(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
|
|
- Samuele Zanetti
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); () AC = CB; (3) AC = kbc (discutere al variare di k R). Esercizio. Dati i punti A(1, 1) e B(, 3), calcolare (1) la retta AB in forma parametrica; () la retta AB in forma cartesiana; (3) un vettore parallelo ed uno perpendicolare alla retta AB; (4) detto C il punto medio di AB, calcolare la retta s per C perpendicolare ad AB, sia in forma parametrica che in forma cartesiana. Verificare inoltre che (1) il punto C si trova sulla retta AB, in entrambe le forme; () le rette AB ed s sono incidenti in C(risolvere il sistema sia col metodo di sostituzione che con quello di Cramer). Esercizio 3. Dato il punto A(, 0) e la retta r : x y = 0, calcolare (1) la retta s per A, parallela ad r; () la distanza tra le rette r ed s; (3) la retta t per A perpendicolare ad r; (4) le rette p e q per A, formanti un angolo di π/4 con r. Esercizio 4. Calcolare la distanza di A(1, ) da r : x + y + 1 = 0, e l area del triangolo ABC, dove B(0, 1) e C( 1, 1) sono punti di r. Esercizio. Calcolare l equazione della circonferenza γ di centro C(1, 1) e raggio 3. Stabilire se il punto A(, 3) è interno, esterno, o sulla circonferenza γ. Stabilire se la retta r : 3x + 4y + 8 = 0 è secante, tangente, o esterna a γ. Calcolare i punti d intersezione tra γ e la retta r. Esercizio 6. Data l equazione γ : x + y + x y + 3 = 0, stabilire se γ è una circonferenza con punti reali. Esercizio 7. Date le rette r : x + y = 1 ed s : x y = 4 trovare le rette passanti per il loro punto d intersezione e (1) incidente l asse x sotto un angolo di π/3; () incidente l asse y nel punto (0, 1); (3) tangenti alla circonferenza γ : x + y x 4y + 1 = 0. Esercizio 8. Calcolare l equazione delle seguenti circonferenze: (1) concentrica a γ : x + y + x y = 0 e passante per A(1, 1); () concentrica a γ : x + y + x y = 0 e di raggio ; (3) passante per i punti A( 1, 0), e B(1, 0) e di raggio ; 1
2 GEOMETRIA PIANA (4) passante per i punti A( 1, 0), B(1, 0), e C(0, 1 + ); () tangente alla retta r : x y + 1 = 0 in A(1, 1) e passante per B(, 1); (6) tangente alla retta r : x y + 1 = 0 in A(1, 1) e di raggio 1; (7) di centro C(1, 1) e che taglia una corda di lunghezza 4 sulla retta r : x + y = 0; (8) tangente alla retta r : x y+1 = 0 in ( 3, 1) e che taglia una corda di lunghezza 4 sull asse x. Esercizio 9. Sia γ la circonferenza di centro C(1, 1) e raggio. Calcolare le equazioni delle rette tangenti a γ per il punto A( 1, 1), oppure per B(1, 0), oppure per O(0, 0), ovvero parallele al vettore ( 1, 1). Esercizio 10. Trovare e studiare il luogo geometrico dei punti P (1) equidistanti dalle rette r : y = 1 ed s : x 3 + y = 0; () equidistanti da r : y = 1 e dal punto F ( 1, 1); (3) tali che il perimetro del triangolo ABP sia, dove A(1, 1), e B(3, 1); (4) tali che il perimetro del triangolo ABP sia 4, dove A(1, 1), e B(3, 1); () tali che P sia il punto medio delle corde AB dove A si trova sull asse x, B si trova sull asse y e OA OB = 1, essendo i segmenti OA ed OB misurati con segno. Esercizio 11. Trovare le equazioni del cambio di riferimento individuato dal punto O = (1, ) (nuova origine) e dal versore i = (1/, 1/ ) (versore del nuovo asse x). Trovare poi