Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

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1 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione. 2) Tra le funzioni di equazione (a, b R) ricavare quella che passa per A1; 2 e ha un asintoto verticale di equazione x + 2 = 0. Studiare e rappresentare la funzione ottenuta. 3) Descrivi le caratteristiche della funzione y = f(x) che ha il seguente grafico. Per ciascuna delle tre equazioni sottostanti spiega se può o non può essere il grafico di f(x). a) 2 b) 2 c)

2 4) Scrivi tutte le informazioni che riesci a leggere nel grafico funzione y = f(x) rappresentato in figura. (dominio, segno, intersezioni con gli assi, limiti, asintoti, discontinuità ) 5) Data la funzione f(x) =, scrivere il dominio, classificare le discontinuità e ricavare le equazioni di eventuali asintoti (verticali, orizzontali).

3 6) Data la funzione rappresentare la funzione. ricavare il dominio, classificare le discontinuità e 7) Classificare le discontinuità della funzione e calcolare i limiti per x ±. Limiti notevoli 1) lim [ ½ ] 2) lim [ 8 ] 3) lim 3 [e 4 ] 4) lim [ 9/2 ] 5) lim 6) lim 1 [1 ] 7) lim [6 ] 8) lim ln 9) Calcolare, al variare di n N, lim 1 [se n = 1 L = +, se n = 2 L = + se x 0 +, L = 0 se x 0 -, se n = 3 L = e, se n > 3 L = 1 ] Classificare le discontinuità delle funzioni 10) [x = 0 3 specie, x = specie ] se x < ) y = se x > - 1 x 1 [ x = - 1, x = 1 1 specie ] 12) Determinare per quale valore di k R è continua in x = 0 la funzione 5 se x 0 = [ k = - 4 ] se x > 0

4 Derivata 1) Data la funzione y = e kx, scrivere l equazione della retta t tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa 0 e determinare per quale valore di k la retta t è parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. [ y = kx + 1, k = -1 ] 2) Data la funzione, ricavare per quali valori di k (k R ) ha punti stazionari. [ k < -1 ] 3) Data la funzione y = x 2 + ln(4x) a) Ricavare in quali intervalli è crescente e in quali è decrescente b) Ricavare l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa [ a) crescente in tutto il suo dominio D 0, b) y = ] 4) Data la funzione y = - 2x 3 + 5x 2 1 a) Ricavare le coordinate dei punti stazionari b) Ricavare gli intervalli di monotonia c) Stabilire il numero degli zeri della funzione e, per ciascuno zero, ricavare gli estremi di un intervallo [a, b] di ampiezza 1 a cui appartiene. [ a) (0; - 1), ; ; b) crescente se 0 < x < ] 5) Ricavare gli intervalli di monotonia della funzione ] [ crescente se 1 Calcolare la derivata prima di ciascuna delle seguenti funzioni 6) y = sen 2 x + senx cosx 7) y = 8) y = 9) y = log 10) y = ( 1 x ) (1 x ) Funzioni e problemi 1) Sono assegnate le funzioni di equazioni

5 ( a R ) se x < - 1 y = se x - 1 Determinare per quale valore di a si ottiene una funzione continua in x = - 1. Stabilire se la funzione ottenuta è anche derivabile in tale punto e rappresentarla dopo aver determinato ogni elemento utile. [ a = 1, (- 1; 0) punto angoloso ] 2) È assegnata la parabola p di equazione y = - x 2 + 4x, indicare con: V il suo vertice, A il punto d intersezione con l asse x distinto dall origine degli assi O. Preso un punto P sull arco OV di p, tracciare la retta t tangente in P alla parabola e indicare con B il punto in cui t interseca la direttrice della parabola. Indicata con H la proiezione di P sulla direttrice, esprimere al variare di P sull arco OV la misura del segmento HB. Studiare e rappresentare la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [si ricorda che l equazione della direttrice è ]. Se P varia sull intero arco OA qual è l equazione della funzione che esprime HB? Qual è il suo grafico? [, asintoti x = 2, 1, m ; M ; se 0 x < 2 ] 3) Data la curva di equazione, condurre la retta t ad essa tangente in un generico punto P. Indicare con A il punto in cui t interseca l asse y e con H la proiezione di P sull asse x. Dimostrare che l area del trapezio APHO (dove O è l origine degli assi) è indipendente dalla posizione di P. [ area = ] 4) Sono date le funzioni di equazione y = ax 3 + bx 2 + cx a) ricavare quella che passa per A(3; 0) e ha un massimo relativo nel punto B(2; 4). Studiarla e rappresentarla. b) Verificato che la funzione richiesta al punto a) si ottiene per a = - 1, b = 3, c = 0, indicarla con f. Scrivere l equazione della parabola p che passa per A, B e per l origine degli assi. Tracciare una retta r parallela all asse y che interseca la parabola e il grafico di f in due punti L, M dell arco OB. Determinare per quale posizione di r è massima l area del triangolo OLM, essendo O l origine degli assi. [ a) m (0; 0) F(1; 2), b) p : y = - 2x 2 + 6x, r: x = k, area(olm) = se 0 k 2, area max se k = ] 5) Tra le funzioni di equazione determinare quella che ha un minimo relativo in ; 3. Studiare e rappresentare la funzione ottenuta in [0, 2π ] ( non è richiesto lo studio della concavità) [ a = 4, b = 4 3, m 1,3, m 2 ; 3, M 1 ;44 3 M 2 π; ] 6) Studiare e rappresentare la funzione di equazione y = 3. Ricavare l equazione della retta r che passa per l origine degli assi e per il punto di flesso della funzione, indicare con C il punto in

