Proprietà commutativa e associativa per le serie

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1 Analisi Matematica 1 Trentaseiesima Trentasettesimalezione Proprietà commutativa e associativa per le serie Prodotto Serie di alla potenze Cauchy prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C saccon@mail.dm.unipi.it web: Ricevimento: ogni lunedì, dalle 9.00 alle aprile 2010 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentasettesima lezione[1cm] Serie di potenze 23 aprile / 18

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12 Proprietà commutativa Sia σ : una applicazione bigettiva tra i numeri interi (una permutazione degli interi ). Diremo che σ n ) n è un riarrangiamento degli indici. Definizione Se a n ) n è una successione. chiamiamo riordinamento di a n ) n mediante σ la successione a σn) Teorema (proprietà commutativa delle serie) 1 Se a n 0 per ogni n, allora ammettendo anche valore +) a σn) = a n. 2 La stessa proprietà è vera ora solo tra valori finiti) se la serie degli a n è assolutamente convergente che equivale a dire che la serie degli a σn) è assolutamente convergente). Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa23 per / 34 le serie. S

13 La proprietà commutativa è FALSA se la serie non è assolutamente convergente. Proprietà Se la serie degli a n non converge assolutamente, cioè se: a + n = + a n = + allora per qualunque numero reale esteso s esiste un riordinamento di a n ) n, chiamiamolo a σn), tale che a σn) = s IDEA DI DIM. Dunque la proprietà della convergenza assoluta è necessaria per una proprietà che è naturale nel caso delle somme finite. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa24 per / 34 le serie. S

14 Definizione Sia a n ) n una successione di numeri reali e sia σ n ) n una successione strettamente crescente di interi tale che σ 0 = 0. Poniamo b n := σ n+1 1 a k k=σ n Diremo che b n ) n è ottenuta da a n ) n associando i termini mediante σ n ) n. a a σ1 1 +a σ1 + + a σ2 1 +a σ2 + + a σ3 1 + b 0 b 1 b 2 Osservazione Associando i termini una serie che non converge può diventare convergente. Per es. se a n = 1) n e σ n = 2n, allora b n = a 2n + a 2n+1 = 1 1 = 0. Quindi a n non esiste b n = 0 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa25 per / 34 le serie. S

15 Proprietà associativa Di nuovo le cose vanno nel modo giusto se gli a n sono positivi o se la serie è assolutamente convergente. Teorema (Proprietà associativa delle serie) Sia a n ) n una successione e supponiamo che b n ) n sia ottenuta da a n ) n associando i termini. Se a n 0 per ogni n allora: a n = b n eventualmente con valori infiniti). L eguaglianza è vera anche se la serie degli a n è assolutamente convergente e in questo caso i valori sono finiti). Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa26 per / 34 le serie. S

16 Serie prodotto Definizione (Prodotto di Cauchy tra due serie) Siano a n ) n e b n ) n due successioni. definiamo per ogni n c n := n a k b n k k=0 La serie dei c n è detta prodotto di Cauchy tra la serie degli a n e quella dei b n. a 0 b 4 a 1 b 4 a 2 b 4 a 3 b 4 a 4 b 4 a 0 b 3 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 a 4 b 3 a 0 b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a 4 b 2 a 0 b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 a 4 b 1 a 0 b 0 a 1 b 0 a 2 b 0 a 3 b 0 a 4 b 0 c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa27 per / 34 le serie. S

17 Teorema (sul prodotto alla Cauchy tra due serie) Siano a n ) n e b n ) n due successioni e sia c n ) n il loro prodotto di Cauchy. Allora se a n 0 e b n 0 si ha c n = a n n n eventualmente con valori infiniti). La stessa eguaglianza vale se la serie degli a n e quella dei b n sono assolutamente convererenti e in questo caso i termini dell eguaglianza sono valori finiti). DIM (nel caso di an 0). Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa28 per / 34 le serie. S

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23 Esercizio Avremmo potuto DEFINIRE la funzione esponenziale e x mediante la serie e x := x n n Per questo basta far vedere che tale serie converge assolutamente per qualunque valore del parametro x cosa che segue subito dal criterio del rapporto: x n+1 n + 1) x n = x n n Se seguissimo questa strada (che per molti versi è piuttosto comoda) dovremmo ricavare tutte le proprietà di x e x dalla definizione sopra. Per esempio la proprietà e x e y = e x+y si deduce dal teorema sul prodotto di Cauchy VERIFICA. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa29 per / 34 le serie. S

24 Serie di potenze Definizione Chiamiamo serie di potenze, o serie di Taylor, una serie del tipo a n x x 0 ) n dove sono assegnate a k ) una succesione di numeri reali e un numero reale x 0 R, mentre x varierà in (opportuni sottoinsiemi di) R. Per semplicità consideriamo sempre x 0 = 0, dato che il caso con x 0 = 0 è perfettamente analogo. Studieremo dunque per quali x ha senso considerare f x) = a n x n cio per quali x la serie scritta destra converge, definendo così una funzione f x), e che proprietà ha la f così costruita. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa30 per / 34 le serie. S

25 Teorema (Intervallo di convergenza) Supponiamo che esista in generale l [0+]). Poniamo allora: per ogni x con x < R la serie converge); n l := lim an. n + se l = 0, 1 R := se l ]0[, l 0 se l = +. per ogni x con x > R la serie non converge. a n x n converge assolutamente e quindi DIM Si noti che non si dice nulla (e la situazione è diversa caso per caso) di cosa succeda nei punti x = ± R. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa31 per / 34 le serie. S

26 Definizione (Raggio convergenza) Data la successione a n ) in R chiamiamo raggio di convergenza della serie a n x n il numero R (in [0+]) ottenuto nel teorema precedente. Risulta quindi definita la funzione f x) = a n x n per ogni x in ] R R[. Tale intervallo aperto viene detto intervallo di convergenza per la serie (se R = 0 tale intervallo vuoto, se R = + l intervallo di convergenza coincide con R). Osservazione Il raggio di convergenza stato definito solo se esiste il limite di n an in realtà si potrebbe vedere che c è sempre un numero R con le proprietà dette sopra (usando il massimo limite invece del limite) e quindi il raggio di convergenza si può definire sempre. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa32 per / 34 le serie. S

27 Teorema (Regolatità delle serie di potenze) Sia a n ) n una successione e supponiamo che il raggio di convergenza R della serie di potenze associata agli a n sia positivo: R > 0. Indichiamo f x) := a n x n R < x < R. Allora la funzione f è continua ed è infinitamente derivabile in ] R R[; inoltre si può derivare sotto il segno di serie: f k) x) = a n nn 1) n k + 1)x n k n=k R < x < R. La formula scritta sopra ha senso in quanto la serie delle derivate è anch essa una serie di potenze e h lo stesso rggio di convergenz della serie di partenza. Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa33 per / 34 le serie. S

28 Esercizio f x) = Si vede subito che il raggio è uno. Inoltre: f x) = 1) n x 2n x 2 ) n = x 2 1 < x < 1 (serie geometrica ). La cosa può sembrare strana, visto che f x) non ha nessuna singolarità né in 1 né in 1. In reltà la prospettiva giusta da cui affrontare le serie di potenze sarebbe nei numeri complessi. Si potrebbe dimostrare che la regione di convergenza è un disco di raggio R (quello di prima). In questo caso R = 1 e la funzione ha due singolarità in z = ±i. f z) = z 2 z < 1 Claudio Saccon (D.M.A.) Analisi Matematica 1 Trentacinquesima lezione[1cm] Proprietà commutativa 21 aprile 2010 associativa34 per / 34 le serie. S