le coordinate del punto A(3, 4) e l equazione della retta r : x = 1 nel nuovo sistema di riferimento. Esercizio 1. La retta perpendicolare alla retta r : 3x + y = 0 e passante per A(1, 1) ha equazione (1) x + 3y + = 0; () 3x + y = 0; (3) x 3y + = 0; (4) x + 3y + 4 = 0. Esercizio 13. Date la retta r : x + y = e la circonferenza γ)x + y x 4y = 0, (1) r è esterna a γ; () nessuna retta parallela a r è tangente a γ; (3) r è una retta diametrale; (4) r è secante γ ma non è diametrale. Esercizio 14. I punti distanti 1 da (1, 1) e da r : x + y + = 0 (1) individuano una retta ortogonale ad r; () individuano una retta parallela ad r; (3) sono infiniti; (4) non esistono.. Soluzione di alcuni esercizi Soluzione dell Esercizio 1. La distanza di due punti è uguale al modulo del vettore avente i due punti come estremi. Il vettore AB= (x B x A, y B y A ) = (4, ) ha modulo AB = 4 + ( ) = 0 =, e quindi AB =. Il punto medio C del segmento AB può essere calcolato in base alla formula, e si ha C(, 3).
3 GEOMETRIA PIANA 3 I punti che verificano la relazione AB = BC con C allineato con A e B sono tutti e soli quelli che verificano uno dei due sistemi seguenti CB= AB CB= AB AC= CB AC= CB. Il primo sistema ha come unica soluzione il vettore AC= 1 3 ha come unica soluzione il vettore AC= AB. Poiché otteniamo C 1 ( 4, 10), mentre nel secondo caso otteniamo C 3 3 = B. Nell ultimo caso, procedendo come prima, bisogna risolvere i due sistemi CB= AB CB= AB AC= k BC AB, mentre il secondo AC= (x C, y C 4), nel primo caso AC= k BC. Il primo è risolubile se, e solo se, k 1, e l unica sua soluzione è (k 1) BC= AB, mentre il secondo è risolubile se, e solo se, k 1, e l unica sua soluzione è (k + 1) BC= AB. Quindi, se k 1, 0, 1 abbiamo due soluzioni distinte, se k = 1, 1 abbiamo una sola soluzione, mentre se k = 0, abbiamo due soluzioni coincidenti con il punto medio. Soluzione dell Esercizio. La retta r AB è formata da tutti e soli i punti P che verificano AP = t AB, t R. Dette (x, y) le coordinate di P, abbiamo l uguaglianza di vettori (x 1, y 1) = t(1, ), da cui si ricava l equazione parametrica della retta x = 1 + t r AB : y = 1 + t. Eliminando la t tra le due equazioni, si ricava l equazione cartesiana di r AB, e si ha r AB : x y 1 = 0. In alternativa, i punti della retta verificano n AP = 0, dove n è un vettore ortogonale ad AB. Ad esempio, si può scegliere n = (, 1). Un vettore parallelo alla retta r AB è AB= (1, ), mentre uno ortogonale è n = (, 1). La retta p per C ortogonale ad r AB è formata dai punti P che verificano AB p : x + y 11 = 0 ovvero p : CP = 0, ovvero CP = sn, con s R. Da queste relazioni si ricavano le equazioni cercate, e si ha x = 3 + s y = + s. Lasciamo le verifiche allo studente. Soluzione dell Esercizio 3. Un vettore ortogonale ad r è (1, 1) ed è ortogonale anche ad s. Quindi la retta cercata è formata dai punti che verificano (1, 1) AP = 0, e quindi ha equazione s : x y 1 = 0. La distanza tra r ed s è uguale alla distanza tra r ed un punto di s. Calcoliamo quindi la distanza tra A ed r, usando la formula. Otteniamo allora d(r, s) = d(r, A) = 1 0 =. +( 1) La retta t per A perpendicolare ad r è formata da tutti e soli i punti che verificano (1, 1) AP = 0, essendo (1, 1) parallelo ad r. Si ha allora che t : x + y = 0.
