Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017

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1 Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017 Esercizi: serie di potenze e serie di Taylor 1 Date le serie di potenze a.) n=2 ln(n) n 3 (x 5)n b.) n=2 ln(n) n 2 (x 5)n c.) n=2 ln(n) (x 5)n n determinarne centro, raggio e intervalli di convergenza, specificandone il comportamento agli estremi. 2 Determinare l insieme di convergenza delle seguenti serie. a.) n! n n xn b.) n! (x + e)n (3n) n 3 Data la serie di potenze ( ) n x n n determinarne centro, raggio e intervalli di convergenza, specificandone il comportamento agli estremi. 4 Data la serie di potenze n=0 x 3n+4 n + 1 determinarne centro, raggio e intervalli di convergenza, specificandone il comportamento agli estremi. Calcolare quindi la somma quando possibile. 5 Discutere al variare del parametro a > 0 la convergenza della serie di potenze a n (x + 1) n specificandone il comportamento agli estremi dell intervallo di convergenza. 6 Determinare centro e raggio di convergenza della serie di potenze 7 Data la serie di potenze x n! sin(nπ/2) (2x + 1) n n trovarne centro e raggio di convergenza. Calcolare poi la seguente somma sin(nπ/2) n 3 n/2 1

2 8 Per quei valori x in cui la serie converge, si definisca f(x) = n=0 ( 1) n 9 n x 2n+3 (n + 1)(2n + 3). Dopo aver trovato il raggio di convergenza, calcolare f (x). 9 Data la serie di potenze a n (x x 0 ) n, si sa che il limite lim a n = l n esiste, finito e diverso da zero. Trovare il raggio di convergenza. 10 Scrivere la serie di Taylor di centro x 0 = 0 della funzione f(x) = e 1 x2 e trovarne il raggio di convergenza. Quanto valgono le derivate di ordine 51 e 82 di f calcolate in 0? 11 Calcolare il raggio di convergenza della serie di Taylor di centro x 0 = 0 della funzione f(x) = 1 3x 4. Trovare la derivata di ordine 4 di f calcolata in Scrivere lo sviluppo in serie di Taylor di centro 0 della funzione e dire quale è il raggio di convergenza. 13 Mostrare che per x ( 1, 1) vale f(x) = x 0 sin(t) dt t x 2n 1 2n 1 = 1 ( ) 1 + x 2 ln 1 x 14 Scrivere la serie di Taylor di centro 0 della funzione { ( ) exp 1 se x 0 f(x) = x 2 0 se x = 0 e calcolarne la somma. Esercizi: funzioni a più variabili: limiti, continuità, derivate. Funzioni composte, piani tangenti. 15 Data la funzione si verifichi che f(x, y) = 2x y 3x + 4y, ( ) lim lim f(x, y) lim x 0 y 0 y 0 ( ) lim f(x, y). x 0 2

3 16 Calcolare, se esiste, il limite lim (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y Per quali valori del parametro β > 0 la funzione definita da { (x 2) 2 y se (x, y) (2, 0) f(x, y) = (x 2 +y x) β 0 se (x, y) = (2, 0) è continua in tutto R 2? 18 Calcolare, se esiste, il limite lim f(x, y) essendo f(x, y) = (x,y) (0,0) { x 2 2xy+y 2 x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 1 (x, y) = (0, 0) Detto C l insieme dei punti di R 2 nei quali f è continua, dire se C è limitato, chiuso, aperto in R 2 ; trovarne frontiera e chiusura. Dire inoltre se C è connesso e semplicemente connesso. 19 Trovare i punti di discontinuità della funzione f : R 2 R { y f(x, y) = 2 /x se x 0 0 se x = 0 Detto D l insieme di tali punti, dire se esso è aperto e se è chiuso in R 2. Trovarne frontiera e chiusura. Dire inoltre se R 2 D è connesso e semplicemente connesso. 20 Si dimostri, usando la definizione di limite (e di continuità), che la funzione f : R 3 R, f(x, y, z) = x z e y è continua nell origine. 21 Calcolare, se esiste, il gradiente delle seguenti funzioni nell origine: a) f a (x, y) = (x + y) sin(x 2 + y) b) f b (x, y) = x + y sin(x 2 + y) c) f c (x, y) = y 2 xy d) f d (x, y) = ln(x 2 + y 2 ). 22 Esprimere le derivate parziali della funzione f : R 4 R definita da f(x, y, z, t) = xy ln(1 + x 2 + t 2 ). 23 Determinare l immagine e le linee di livello della funzione f : R 2 {(0, 0)} R definita da f(x, y) = 1 x 2 + y 2 Verificare inoltre che il gradiente è ortogonale in ogni punto alle linee di livello. 24 Nel piano R 2 trovare l equazione della retta tangente alla curva Γ di equazione nel punto (0, π/2). x + 4y = sin(x + y) + π 2 25 Data f : R 2 R definita da f(x, y) = x sin y determinare la derivata direzionale di f nel punto (1, 0) lungo il versore ( 3 5, 4 5). ( 2 ) 26 Data la funzione f : R 2 R definita da f(x, y) = sin(x y) + e x+y e il versore v =, calcolare la derivata direzionale f v nel punto P (1, 1). 3 2, 2 2

