f(x) = sin cos α = k2 2 k

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1 28 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza si ha con 70/120 Non usare il bianchetto non scrivere a matita [50] 1) Data la funzione f(x) = sin ( 2x π ) + cos(π + 2x) 2 1) semplifica opportunamente la funzione e traccia il suo grafico. 2) Traccia il grafico di y = f( x ), y = f(x), y = f(x) + 2, y = f(x/2) e y = f ( x + π 6 ). 3) Partendo dal grafico di f(x) determina per quali valori del parametro reale k l equazione f(x) = k 2 1 ha soluzioni reali e distinte, ha soluzioni a due a due reali e coincidenti, non ha soluzioni. [20] 2) Determina per quali valori di k R esiste un angolo α tale che: cos α = k2 2 k [20] 3) In un triangolo rettangolo il perimetro è 36 cm ed il cos β = 3/5 determina la lunghezza dell ipotenusa e dei cateti. [30] 4) L altezza h (in metri) dell acqua di un bacino idrico ha un ciclo di 12 ore e segue la legge: ( π ) h(t) = A + B sin 6 t essendo A e B costanti e t il tempo misurato in ore a partire dalle 8 del mattino. Se il massimo ed il minimo livello dell acqua sono rispettivamente 7, 8 m e 2, 2 m: 1) determina i valori di A e B, 2) dopo aver verificato che A = 5 m e B = 2, 8 m determina il valore dell acqua alle ore 14:00, 3) determina quante volte in un giorno il bacino tocca il suo livello minimo e traccia il grafico di h = f(t) 1

2 7 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità.la sufficienza si ha con 80/160 Non usare il bianchetto non scrivere a matita [70] 1) Dato il fascio Γ di coniche kx 2 + (1 k)y 2 + kx + ky 2 = 0 determina gli eventuali valori di k per i quali il fascio si riduce rispettivamente: 1) ad una circonferenza, traccia il grafico della circonferenza, 2) ad una ellisse, posto k = 1/3 traccia il grafico della ellisse, 3) ad una iperbole, posto k = 1 traccia il grafico dell iperbole, 4) ad una parabola, 5) a delle rette, traccia le rette. 6) Nel fascio Γ poni k = 1, siano A e B le intersezioni della curva ottenuta con l asse x, determina sull arco AB un punto P in modo tale che l area del triangolo ABP abbia area 3/2. [60] 2) Dato il fascio di funzioni y = mx + 2 (m 1)x 1 1) determina gli eventuali valori di m per i quali il fascio si riduce ad una iperbole equilatera, 2) esamina che cosa accade per quei valori di m per i quali l equazione non rappresenta una iperbole equilatera. 3) Determina l equazione dell iperbole equilatera I avente per asintoto la retta y = 3 e traccia il grafico di tale curva. 4) Data l iperbole I, determinata al punto (3), a partire dal suo grafico traccia quello di y = f(x), quello di y = f( x ), quello di y = f(x 1) e quello di y = f(x) ) Determinare la trasformazione da compiere affinché l iperbole I assuma la forma xy = k. [20] 3) Traccia il grafico delle curve che soddisfano le equazioni: 1) y x x + 4 = 0 2) x 4 (y 2 9) 2 = 0 2

3 e determina per quali valori di k la retta y = k interseca la curva (1). 3

4 24 Marzo 2015 Classe 3GHI sci Non utilizzare matita né bianchetto. Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e alla completezza nella risoluzione dei quesiti, al metodo risolutivo adottato e alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. Non verranno valutati esercizi privi del percorso risolutivo. Gli esercizi contrassegnati con valgono per il superamento del debito del Trimestre. Sufficienza 70/140 [50] Problema 1. Determinare l equazione della circonferenza avente per centro il punto C(2; 2) e tangente alla retta r : y = x ) Detto A l ulteriore punto, oltre l origine O degli assi, di intersezione della circonferenza con l asse x, determinare l equazione della parabola con asse parallelo all asse y passante per A e tangente in O alla retta y = 8x. 2) Determinare la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta y = 2x + 3 indicando con H il punto di tangenza. 3) Determinare l equazione della retta s parallela ad r che incontra la parabola in due punti M ed N in modo tale che sia MN = 7 2/2. 4) Calcolare l area del triangolo MNH. [30] Problema 2. Dopo aver scritto l equazione del fascio di circonferenze di punti base O(0, 0) ed A(2, 2) 1) determinare l equazione della circonferenza γ 1 del fascio passante per il punto B(4, 0) 2) quella della circonferenza γ 2 simmetrica di γ 1 rispetto alla bisettrice I III quadrante. 3) Determinare le equazioni delle tangenti comuni a γ 1 e γ 2. [40] Problema 3. Tracciare il grafico delle seguenti curve. 1) y = 1 + 2x x 2 2) x = 3 2 y y 2 3) y y x + 2 = 0 4) x = 3 2y y 2 [20] Problema 4. Determina segno e dominio delle seguenti funzioni 1) f(x) = 2) f(x) = x2 2x x 1 x x x 1 x x 4

