1 Successioni di funzioni

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1 Analisi Matematica 2 Successioni di funzioni CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 6 SERIE DI POTENZE Supponiamo di associare ad ogni n N (rispettivamente ad ogni n p, per qualche p N) una funzione f n (x), definita in un intervallo I. Realizziamo in tal modo una successione di funzioni definita in I : (f n (x)). Osserviamo che, per ogni x I fissato, (f n (x)) è una successione numerica, a cui si possono applicare le nozioni introdotte per le successioni numeriche.. Convergenza puntuale Per ogni x I fissato, (f n (x)) è una successione numerica, a cui si puó applicare la nozione di convergenza usuale definita per successioni numeriche. Il limite, quando esiste finito, è un numero reale che dipende dalla scelta fatta di x. Al variare di x, si individua un sottoinsieme A di I costituito da tutti i valori di x per cui la successione converge. Al variare di x in questo insieme A, si ottiene una nuova funzione f(x), definita in A, che fornisce, punto per punto, il limite della successione. C è dunque un modo naturale per definire una nozione di convergenza per una successione di funzioni: Convergenza puntuale.. Una successione di funzioni (f n (x)) converge puntualmente in un insieme A I, se per ogni x A, la successione numerica (f n (x)) converge. 2. Una successione di funzioni (f n (x)) converge puntualmente a una funzione f(x) in un insieme A I, se per ogni x A, si ha f n (x) f(x). 3. Se una successione di funzioni (f n (x)) converge puntualmente a una funzione f(x) in un insieme A I, la funzione f(x) si chiama limite puntuale della successione e l insieme A si chiama insieme di convergenza puntuale per la successione. Purtroppo questa nozione di convergenza non è soddisfacente per molti aspetti. Ad esempio, la convergenza puntuale non garantisce la proprietá di continuitá del limite di una successione di funzioni continue. Domanda: Se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che

2 Analisi Matematica 2 2 f n (x) C 0 (I), per ogni n, f n (x) f(x), per ogni x I, si puó affermare che la funzione limite f(x) è continua in I? La risposta è, in generale, NO! Esempio. Sia f n (x) = x n, con x [0, ], per ogni n. È facile osservare che { 0, 0 x <, f n (x) f(x) =, x =. Le funzioni f n (x) sono tutte continue nell intervallo considerato, ma la funzione f(x) non è continua in tale intervallo. Per questa e per altre ragioni che vedremo in seguito, è necessario introdurre una nozione di convergenza differente - piú forte - di quella puntuale, che consentirá di dare una risposta affermativa alla domanda precedente e ad altre domande importanti che vedremo. Questo tipo di convergenza è la convergenza uniforme..2 Convergenza uniforme Sia (f n (x)) una successione di funzioni definita in I. Diamo la seguente definizione Convergenza uniforme. La successione di funzioni (f n (x)) converge uniformemente a una funzione f(x) in un insieme A I, se f n (x) f(x) 0. In tal caso scriveremo Inoltre sup x A f n (x) f(x) oppure f n f, in A. la funzione f(x) è detta il limite uniforme della successione e l insieme A è detto insieme di convergenza uniforme della successione. Analizziamo in dettaglio il significato di questo tipo di convergenza, mettendola a confronto con la convergenza puntuale.. La convergenza puntuale f n (x) f(x) in I significa che x I, ɛ > 0, ν x tale che se n ν x f n (x) f(x) < ɛ. 2. La convergenza uniforme f n (x) f(x) in I significa che ɛ > 0, ν tale che se n ν sup x I f n (x) f(x) < ɛ, o equivalentemente f n (x) f(x) < ɛ, x I.