4 27 Data la funzione f : R 2 R definita da { 9x 4 +y 4 se (x, y) (0, 0) f(x, y) = 16x 2 +16y 2 0 se (x, y) = (0, 0) - trovare le derivate parziali nel generico punto (x, y) (0, 0); - calcolare, se esistono, tutte le derivate direzionali nel punto (0, 0); - f è differenziabile nell origine? 28 Sia Γ la superficie grafico della funzione f : R 2 R definita da f(x, y) = y cos(x 2 + y). Trovare l equazione del piano tangente a Γ nel punto (0, 0, f(0, 0)). 29 Siano f : R 2 R una funzione differenziabile e u = (3/5, 4/5), w = ( 1/ 2, 1/ 2) due versori di R 2. Si sa che f(0, 1) = 1 ; a) Trovare il gradiente di f in (0, 1); f(0, 1) u = 7 5 ; f(0, 1) w = 7 2 b) scrivere l equazione del piano tangente al grafico di f in (0, 1, 1); c) scrivere lo sviluppo al primo ordine di f centrato in (0, 1); d) dare un espressione esplicita per f in modo che essa soddisfi le condizioni scritte ma che non coincida con il suo polinomio di Taylor di ordine Sia f : (0, + ) (0, + ) R la funzione f(x, y) = x y + y x. Trovare l equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1, f(1, 1)). 31 Siano g : R R, g(x) = x e f : R 3 R, f(x, y, z) = y sin(z). Trovare il gradiente della funzione g f usando sia le regole di derivazione della funzione composta, sia trovando l espressione esplicita per g f e derivandola. 32 Siano g : R R 3, g(t) = (sin(t), cos(t), sin(2t)) e f : R 3 R, f(x, y, z) = (x + y) z. Trovare la derivata della funzione f g. 33 Data f : R 2 R, si definisca la funzione F : R R mediante la formula F (t) = f(t 2 + 1, t) Esprimere la derivata di F in funzione delle derivate parziali D 1 f e D 2 f. Verificare la risposta nel caso in cui f sia la funzione f(x, y) = y 2 + e x Se f è una funzione R R derivabile e z : A R 2 R è data da z(x, y) = f(x/y), mostrare che nell insieme A vale x z x + y z y = Detto x il generico punto di R 2 e fissato un punto x 0, si definisca f : R 2 R, f(x) = x x 0. Calcolare i limiti dei rapporti incrementali f(x 0 + tv) lim t 0 + t f(x 0 + tv) lim t 0 t dove v è un versore. f è differenziabile? Come è fatto il grafico? 4

5 Soluzioni (serie di potenze e serie di Taylor) 1 In tutti i casi, R = 1. a) Converge assolutamente in x = 4 e x = 6. b) Converge assolutamente in x = 4 e x = 6. c) Converge semplicemente in x = 4 e non converge in x = 6. 2 Vedi pagina web... 3 x 0 = 0, R = 7. Converge solo in ( 7, 7) 4 x 0 = 0, R = 1. Converge in [ 1, 1). La somma è x ln(1 x 3 ). 5 Per ogni a, R = 1. In x = 0 e x = 2 converge (assolutamente) per a < 1. 6 x 0 = 0 e R = 1. 7 x 0 = 1/2 e R = 1/2. La somma della seria richiesta è π/6. 8 R = 1/3. f (x) = (1/9) ln(1 + 9x 2 ). 9 R = 1 10 e 1 x2 = n=0 e( 1)n x 2n /n!. Il raggio di convergenza è infinito. f (51) (0) = 0, f (82) (0) = e 82!/41! 11 s(x) = n=0 3n x n /4 n+1. R = 4/3. f (4) (0) = 3 4 4!/ f(x) = ( 1) n x 2n+1 n=0. Il raggio di convergenza è infinito. (2n+1) 2 (2n)! 13 Si usa lo sviluppo di ln(1 x). 14 La serie è s(x) = 0. Converge per ogni x ma converge a f(x) solo per x = 0 Soluzioni (funzioni a più variabili) 15 I limiti valgono 2/3 e 1/4. 16 Il limite esiste ed è nullo. 17 β < 3/2 18 f non ammette limite per (x, y) (0, 0). C = R 2 {(0, 0)} è aperto e non limitato. La frontiera è C = {(0, 0)}, la chiusura è R 2. C è connesso ma non semplicemente connesso. 19 D = {(x, y) t.c. x = 0}. È chiuso e coincide con la sua frontiera e chiusura. R2 D non è connesso f a (0, 0) = (0, 0), f b (0, 0) = (0, 0), f c (0, 0) non esiste, f d (0, 0) non esiste. 22 f x = y ln(1 + x2 + t 2 ) + 2yx 2 /(1 + x 2 + t 2 ); f y = x ln(1 + x2 + t 2 ); f t = 2xyt/(1 + x2 + t 2 ); f z = 0 23 L immagine è {(x R t.c. x > 0}. Le curve di livello sono circonferenze di centro l origine. 24 y = x/(4π) + π/2 25 4/5 26 2e 2 5

6 27 f è differenziabile 28 z = y 29 a) f(0, 1) = ( 7, 7). b)7x 7y + z + 8 = 0. c)f(x, y) = 1 7x + 7(y 1) + o( (x, y) ). d) Ad esempio f(x, y) = 1 + 7x 7(y 1) + x x + y z = 0 31 (g f)(x, y, z) = (0, 2y sin 2 z, 2y 2 sin z cos z) 32 (f g) (t) = 4 cos(2t) 33 F (t) = 2tD 1 f(t 2 + 1, t) + D 2 f(t 2 + 1, t) I limiti sono +1 e 1 6