Corso di Analisi Matematica

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche

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3 Teorema di Estremi locali Richiamiamo la nozione di estremo locale: Sia f : D R e x 0 D. Il punto x 0 si dice punto di minimo locale (o relativo) ed f(x 0 ) si dice minimo locale (o relativo) se esiste un intorno U(x 0 ) tale che f(x) f(x 0 ) x U(x 0 ) D Sia f : D R e x 0 D. Il punto x 0 si dice punto di massimo locale (o relativo) ed f(x 0 ) si dice massimo locale (o relativo) se esiste un intorno U(x 0 ) tale che f(x) f(x 0 ) x U(x 0 ) D I punti di massimo e minimo locale vengono detti punti di estremo locale per f.

4 Teorema di Punti stazionari Sia I un intervallo e sia f : I R; sia x 0 I e sia f derivabile in x 0. Il punto x 0 si dice punto critico o stazionario se f (x 0) = 0. Teorema di Sia I un intervallo e sia f : I R; sia x 0 I e sia f derivabile in x 0. Se x 0 è un punto di estremo locale per f, allora x 0 è un punto critico. Dimostrazione Supponiamo che x 0 sia un punto di massimo. Per un punto di minimo si procede in modo analogo, con le disuguaglianze rovesciate. Siccome f(x) f(x 0) definitivamente per x x 0, abbiamo f (x f(x 0 + h) f(x 0) 0) = 0 h 0 h f +(x f(x 0 + h) f(x 0) 0) = 0 h 0 + h Per la derivabilità di f in x 0 deve essere f (x 0) = f +(x 0), che è possibile se e solo se f (x 0) = f +(x 0) = f (x 0) = 0.

5 Significato geometrico La retta tangente al grafico della funzione in un punto di massimo (o minimo) locale è orizzontale, cioè m = Π 4 Π 2 x 3Π 4 Π

6 Attenzione!! Il teorema di non vale nell altra direzione: x x In un punto stazionario la funzione può non avere un estremo.

7 Corollario del teorema di Natura degli estremi locali Sia f : I R; sia x 0 I e sia x 0 un punto di estremo locale per f; allora: x 0 è un punto critico interno ad I; x 0 è un estremo dell intervallo, cioè se I = [a, b], allora x 0 = a o x 0 = b; f non è derivabile in x 0. Esempi f : (, + ) R, f(x) = x 4 5x ha un massimo locale in x 0 = 0 e due minimi locali in x 1 = 5/2 e x 2 = 5/2, che sono punti stazionari (verificare!); f : [ 1, 1] R, f(x) = e x ha un massimo locale in x = 1 ed un minimo locale in x = 1, che sono agli estremi dell intervallo; f : [ 1, 1] R, f(x) = e x ha un massimo locale in x = 0, ma non è ivi derivabile

8 Grafici f(x) = x 4 5x f(x) = e x x x f(x) = e x x

9 Teorema di (o del valor medio) Significato geometrico x

10 Teorema di Teorema di Sia f : [a, b] R continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora esiste un punto c (a, b) tale che f (c) = f(b) f(a) b a Dimostrazione La grandezza (f(b) f(a))/(b a) è il coefficiente angolare della corda che unisce i punti agli estremi del grafico della funzione. L equazione della corda è y(x) = f(a) +[(f(b) f(a))/(b a)](x a) e coincide con i valori della funzione agli estremi, cioè y(a) = f(a) e y(b) = f(b). Introduciamo allora la funzione g(x) = f(x) y(x), vale a dire la differenza tra la funzione f e la corda y nell intervallo [a, b]. La funzione g è continua su un intervallo chiuso e itato quindi, per Weierstrass, ammette massimo e minimo. Inoltre, g(a) = g(b) = 0 ed abbiamo g (x) = f (x) (f(b) f(a))/(b a). Il teorema è dimostrato se esiste un punto c (a,b) dove g (c) = 0.

11 Teorema di Dimostrazione (cont.) Siano x 1 ed x 2 i punti dove la funzione g(x) assume il minimo ed il massimo; se entrambi dovessero cadere agli estremi, dove g vale zero, la funzione dovrebbe essere costante con g(x) = 0, x [a, b], quindi g (x) = 0 su tutto [a, b] e quindi f (x) = (f(b) f(a))/(b a) x (a, b). Se invece almeno uno dei punti x 1 o x 2 cade all interno dell intervallo (a, b), poniamo x 1, allora per esso è un punto critico ed abbiamo g (x 1) = 0, quindi c = x 1 è il punto cercato. Il teorema di Rolle Nel caso particolare in cui f(a) = f(b) afferma che esiste un punto c (a, b) tale che f (c) = 0, che è il teorema di Rolle.

12 Teorema di Esempi e controesempi Determinare in punto c del teorema di per la funzione f : [ 1, 2] R, f(x) = 2x x 2 Determinare in punto c del teorema di per la funzione f : [ 1, 1] R, f(x) = x Determinare il punto c del teorema di per la funzione { 1 + x 2 x 0 f(x) = 1 + 2x x > 0 Determinare in punto c del teorema di per la funzione f : [0, 2] R, f(x) = e x

13 Teorema di Cauchy Teorema di Cauchy Siano f, g : [a, b] R continue in [a, b] e derivabili in (a, b). Allora esiste un punto c (a, b) tale che (f(b) f(a))g (c) = (g(b) g(a))f (c) Dimostrazione Introduciamo ora la funzione h(x) = (f(b) f(a))g(x) (g(b) g(a))f(x). La funzione h è continua su [a, b] e derivabile su (a, b). Inoltre, h(a) = h(b) perciò, per Rolle, esiste un punto c (a, b) dove h (c) = 0, che equivale alla tesi.