3 Analisi Matematica 2 3 Dal confronto tra () e (2) si deduce immediatamente che la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale. Peró non vale il viceversa, almeno in generale, come mostra l esempio seguente. Esempio. Se f n (x) = x n, con x [0, ], per ogni n, abbiamo giá provato che successione converge puntualmente in [0, ], alla funzione { 0, 0 x <, f(x) =, x =. Peró non converge uniformemente alla funzione, in quanto sup x [0,] f n (x) f(x) =. In effetti dal confronto tra le due definizioni, si vede che, se si ha convergenza uniforme, ν è lo stesso per ogni x, mentre, se si ha convergenza puntuale, l intero ν x dipende da x, e non è detto che sia possibile trovare un ν che vada bene per ogni x. Infatti questo intero dovrebbe essere ν = sup ν x, x I ma questo estremo superiore potrebbe essere +, come accade nell esempio..3 Conseguenze della convergenza uniforme L importanza della convergenza uniforme è evidenziata dai seguenti teoremi, di cui omettiamo la dimostrazione.. Continuitá del limite. Se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che f n (x) C 0 (I), per ogni n, f n (x) f(x), per ogni x I, abbiamo giá osservato che la funzione limite f(x) puó essere non continua in I. Se peró la convergenza è uniforme allora si dimostra che la risposta è SI! Teorema. Se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che f n (x) C 0 (I), per ogni n, f n (x) f(x), in I, allora la funzione limite f(x) è continua in I. 2. Limite dell integrale Domanda. Se (f n (x)) è una successione di funzioni continue in I, che converge a una funzione f(x) in I, e per ogni n si considera l integrale definito da a a b, per a, b I, si puó affermare che

4 Analisi Matematica 2 4 l integrale del limite è il limite degli integrali? Se la convergenza è intesa in senso puntuale, la risposta è - in generale - NO! Se peró la convergenza è intesa in senso uniforme la risposta è SI! Teorema 2. Se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che f n (x) C 0 (I), per ogni n, f n (x) f(x), in I, allora, a, b I, si ha b a f(x) dx = lim n b a f n (x) dx. Come conseguenza di tale teorema, si ha il seguente corollario. Corollario. Se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che f n (x) C 0 (I), per ogni n, f n (x) f(x), in I, allora, x 0, x I, si ha equivalentemente, x 0 f(t) dt = lim n x 0 f n (t) dt; F (x) = lim n F n (x), x I, se poniamo F n (x) = x 0 f n (t) dt, F (x) = x 0 f(t) dt. Il corollario precedente afferma che, se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che f n (x) C 0 (I), per ogni n, f n (x) f(x), in I, allora la primitiva di f(x) - che vale 0 in un punto x 0 - si ottiene come limite delle primitive delle funzioni f n (x) che valgono 0 nello stesso punto. 3. Limite della derivata. Domanda. Se (f n (x)) è una successione di funzioni di classe C (I), che converge a una funzione f(x) in I, e la successione delle derivate (f n(x)) converge in I a una funzione g(x), si puó affermare che g(x) = f (x), x I?

5 Analisi Matematica 2 5 Se la convergenza della successione (f n(x)) è intesa in senso puntuale, la risposta è - in generale - NO, anche se la convergenza della successione (f n (x)) è uniforme! Se peró la convergenza della successione (f n(x)) è intesa in senso uniforme, la risposta è SI, indipendentemente dal fatto che la convergenza della successione (f n (x)) alla funzione f(x) sia puntuale o uniforme! Teorema 3. Se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che f n (x) C (I), per ogni n, f n (x) f(x), in I, f n(x) g(x), in I, allora, f n (x) f(x) in I, f(x) C (I), f (x) = g(x), x I. Il teorema afferma che il limite uniforme delle derivate è la derivata del limite. Piú in generale vale il seguente teorema Teorema 3 a. Se (f n (x)) è una successione di funzioni tali che f n (x) C (I), per ogni n, f n (x 0 ) L, per un punto x 0 I, f n(x) g(x), in I, allora, esiste f(x) tale che f(x 0 ) = L per cui f n (x) f(x) in I, f(x) C (I), f (x) = g(x), x I. Quindi non occorre sapere che la successione (f n (x)) converge, anche solo puntualmente, a una funzione f(x), ma soltanto che la successione converga in un punto x 0. In effetti il teorema 3 è una conseguenza del teorema 2, se si definisce f(x) = L + x 0 g(t) dt.