5 9 Febbraio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza si ha con 70/120 [60] Problema 1. Determinare l equazione della parabola γ 1 con asse parallelo all asse y, passante per il punto B(1; 6) e tangente nel punto A(0; 4) alla retta di coefficiente angolare m = 3. Data la parabola γ 2 di equazione y = x 2 + 5x 4 dopo aver verificato che passa per il punto A. 1) Determinare l ulteriore punto C di intersezione di γ 2 con γ 1 e l area del triangolo ABC. 2) Scrivere l equazione del fascio individuato da γ 2 e γ 1, dei suoi punti base e dell asse radicale. 3) Determinare l equazione della retta parallela all asse x che stacca sulla parabola γ 1 un segmento triplo di quello staccato sulla parabola γ 2. 4) Determinare la traslazione da effettuare perché γ 2 abbia vertice nell origine degli assi e l equazione di γ 1 in questo sistema di riferimento; 5) Tracciare il grafico della funzione f(x) = x 2 + 5x 4 e della sua simmetrica rispetto alla retta di equazione x = 1. [20] Problema 2. Data la parabola di equazione γ 1 : y = ax 2 + bx + c con a, b, c R valutare se vi è una relazione tra il grafico di γ 1 e quello della parabola y = a(x+1) 2 +b(x+1)+c. Giustificare adeguatamente la risposta. [20] Problema 3. Tracciare il grafico delle seguenti curve. 1) y 2 1 = 0 2) x = 1 1 y 3) y = x x2 1 x + 1 4) y = 1 x (1 + x) 2 [20] Problema 4. Dimostra che la tangente alla parabola γ di equazione y = ax 2 in un suo punto P divide in due parti, una tripla dell altra, il rettangolo che ha per vertici il vertice di γ, il punto P e le sue proiezioni sull asse di simmetria della parabola e sulla retta tangente alla parabola nel vertice. Verifica la proprietà con un esempio. 5

6 4 Dicembre 2014 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza si ha con 60/100 [10] 1) Calcola l area del rettangolo che ha un vertice in A(1; 4) e gli altri vertici sulle rette di equazione: 3x + 4y 12 = 0 e 4x 3y 12 = 0. [10] 2) Determina il luogo geometrico dei punti del piano P tali che sia uguale a 2 la differenza tra i quadrati delle distanze dai due punti fissi A(2, 0), B( 2, 0). [50] 3) Dato il fascio de rette di equazione (k + 5)x 6y + 3k = 0 dopo aver verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: 1) le generatrici ed il centro, 2) la retta del fascio perpendicolare alla retta x + 2y 1 = 0, 3) le rette del fascio perpendicolari agli assi cartesiani, 4) le rette del fascio che distano meno di 3 dall origine, 5) le rette del fascio che intersecando gli assi cartesiani formano con essi un triangolo di area A = 1, 6) le rette del fascio che intersecano il segmento di estremi B(01), C(1, 0). [20] 4) Determina il segno e il dominio delle funzioni: 1) f(x) = x 3 + x 2 25 x x 1 3 2) f(x) = x [10] 5) Traccia il grafico delle seguenti funzioni dopo averne determinato il dominio: 1) f(x) = x + 1 2) f(x) = x2 1 x + 1 6

7 Recupero 31 Ottobre 2014 Sufficienza 45/80 [20] 1. Determinare per quali valori di m risulta SEMPRE negativo o SEMPRE positivo. (m + 1)x m + 1 x m + 1 = 0 [60] 3.Determina il segno delle seguenti funzioni dopo averne stabilito il dominio e riporta i risultati ottenuti sul piano cartesiano. 1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) = 4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) = x3 2x 2 + x x 3 x 2 + x 2 3x 2 + 2x2 4x2 3x x2 + x + 1 x x x 3 x 4 + x 1 x 3x 1 7 x x2 2x x 1 x + 3 7

8 20 Ottobre 2014 Entro parentesi quadra il punteggio massimo assegnato ad ogni esercizio, sufficienza 60/100 [30] 1.Problema Determinare i valori del parametro reale m per i quali il trinomio f(x) = (m + 1)x 2 + 2mx m 2 1) interseca l asse delle ascisse in due punti, 2) non interseca l asse delle ascisse, 3) è negativo x R. [10] 2. Problema Determina per quali valori del parametro reale a la disequazione (3 + a)x 2 + a 2 > 0 è verificata x R. [60] 3. Determinare il dominio, il segno e le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani delle seguenti funzioni. Riporta i risultati ottenuti sul piano cartesiano Oxy 1) f(x) = x + x 2 4x + 4 x 2 + x x 2) f(x) = 2 + x 3 3 x 1 3) f(x) = 2 x + x 2 9 x x ) f(x) = 1 x 1 + x x2 2 x 5) f(x) = 2x 3 x + 1 x2 2x 6) f(x) = x + 3 x 1 8

9 25 Settembre 2014 Entro parentesi quadra il punteggio massimo assegnato ad ogni esercizio, sufficienza 75/130 [50] 1.Risolvi le seguenti disequazioni 1) (x 4 + 4x 2 + 5)( x + 1) 0 4 x 2 2) x 3 x + 1 x 2 9 > x x 3 3) x < 1 x 1 16x x ) + x 5x x 5) x 4 4x x [20] 2.Determina i valori del parametro reale a per i quali l equazione ammette: 1. studiare le soluzioni delle radici dell equazione al variare di a, 2. determinare il valore di a affinchè la somma dei quadrati delle soluzioni sia uguale a 2. (a + 1)x 2 2(a 2)x + a 1 = 0 [20] 3.Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni { { (6 + 2x 2 )/ 5x + 1 > 0 6 x (x 4 + 2x 2 + 1)/(x + 1) 2, 2 / (x 4 + 1) < 0 (x 4 2x 2 + 1)/(x 2 + 1) 0 [10] 4. Risolvi il seguente sistema { x 1 = 2x + y 1 + 2y = x y [15] 5. Risolvi e discuti le seguenti disequazioni letterali 1) 2t 4 x 0 2) t x 2t < 0 3) a x > 0 [15] 6. Risolvi il seguente problema Un triangolo inscritto in una circonferenza ha un lato sul diametro della circonferenza stessa. Sapendo che uno dei suoi angoli misura 60 e che il diametro della circonferenza è lungo d = 15 cm determina l area ed il perimetro del triangolo. 9