x 3 (1 x) dx = 1, E(X ) = x 4 (1 x) dx = 7, V (X) = E(X ) E (X) = 1 8. Per quanto riguarda Z, essa chiaramente assume valori in [0, k]. Per u [0, k] si ha P ([Z u]) = P ([X u k Derivando rispetto a u, si ottiene la densita : u f z (u) = 15 k k (1 naturalmente per u [0, k]. Esercizio u k ]) = 30 x (1 x) dx. 0 u k ), Essendo Y n = n X n, si ha Z n = X n n. Pertanto si ha E(Z n ) = E(X n ) n = 0, V (Z n ) = 4V (X n ) = n, per ogni n. Inoltre, poiché X n assume tutti i valori interi da 0 a n, si vede facilmente che Z n assume i valori n, n +, n + 4,..., n 4, n, n: tali valori comprendono lo 0 solo se n é pari, nel qual caso si ha Z n = 0 X n = n, e pertanto { 0, n dispari P ([Z n = 0]) = ( n n/) n, n pari. Infine, poiché ogni termine X n (e di conseguenza anche Z n ) si puo interpretare come la somma di n v.a. I.I.D., e poiché Zn é standard, per il Teorema del Limite Centrale si puo dedurre che la successione ( Zn ) n converge in Distribuzione alla legge N(0, 1). Esercizio 3 Denotando con X 1,..., X n i valori dei vari errori nelle n misure, (effettuate in condizioni di indipendenza), la media X n ha distribuzione N(0, σ ), con n σ = 100. Posto U n = X σ n, risulta U n N(0, 1), e si ha n n P ([ X n < 5]) = P ([ U n < σ 5]) = P ([ U n < ]) = Φ( ) 1. Imponendo che tale probabilita debba essere 0.9, si ha Φ( ) =

6 da cui, per le tabelle, e quindi = n (3.9) , dunque n 11. Prova scritta del 8/09/007 Esercizio 1 Sia Y una v.a. assegnata di tipo B(1, 1 ), e poniamo X = Y 1. Sia poi (X n ) n una successione di variabili aleatorie definita come segue: X k+1 = X, X k = X, per ogni k IN. Detta (S n ) la successione delle somme parziali delle X n (ossia S n = n j=0 X j), si studi il comportamento al limite della successione Sn n : il risultato trovato é in contrasto con il teorema del Limite Centrale? Esercizio Siano X e Y due v.a. indipendenti, entrambe di tipo N(0, 1): posto Z = (X Y ), si trovino la distribuzione di Z e i suoi momenti di ordine 1 e. Esercizio 3 Le lampadine prodotte da una certa ditta hanno una durata che si puo considerare distribuita secondo una legge normale, con varianza 16. Un campione di 0 lampadine viene monitorato, e si registra una durata media di 30 mesi. 1) Si determini un intervallo di confidenza al livello 0.90 per la vita media delle lampadine; ) Quanto dovrebbe essere numeroso il campione se si vuole che (sempre con la durata media di 30 mesi), l intervallo trovato in precedenza abbia una confidenza almeno del 95%? ( Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, 1), utilizzare la seguente tabella: ( Φ(1, 81) = 0, 9, Φ(1, 645) = 0, 95 Φ(1, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 ) Soluzioni compito 8/09/007 6

7 Esercizio 1 E chiaro che tutte le X n hanno la stessa distribuzione: ciascuna puo assumere solo i valori 1 e 1, con probabilita 1. Tuttavia, poiché le X n con indice dispari coincidono tutte con X, e quelle con indice pari coincidono con X, per le somme S n si ha S k = 0, S k+1 = X, qualunque sia k 1. Chiaramente allora si ha in tutti i modi possibili. lim n S n = 0, Il risultato non é in contrasto con il teorema del Limite Centrale per almeno due motivi: 1) Le X n non costituiscono una successione I.I.D., in quanto, pur avendo tutte la stessa distribuzione, non sono certo indipendenti. S ) Le v.a. n n non sono le standardizzate delle S n : infatti, benché tutte le S n abbiano media nulla, la loro varianza é uguale a 1, se n é dispari, e a 0, se n é pari. Esercizio L indipendenza di X e Y implica quella di X e Y. Allora, poiché anche Y é di tipo normale standard, si ha X Y N(0, ). Per determinare la distribuzione di Z, calcoliamo la sua funzione di ripartizione: per z > 0, si ha F Z (z) = P ([ z X Y z]) = z e x /4 dx; π 0 Derivando rispetto a z, si trova la densita : f Z (z) = 1 πz e z/4, (ovviamente per z > 0). Chiaramente, allora, Z ha una distribuzione di tipo Γ, e E(Z) =, E(Z ) = 1. Esercizio 3 1) Denotando con x la media campionaria, si deve avere P ([ u x µ σ/ ]) = 0.90; n 7

8 dalla tabella di Φ, si deduce che dev essere u = Ponendo µ = 30, n = 0, σ = 4, avremo l intervallo [8.53, 31.47]. ) Se si vuole la confidenza al 95%, dovra risultare u = 1.96, 1.47 = /, ossia n 9. 8