6 Analisi Matematica Serie di funzioni Data una successione di funzioni reali f n (x), definite in un intervallo I, si puó considerare la successione di funzioni, ancora definite in I, costituita dalle somme parziali S n (x) = n k=0 f k (x), x I, n 0, e quindi la serie f n (x), intesa, secondo l usuale definizione, come limite della successione delle somme parziali: f n (x) := lim n S n (x), x I. Problema. Come si deve intendere l operazione di limite? Sappiamo infatti che per una successione di funzioni - e quindi anche per la successione S n (x) - si puó parlare di convergenza puntuale, convergenza uniforme. Daremo dunque le seguenti definizioni.. La serie + f n(x), converge puntualmente in A I, se esiste una funzione S(x), definita in A, tale che S n (x) S(x), x A; 2. La serie + f n(x), converge uniformemente in A I, se esiste una funzione S(x), definita in A, tale che S n (x) S(x), in A. Perché introdurre la convergenza uniforme? Perché la convergenza puntuale non garantisce che proprietá delle funzioni f n (x), come la continuitá, la derivabilità, si trasferiscano alla funzione somma S(x), mentre la convergenza uniforme si. Si hanno infatti i seguenti teoremi, che sono una naturale generalizzazione al contesto delle serie, dei teoremi, 2, 3 enunciati per le successioni di funzioni. In effetti essi sono una semplice riscrittura di tali teoremi per la successione S n (x).

7 Analisi Matematica 2 7. Teorema. (Continuitá della somma). Si consideri la serie di funzioni, definite in un intervallo I, f n (x), x I. Se f n (x) C 0 (I), + f n(x) = S(x), uniformemente in A I, allora S(x) C 0 (A). 2. Teorema 2. (Integrazione per serie). Si consideri la serie di funzioni, definite in un intervallo I, f n (x), x I. Se f n (x) C 0 (I), + f n(x) = S(x), uniformemente in A I, allora Per ogni a, b A, tali che [a, b] A, b a S(x) dx = b a f n (x) dx; per ogni x 0 A e per ogni x A, tale che l intervallo di estremi x 0, x sia in A, x 0 S(t) dt = x 0 f n (t) dt; Il teorema afferma che l integrale della serie è la serie degli integrali. 3. Teorema 3. (Derivazione per serie). Si consideri la serie di funzioni, definite in un intervallo I, f n (x), x I. Se f n (x) C (I), + f n(x) = S(x), per ogni x A I, + f n(x) = T (x), uniformemente in A I,

8 Analisi Matematica 2 8 allora S(x) C (A), S (x) = T (x), x A. Il teorema afferma che la derivata della serie è la serie delle derivate. Data una serie di funzioni si deve studiare la sua convergenza puntuale e assoluta.. Lo studio della convergenza puntuale di una serie di funzioni si fa pensando x fissato e usando uno dei metodi illustrati per le serie numeriche. In particolare, per x fissato, si puó studiare la convergenza assoluta della serie numerica ottenuta fissando x, utilizzando uno dei criteri visti per le serie a termini positivi, e dedurne la convergenza per la serie corrispondente a x fissato, applicare, quando possibile, il criterio di Leibniz. Si tratta x come un parametro e si determina per quali x I si ha convergenza assoluta ( e quindi convergenza); per quali x I si ha convergenza semplice non assoluta. 2. Problema. Come studiare la convergenza uniforme? Per fare ció è opportuno introdurre un nuovo tipo di convergenza: la convergenza totale. La serie di funzioni + f n(x) converge totalmente in A I, se Vale il seguente teorema sup x A f n (x) < +. Teorema. Se la serie converge totalmente in A, allora essa converge assolutamente e uniformemente (e quindi puntualmente) in A. Attenzione! Se la serie non converge totalmente, puó comunque convergere uniformemente, oltre che assolutamente e/o puntualmente. Per studiare la convergenza totale è utile il seguente criterio, che si basa sul criterio del confronto per serie numeriche a termini positivi. Teorema (Criterio di Weierstrass). Si consideri la serie di funzioni, definite in un intervallo I, Se per ogni n esiste M n > 0 tale che f n (x), x I.