4 4 GEOMETRIA PIANA Per risolvere l ultima domanda, bisogna per prima cosa calcolare i vettori che formano un angolo di π/4 con (1, 1) vettore parallelo ad r. Sia (a, b) un tale vettore. Abbiamo che (a, b) (1, 1) a + b = cos π 4 = 1 da cui otteniamo l equazione (a + b) = a + b che ammette come soluzioni i vettori del tipo (a, 0) = a(1, 0) ovvero (0, b) = b(0, 1). Le due rette sono allora parallele l una al vettore (1, 0), l altra al vettore (0, 1), e quindi hanno equazioni y = 0 ed x =, rispettivamente. Soluzione dell Esercizio 4. La distanza è uguale a mentre l area del triangolo è uguale a /. L area del triangolo può anche essere calcolata come il valore assoluto della metà del determinante della matrice avente AB come prima riga e AC come seconda riga, per il significato geometrico del determinante. Soluzione dell Esercizio. γ è formata da tutti e soli i punti che verificano la relazione CP = 3, essendo P (x, y). Quindi, otteniamo γ : (x 1) + (y 1) = 9 ovvero, svolgendo i calcoli, γ : x + y x y 7 = 0. La distanza tra A e C è uguale a < 3 = raggio di γ e quindi A è interno a γ. La distanza tra C ed r è uguale a 3 = raggio di γ e quindi r è tangente a γ. Per calcolare i punti d intersezione, bisogna risolvere il sistema non lineare 3x + 4y + 8 = 0 x + y x y 7 = 0. Sostituendo il valore della x calcolato nella prima equazione, e semplificando, otteniamo l equazione y + 70y + 49 = 0 la cui unica soluzione doppia è y = /3. Quindi, il punto (doppio) d intersezione è ( 4/9, /3). Soluzione dell Esercizio 6. La condizione perché l equazione x + y + ax + by + c = 0 abbia soluzioni reali è che a + b c > 0. Nel nostro caso si ha che 4 4 a 4 + b 4 c = = 1 < 0 e quindi non ci sono punti reali. Soluzione dell Esercizio 7. Tutte le rette per il punto r s sono della forma l(x + y 1) + m(x y + 4) = 0, che può essere riscritta come (l + m)x + (l m)y + ( l + 4m) = 0. Cerchiamo tra le precedenti, le rette che incidono l asse x sotto un angolo di π/3. Un vettore parallelo alla retta del fascio è (l m, l m). Tale vettore forma l angolo richiesto se l m l + lm + m = 1. Riducendo allo stesso denominatore ed elevando al quadrato, otteniamo l equazione m + 10lm l = 0, che può essere risolta in m. Le soluzioni sono allora m = l( ± 3 3), e posto l = 1 otteniamo le rette richieste: ( 9 ± 6 3)x + (6 3 3)y + ( 1 ± 1 3) = 0.