6 cui r interseca la tangente alla funzione nel suo punto di minimo D. Calcolare l area del triangolo OCD, essendo O l origine degli assi. [ m(1; - 2) F ;, r: y = area = ] 7) Sono assegnate le parabole di equazione y = ax 2 + bx a) Ricavare, tra quelle assegnate, la parabola p che nel punto (2; 3) ha tangente parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Inscrivere nel segmento parabolico limitato da p e dall asse delle ascisse il trapezio isoscele che ha area massima. b) Tra le parabole assegnate rappresentare la parabola p che si ottiene ponendo a = 2, b = - 6. Determinare il punto di p che ha distanza minima dalla retta s di equazione y = x 8. [ a) 2, uno dei vertici del trapezio è A ; ; b) P, ] 8) Tra tutti i coni per i quali la somma dell altezza e dell apotema vale 10cm determinare quello di volume massimo. Calcolare la sua superficie laterale. [ apotema = x, V(x) = 10π(- 2x x 100) limiti geometrici 5cm x 10cm, max se x = cm; S l = 2 ] 9) Data una sfera di centro O e raggio r, intersecarla con un piano π e indicare con γ il cerchio sezione. Il quadrato inscritto in γ è la base di una piramide retta di vertice O, determinare per quale posizione di π è massimo il volume della piramide. [ x = distanza del piano dal centro della sfera, V(x) = ( - x 3 + r 2 x ), limiti geometrici 0 x r, massimo se x = ] 10) È assegnato un prisma retto che ha altezza 3 e ha per basi due triangoli equilateri ABC, A B C di lato a. a) Indicato con D il punto sullo spigolo laterale AA tale AD = a, considerare la piramide di vertice D e base ABC. Calcolare l angolo che la faccia DBC della piramide forma con il piano di base. b) Calcolare a quale distanza da A si deve prendere un punto E dello spigolo AA, in modo che i volumi delle due parti in cui il prisma è diviso dal piano EBC stiano nel rapporto 2: 5. c) Indicato con F il punto dello spigolo AA tale che AF = 2, sia PQR la sezione della piramide di vertice F e base ABC con un piano π parallelo al piano di base; proiettare PQR sul piano di base della piramide in P Q R. Determinare per quale posizione di π è massima la superficie totale del prisma che ha per basi i triangoli PQR e P Q R. [ a) artg ; b) EA = x unica soluzione x = se volume piramide: volume rimanente prisma = 2: 5 ; c) x = distanza di π da F, S(x) = 3 6, limiti geometrici 0 x 2 a, massimo se x = ] 11) Si scriva l equazione della parabola p 1 passante per i punti A(- 4; 0), B(4; 0), C(2; 3). a) Indicato con P un generico punto dell arco AB della parabola p 1 si conducano le rette t e n, rispettivamente, tangente e normale a p 1 in P. Le rette t e n intersecano l asse delle ordinate nei punti T, N; se verifichi che il punto medio del segmento TN coincide con il fuoco della parabola. b) Si scriva l equazione della parabola p 2 che ha vertice nell origine degli assi e passa per il punto C assegnato e si ricavino le coordinate dell ulteriore punto C comune a p 1 e p 2. Fra i rettangoli che hanno i vertici sugli archi CC delle due parabole e i lati paralleli agli assi cartesiani si determini quello di area massima.

7 c) Il segmento parabolico limitato da p 1 e dall asse delle ascisse è la base di un solido le cui sezioni con piani perpendicolari all asse x sono quadrati, si calcoli il volume del solido. Aree e integrali 1) Sono assegnate le funzioni ( a 0) a) Verificare che in x = 0 hanno tutte stessa retta tangente e ricavarne l equazione. b) Determinare al variare di a, quanti estremi relativi presentano c) Posto a = 1, studiare e rappresentare la funzione ottenuta, calcolare l area della parte di piano limitata dal grafico della curva, e dalle rette tangenti nei punti di ascissa x 1 = 0, x 2 = 3. [ a) y = - 3x + 2; b) se a < - 3 a > 0 due estremanti, se a = - 3 un punto stazionario che non è un estremante, per i rimanenti valori di a non ci sono estremanti; c) asintoti x = - 1, y = x 2, M(- 3; - 7) m(1; 1), rette tangenti t: y 0 3x + 2, t : y =, area = 4ln4 ] 2) Scrivere l equazione della circonferenza γ che ha centro (2; 0) ed è tangente all asse delle ordinate, l equazione della parabola p che ha asse parallelo all asse y, vertice V0, ; 3 e passa per il punto di γ (1; 3 ). Calcolare a) l area di ciascuna delle parti di piano situate nel primo quadrante in cui p divide il semicerchio γ del primo quadrante. b) L area della parte di piano limitata da p e dalle tangenti nei suoi punti di intersezione con l asse delle ascisse. [ γ : x 2 y 2 4x = 0, p: 3 ; a) la minore delle due aree vale 3 ] Calcolare i seguenti integrali 3) [ +k ] 4) [ ln x - ln - x k ] 5) [ x 1 6) [ tgx + + k ] + k ] ;