9 Analisi Matematica 2 9 f n (x) M n, x I, + M n < +, allora la serie converge totalmente in I. Attenzione! Se si maggiore f n (x) in modo poco accurato, puó accadere che la serie + M n diverga, pur essendo la serie data totalmente convergente. Esempio. Si consideri la serie di funzioni, definita in R x 2 + n 2. Il criterio del confronto asintotico permette di stabilire facilmente che la serie converge puntualmente (e assolutamente, dato che le funzioni sono tutte positive) per ogni x reale. Per studiare la convergenza uniforme, studiamo la convergenza totale, usando il criterio di Weierstrass. È immediato osservare che converge, si conclude che la serie data converge uni- Poichè è noto che la serie + n= formemente in R. x 2 + n 2, x R. n2 n 2 Perché si considerano le serie di funzioni? Le ragioni sono due. (a) (b) È un modo per definire funzioni, che altrimenti non sarebbero definibili, come somma di una serie data. È un modo per rappresentare e quindi per approssimare funzioni note. In questo caso, data una funzione f(x), si cerca una serie di funzioni che la rappresenti, cioè che abbia la funzione data come somma. Se data una funzione f(x), definita in I, esiste una serie + f n(x) tale che in I sia f n (x) = f(x), diciamo che la funzione data è sviluppata in serie. Perché sviluppare in serie una funzione? Per poter valutare in modo approssimato, tramite le somme parziali della serie, il valore della funzione in punti in cui è difficile conoscerne il valore esatto; per eseguire le operazioni di integrazione e/o derivazione, usando un metodo per serie. Per tutte queste ragioni la serie di funzioni deve essere la piú semplice possibile tra quelle che si adattano a descrivere la funzione data. Tra queste certamente un importanza particolare hanno le serie le cui somme parziali sono polinomi, cioè le serie di potenze.

10 Analisi Matematica Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a n (x x 0 ) n. È dunque una serie di funzioni definite su R, essendo f n (x) = a n (x x 0 ) n, per ogni n. x 0 è detto punto iniziale o centro {a n, n 0}, sono detti i coefficienti della serie di potenze. Si osservi che alcuni dei coefficienti (un numero finito o infinito) possono essere nulli. In particolare possono essere nulli i primi coefficienti, per n = 0,..., p, per qualche p; oppure possono essere nulli tutti i coefficienti delle potenze pari o dispari. La n-ma somma parziale della serie, che indichiamo P n (x), P n (x) = n k=0 a k (x x 0 ) k, è un polinomio di grado P = n nella variabile (x x 0 ), di coefficienti a 0,..., a n. In realtá il grado del polinomio P n (x) è P n, e puó essere P < n se a n = 0. Se, in particolare, x 0 = 0, la serie è del tipo a n x n. Ci si puó sempre ridurre a questo caso, ponendo t = x x 0. Data una serie di potenze, si deve determinare. l insieme di convergenza puntuale: per quali x la serie converge puntualmente; 2. l insieme di convergenza puntuale assoluta: per quali x la serie converge puntualmente assolutamente; 3. gli insiemi A R di convergenza uniforme: in quali insiemi A R la serie converge uniformemente. Tenendo conto del fatto che, dove la serie converge totalmente, si ha convergenza puntuale, puntuale assoluta e uniforme, sará opportuno determinare gli insiemi A R di convergenza totale: in quali insiemi A R la serie converge totalmente. Vedremo che l insieme di convergenza e di convergenza assoluta di una serie di potenze sono molto semplici da descrivere e altrettanto semplici da descrivere sono gli insiemi di convergenza uniforme e totale.