14 Comportamento della tangente Funzione decrescente: tangente a pendenza negativa Funzione crescente: tangente a pendenza positiva x

15 Teorema Sia f : (a, b) R derivabile in (a, b). Allora: (i) f (x) 0 x (a, b) f crescente in (a, b) (ii) f (x) 0 x (a, b) f decrescente in (a, b) (iii) f (x) > 0 x (a, b) f strett. cresc. in (a, b) (iv) f (x) < 0 x (a, b) f strett. decr. in (a, b) Dimostrazione È sufficiente dimostrare (i) e (iii) (negli altri due casi basta cambiare f con f). (i) ( ) Sia f (x) 0. Scelti comunque due punti x 1 < x 2 (a, b), per esiste c (x 1, x 2) con (f(x 2) f(x 1))/(x 2 x 1) = f (c) 0, cioè f(x 2) f(x 1) ed f è crescente in (a,b). Viceversa, se f è crescente in (a,b), per il rapporto incrementale abbiamo (f(y) f(x))/(y x) 0, pertanto f (x) = y x(f(y) f(x))/(y x) 0.

16 Dimostrazione (cont.) (iii) Si procede come per la parte (i), solo che in questo caso f (c) > 0 e quindi f(x 2) > f(x 1) Precisazione Nelle parti (iii) e (iv) l implicazione nel verso opposto non vale. Si consideri, ad esempio, f(x) = x 3, crescente su tutto R, ma f (0) = 0. Segno della derivata Un punto stazionario è candidato ad essere un estremo per la funzione. Lo studio del segno della derivata permette di ottenere informazioni sulla della funzione. Ecco alcuni esempi. f(x) = x 3 3x; f (x) = 3x 2 3; f (x) = 0 per x = ±1; ma 3x 2 3 > 0 per valori esterni all intervallo delle radici, dunque f (x) > 0 per x < 1 e x > 1 e f (x) < 0 per 1 < x < 1. La funzione è quindi crescente per x < 1 e x > 1 e decrescente per 1 < x < 1. Il punto x = 1 è pertanto un punto di massimo e x = 1 è un punto di minimo.

17 Esempi Determinare le regioni di crescenza e decrescenza delle funzioni: f(x) = x e x, x e x2, x e x f(x) = sin 2 x sin x cos x x sin x f(x) = 3 x x 3 18 x 2

18 Forme indeterminate Il calcolo differenziale può essere usato per risolvere alcuni tipi di forme indeterminate della teoria dei iti. Siano, ad esempio, f, g : [a, b) R due funzioni derivabili in (a, b) e sia f(a) = g(a) = 0. Allora il ite f(x) x a + g(x) è una forma indeterminata del tipo 0/0. Notiamo però che si può scrivere f(a) + f (a)(x a) + o(x a) x a + g(a) + g (a)(x a) + o(x a) = x a + f (a)(x a) + o(x a) g (a)(x a) + o(x a) = x a + f (a) g (a) Questo è però un ragionamento semplificato, abbiamo bisogno di un risultato più generale. Ce lo dà il seguente teorema.

19 Sia I = (a, b) e siano f, g : I R due funzioni derivabili in I, con g (x) 0 x (a, b). Sia x a + f(x) = x a + g(x) = 0 oppure ± (quindi f(x)/g(x) è una forma indeterminata per x a + ) e f (x) x a + g (x) = l R Abbiamo allora g(x) 0 definitivamente per x a + ed anche x a + f(x) g(x) = l

20 Esempi sin x x 0 x = 0 0 = cos x = 1 x 0 1 x 2 1 x 1 x 1 = 0 0 = 2 x x 1 1 = 2 x + = x + x 4 x 3 + 2x + 1 2x 4 + 2x 3 x 2 1 = + + = x + 12x 2 6x 24x x 2 = x + 4x 3 3x x 3 + 6x 2 2x 24x 6 48x + 12 = 24 x + 48 = 1 2 Attenzione: x 2 1 = 3 x 2 x 2 2x x 2 1 = 4

21 Dimostrazione Dimostramo il teorema nel caso in cui x a f(x) = g(x) = x a Prolunghiamo per continuità f e g in x = a così che f(a) = g(a) = 0. Consideriamo una qualunque successione {x n} tale che n + x n = a + ed introduciamo la funzione h n(x) = f(x)g(x n) f(x n)g(x). Abbiamo h n(a) = h n(x n) = 0 e quindi, per Rolle, esiste ξ n (a,x n) tale che h (ξ n) = 0, cioè f (ξ n)g(x n) f(x n)g (ξ n) = 0, ovvero f(x n) g(x = f (ξ n) n) g (ξ n) Ovviamente, essendo a < ξ n < x n, n + ξ n = a e pertanto f(x n) n + g(x = f (ξ n) n) n + g (ξ n) f(x) x a + g(x) = f (x) x a + g (x)

22 Ulteriori sempi 1 cosx x + x 2, x + e x x 2 x 0 e x lnx, sin 2 2x x 0 x 2, x + 1 cos 2 x x 2,