11 Analisi Matematica 2 Per prima cosa osserviamo che una serie di potenze converge sempre nel punto iniziale x 0 e che in tale punto la somma della serie è uguale al primo coefficiente a 0. Il seguente teorema descrive l insieme di convergenza di una serie di potenze di punto iniziale x 0 = 0. Teorema (Convergenza puntuale). Sia + a n x n. Allora. Se la serie converge per x = x, allora essa converge puntualmente assolutamente (e quindi puntualmente) nell intervallo ( x, x ); 2. se la serie non converge per x = x 2, allora essa non converge per ogni x tale che x > x 2. Dimostrazione.. Supponiamo che la serie + a n x n e quindi Se dunque x ( x, x ), si ha converga. Allora a n x n n 0 M > 0 tale che a n x n M, n. ( ) x n a n x n = a n x n = a n x n M x ( ) x n = M q n, x se poniamo q = x x. Poiché 0 < q <, la serie geometrica + qn converge e quindi, per il criterio del confronto, converge anche la serie a n x n, che è quanto volevamo provare. 2. Supponiamo ora che la serie + a n x n 2 non converga e proviamo che la serie non converge per nessun x tale che x > x 2. Supponiamo per assurdo che esista x 3, con x 3 > x 2, tale che la serie + a n x n 3 converga. allora per quanto provato in (), la serie deve convergere per ogni x ( x 3, x 3 ), e in particolare per x = x 2. Ció è assurdo. Dal Teorema segue che l insieme dei punti per cui la serie + a n x n converge, cioè l insieme di convergenza della serie di potenze è un intervallo simmetrico di centro 0 e che in tale intervallo si ha anche convergenza assoluta. Piú in generale, l insieme di convergenza di una serie + a n (x x 0 ) n è un intervallo simmetrico di centro x 0 e in tale intervallo si ha anche convergenza assoluta. Ció giustifica la seguente definizione.

12 Analisi Matematica 2 2 Raggio di convergenza della serie di potenze + a n (x x 0 ) n è R = sup { x x 0 : a n (x x 0 ) n converge}. In particolare si ha R = 0, se la serie converge (anche assolutamente) solo per x = x 0 ; R = +, se la serie converge (anche assolutamente) per ogni x reale; R è un numero reale positivo non nullo, se esistono valori di x per cui la serie non converge, ma la serie converge per valori di x diversi dal centro. In tal caso la serie converge (anche assolutamente) per x (x 0 R, x 0 + R); non converge per x (, x 0 R) (x 0 + R, + ); puó convergere assolutamente, convergere semplicemente ma non assolutamente, non convergere in ciascuno dei due estremi x 0 R, x 0 + R : si deve fare la verifica caso per caso, ponendo rispettivamente x = x 0 R e x = x 0 + R. Per quanto riguarda la convergenza uniforme e totale, vale il seguente teorema. Teorema 2 (Convergenza totale). Sia + a n (x x 0 ) n una serie di potenze con 0 < R +. Allora se R < +, la serie converge totalmente (e quindi anche uniformemente) in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in (x 0 R, x 0 + R); in particolare in ogni intervallo [x 0 K, x 0 + K] (x 0 R, x 0 + R); se R = +, la serie converge totalmente (e quindi anche uniformemente) in ogni intervallo chiuso e limitato di R; in particolare in ogni intervallo [x 0 K, x 0 + K] R. Dimostrazione. Supponiamo R < +. (Se R = + la dimostrazione è analoga). Per ogni K, 0 < K < R, la serie + a n K n converge; d altra parte, per ogni x [x 0 K, x 0 + K], si ha a n x x 0 n a n K n e quindi la serie data converge totalmente nell intervallo. Osservazione. Dire che la serie + a n (x x 0 ) n converge uniformemente in ogni intervallo [x 0 K, x 0 + K] (x 0 R, x 0 + R) non significa che la serie converge uniformemente in (x 0 R, x 0 + R)! Infatti, se S(x) è la somma della serie in (x 0 R, x 0 + R), sappiamo che K < R, ɛ > 0, ν ɛ,k tale che sup [x 0 K,x 0 +K] S n (x) S(x) < ɛ, ma questo non implica che

13 Analisi Matematica 2 3 ɛ > 0, ν ɛ tale che, K < R sup K sup [x 0 K,x 0 +K] S n (x) S(x) < ɛ. Esempio. Si consideri la serie geometrica + xn. Si prova che R = e che la serie converge assolutamente in (, ); inoltre la serie converge totalmente e quindi uniformemente in ogni intervallo [ K, K] (, ). Peró si prova che la serie non converge uniformemente in (, ). Domanda. Cosa accade per la convergenza uniforme se la serie converge negli estremi? Il seguente teorema risponde alla domanda. Teorema 3 (Abel). Sia + a n (x x 0 ) n una serie di potenze con 0 < R < +.. Se la serie converge solo in x 0 + R, la serie converge uniformemente in ogni intervallo [x 0 K, x 0 + R], per ogni K < R; 2. se la serie converge solo in x 0 R, la serie converge uniformemente in ogni intervallo [x 0 R, x 0 + K], per ogni K < R; 3. se la serie converge in x 0 R e in x 0 + R, la serie converge uniformemente nell intervallo [x 0 R, x 0 + R]. Esempi.. + xn converge assolutamente in (, ); converge uniformemente in ogni [ K, K] (, ) xn n converge in [, ), assolutamente in (, ); converge uniformemente in ogni [, K] (, ) ( )n xn n converge in (, ], assolutamente in (, ); converge uniformemente in ogni [ K, ] (, ) xn ( )n n 2 converge assolutamente in [, ); converge uniformemente in [, ].

14 Analisi Matematica 2 4 Determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze. Data una serie di potenze, la prima cosa da fare è determinarne il raggio di convergenza R. Per determinarlo, si hanno i seguenti criteri, che derivano dal criterio della radice e dal criterio del rapporto per le serie numeriche a termini positivi.. Criterio della radice. Supponiamo che esista lim n n a n e che sia lim n n a n = L, 0 L +. Allora (a) L = 0 = R = + ; (b) L = + = R = 0; (c) 0 < L < + = R = L. 2. Criterio del rapporto. Supponiamo che sia a n 0, per ogni n, che esista lim n a n+ a n e che sia lim n a n+ a n = L, 0 L +. Allora (a) L = 0 = R = + ; (b) L = + = R = 0; (c) 0 < L < + = R = L. NB. Si puó usare direttamente il criterio della radice o il criterio del rapporto per la serie a n x x 0 n. 4 Proprietá della somma di una serie di potenze Sia + a n (x x 0 ) n una serie di potenze con 0 < R +. Chiamiamo S(x) la somma della serie, per ogni x nell insieme di convergenza (x 0 R, x 0 + R), estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi, S(x) = a n (x x 0 ) n, x (x 0 R, x 0 + R). Allora S(x) è una funzione definita in (x 0 R, x 0 + R) (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi), di cui in generale non si conosce l espressione esplicita, ma che è definita attraverso la serie. Analizziamo le proprietá di questa funzione, tenendo conto dei teoremi, 2, 3 visti nella Sezione 2 per le serie di funzioni.

15 Analisi Matematica 2 5. Continuitá. Dal teorema della sezione 2 segue Teorema (Continuitá della somma di una serie di potenze). La somma S(x) di una serie di potenze + a n (x x 0 ) n, con raggio di convergenza R positivo, è continua nell insieme di convergenza. Dimostrazione. Le funzioni a n (x x 0 ) n sono continue su R. Fissiamo un generico x (x 0 R, x 0 + R); esiste K < R tale che x [x 0 K, x 0 + K]. Poiché la serie converge uniformemente in tale intervallo, il teorema della Sezione 2 assicura che S(x) è continua in x. Se la serie converge in x 0 R (rispettivamente in x 0 + R) per il teorema di Abel la serie converge uniformemente in [x 0 R, x 0 +K], per K < R (rispettivamente in [x 0 K, x 0 +R], per K < R) e quindi la somma è continua in x 0 R (rispettivamente in x 0 + R). 2. Integrazione per serie. Dal teorema 2 della Sezione 2 segue Teorema 2 (Integrazione per serie della somma di una serie di potenze). Se S(x) = + a n (x x 0 ) n, per x (x 0 R, x 0 + R) (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi), allora b a S(x) dx = a n b a (x x 0 ) n dx, a, b (x 0 R, x 0 + R), (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi). Dimostrazione. In effetti la serie converge uniformemente in [a, b] e quindi il teorema 2 della Sezione 2 implica la tesi. Si ha inoltre Teorema 2 a (Primitive della somma di una serie di potenze). Se S(x) = + a n (x x 0 ) n, per x (x 0 R, x 0 + R) (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi), allora, per ogni x (x 0 R, x 0 + R) (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi), S(t) dt = a n (t x 0 ) n (x x 0 ) n+ dt = a n. x 0 x 0 n + Si noti che la serie + n+ è ancora una serie di potenze che ha lo stesso raggio di convergenza della serie data. In effetti a n (x x 0) n+ lim a n+ /(n + ) a n /n = lim n a n+ (n + ) a n = lim n n + lim a n+ a n = lim a n+. a n

16 Analisi Matematica Derivabilitá. Sia S(x) = + a n (x x 0 ) n, per x (x 0 R, x 0 +R) (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi). Per ogni n, la funzione a n (x x 0 ) n ha derivata continua in tutto R. Consideriamo la serie delle derivate n= n a n (x x 0 ) n ; si tratta di una nuova serie di potenze e si dimostra che essa ha lo stesso raggio di convergenza della serie data. In effetti lim (n + ) a n+ n a n = lim n + n lim a n+ a n = lim a n+. a n Allora il teorema 3 della Sezione 2 implica Teorema 3 (Derivabilitá della somma di una serie di potenze). La somma S(x) di una serie di potenze + a n (x x 0 ) n, che ha raggio di convergenza positivo R, è derivabile nell intervallo (x 0 R, x 0 + R) e S (x) = n= n a n (x x 0 ) n, x (x 0 R, x 0 + R). Inoltre la derivata I S (x) è continua nell intervallo di convergenza. Dimostrazione. Abbiamo osservato che la serie delle derivate converge in (x 0 R, x 0 + R); inoltre sappiamo che la convergenza è uniforme in ogni intervallo [x 0 K, x 0 + k] (x 0 R, x 0 + R). Poniamo g(x) = n= n a n (x x 0 ) n, x (x 0 R, x 0 + R). Il teorema 3 della Sezione 2 implica allora che la funzione S(x) è derivabile in ogni intervallo [x 0 K, x 0 + k] (x 0 R, x 0 + R) cioè in (x 0 R, x 0 + R), e che in tale intervallo Ció prova la tesi. S (x) = g(x). 4. Regolaritá della somma di una serie di potenze. Sia S(x) = + a n (x x 0 ) n, per x (x 0 R, x 0 +R) (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi). Per ogni n, la funzione a n (x x 0 ) n ha derivata n-ma continua in tutto R, per ogni n. Esprimiamo questa proprietá dicendo che a n (x x 0 ) n C (R), n 0.

17 Analisi Matematica 2 7 Allora iterando infinite volte quanto detto al punto precedente, si dimostra Teorema 4 (Regolaritá C della somma di una serie di potenze). La somma S(x) di una serie di potenze + a n (x x 0 ) n, che ha raggio di convergenza positivo R, è di classe C (x 0 R, x 0 + R) e, per ogni k, si ha S (k) (x) = n=k n(n ) (n k + ) a n (x x 0 ) n k, x (x 0 R, x 0 + R). 5. Relazione tra la somma e i coefficienti di una serie di potenze. Sia S(x) = + a n (x x 0 ) n, per x (x 0 R, x 0 +R) (estremi esclusi o inclusi a seconda dei casi). Abbiamo provato che S(x) è di classe C (x 0 R, x 0 + R). Il teorema seguente stabilisce un preciso legame tra la funzione somma S(x) e i coefficienti della serie. Teorema 5. Per ogni n 0, si ha S (n) (x 0 ) = n! a n, cioè a n = n! S(n) (x 0 ). Dimostrazione. Sappiamo che, per x (x 0 R, x 0 + R), S(x) = S (x) =. S (k) (x) = n= n=k a n (x x 0 ) n, n a n (x x 0 ) n, n(n ) (n k + ) a n (x x 0 ) n k,. In particolare per x = x 0, si ottiene allora S(x 0 ) = a 0, S (x 0 ) = a, S (x 0 ) = 2 a 2. S (k) (x 0 ) = k(k ) a k = k! a k,. che è quanto si voleva provare.

18 Analisi Matematica Esempi Elenchiamo alcune serie di potenze di punto iniziale 0 di cui si conosce la somma.. Serie geometrica. Sia x n. Sappiamo che R = e che la serie converge in (, ). Inoltre si prova che la somma della serie in (, ) è la funzione f(x) = x ; cioè + x = x n, x (, ). 2. Sia ( ) n x n. La serie si ottiene dalla precedente sostituendo x con x. Pertanto R = e la serie converge in (, ). Inoltre la somma della serie in (, ) è la funzione f(x) = sostituendo x con x. Cioè x + + x = +x ( ) n x n, x (, )., che si ottiene dalla funzione 3. Sia ( ) n x 2n. La serie si ottiene dalla prima sostituendo x con x 2. Pertanto R = e la serie converge in (, ). Inoltre la somma della serie in (, ) è la funzione f(x) =, che si ottiene dalla +x 2 funzione x sostituendo x con x2. Cioè + + x 2 = ( ) n x 2n, x (, ). 4. Sia x n+ n +. La serie ha raggio di convergenza R = e converge in [, ). Per ogni n, si osserva che xn+ n+ è la primitiva di xn che vale 0 in 0. Pertanto la somma della serie in [, ) è la primitiva di f(x) = x 0 t dt = ln( x). che vale 0 in 0, cioè

19 Analisi Matematica 2 9 Cioè ln( x) = x n+, x [, ) n + Si osservi che sostituendo n con n +, si ha x n+ + n + = n= x n n. Pertanto ln( x) = n= x n n. 5. Sia ( ) n xn+ n +. La serie ha raggio di convergenza R = e converge in (, ]. Poiché per ogni n, xn+ n+ è la primitiva di xn che vale 0 in 0, la somma della serie in (, ] è la primitiva di f(x) = +x che vale 0 in 0, cioè Cioè ln( + x) = 0 + t ( ) n dt = ln( + x). xn+, x (, ] n + Si osservi che sostituendo n con n +, si ha ( ) n xn+ + n + = n= n xn ( ) n. Pertanto ln( + x) = n= n xn + ( ) n = n= ( ) n xn n. In effetti l uguaglianza precedente si ottiene da quella al punto 4 sostituendo x con x. 6. Sia ( ) n x2n+ 2n +. La serie ha raggio di convergenza R = e converge in [, ]. Poiché per ogni n, x2n+ 2n+ è la primitiva di x2n che vale 0 in 0, la somma della serie in [, ] è la primitiva di f(x) = +x 2 che vale 0 in 0, cioè 0 dt = arctan x. + t2

20 Analisi Matematica 2 20 Cioè arctan x = ( ) n x2n+, x [, ] 2n + 7. Sia n= n x n. La serie ha raggio di convergenza R = e converge in (, ). Per ogni n, si osserva che n x n è la derivata di x n. Pertanto la somma della serie in (, ) è la derivata di f(x) = x, cioè ( x) 2. Cioè + ( x) 2 = n= n x n, x (, ).