5 GEOMETRIA PIANA Ora, individuiamo la retta che passa per (0, 1) : sostituendo otteniamo l equazione 3m = 0 e quindi la retta si ottiene assegnando (l, m) = (1, 0), ed ha quindi equazione x + y 1 = 0. Le rette tangenti sono quelle che verificano: d(c, r) = dove C(1, ) è il centro della circonferenza, è il suo raggio, ed r è la generica retta del fascio. Abbiamo quindi l equazione l + m (l + m) + (l m) = 1 equivalente a l m = 0. Abbiamo allora l unica retta x + 1 = 0. Verificare che il centro del fascio è un punto di γ. Soluzione dell Esercizio 8. Le circonferenze concentriche con γ sono tutte e sole quelle la cui equazione è della forma γ c : x + y + x y + c = 0, con c R. Cerchiamo quella passante per A(1, 1) sostituendo le coordinate di A nell equazione di γ c. Abbiamo quindi + c = 0, ossia c =. L equazione della circonferenza cercata è allora x + y + x y = 0. In alternativa, il centro si ricava dall equazione di γ ed è C( 1, 1) mentre il raggio è uguale a AC =. La circonferenza concentrica con γ e di raggio si ottiene invece imponendo la condizione sul raggio, ossia c =. Otteniamo allora c =, e quindi la circonferenza cercata è quella trovata al punto precedente. Il centro della terza circonferenza da trovare si trova sull asse del segmento AB dovendo distare sia da A, sia da B, e quindi è equidistante dagli estremi. I punti di tale retta aventi distanza da A sono (1) simmetrici rispetto alla retta AB se > 1AB; () coincidenti con il punto medio di AB se = 1AB; (3) non reali se < 1AB. Le circonferenze sono quindi determinate, poiché ne conosciamo sia il centro, sia il raggio. x = 0 L equazione dell asse del segmento AB, il forma parametrica, è ed i punti y = t di tale asse aventi la distanza richiesta da A sono C 1 (0, ), C (0, ). Le circonferenze cercate hanno allora equazioni x + y ± 4y 1 = 0. Il calcolo della circonferenza per tre punti non allineati può essere fatto in vari modi. Uno geometrico è il seguente: il centro è il punto d intersezione degli assi dei segmenti AB e BC ed il raggio è la distanza tra il centro ed una dei punti A, B oppure C. Algebricamente, invece, si risolve il sistema lineare che si ottiene sostituendo le coordinate dei punti nell equazione di una circonferenza con coefficienti incogniti. L asse del segmento AB ha equazione x = 0, quello del segmento BC ha equazione x + (1 + )y (1 + ) = 0. Il loro punto d intersezione ha coordinate (0, 1) ed è il centro della circonferenza cercata. Il raggio vale allora. Nel secondo modo, detta x + y + ax + by + c = 0 la circonferenza con coefficienti incogniti, bisogna risolvere il sistema lineare a + c = 1 a + c = 1 (1 + )b + c = (3 + ) In entrambi i casi si ottiene la circonferenza di equazione x + y y 1 = 0. Le circonferenze dei punti () e (6) hanno entrambe il centro sulla retta s per A perpendicolare ad r, che ha equazione s : x + y 3 = 0.
6 6 GEOMETRIA PIANA Il centro della prima si ottiene imponendo che AC = BC, essendo C(t, 3 t) s, e si trova che C( 3, 0). Il suo raggio è uguale a AC = 1 e quindi la circonferenza ha equazione x + y 3x + 1 = 0. Il centro della seconda si calcola imponendo che AC = 1, da cui si ottengono i due possibili centri di coordinate (1 ± 1, 1 1 ), da cui si ottengono poi le equazioni delle circonferenze x + y (1 ± 1 )x (1 1 )y + 7 = 0. Per trovare il raggio della circonferenza del punto (7) conviene aiutarsi con un disegno. La retta per C ortogonale ad r divide la corda in due parti uguali di lunghezza e quindi il raggio è ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti metà corda e la distanza di C da r, uguale a. Quindi, il raggio misura 10. La circonferenza ha allora equazione x + y x y 8 = 0. Il centro della circonferenza richiesta al punto (8) si trova sulla retta s per ( 3, 1) ortogonale ad r, di equazione s : x+y+7 = 0. Quindi, si può scrivere come C(t, 7 t), t R. Perché la circonferenza tagli una corda di lunghezza 4 sull asse x, è necessario che il raggio sia ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti metà corda e la distanza tra C e l asse x, ossia R = 4t + 8t Ma il raggio è uguale anche ad AC, dove A( 3, 1), e quindi abbiamo l equazione (t + 3) = 4t + 8t Risolvendo otteniamo t 1 = 4, t = 6, e quindi C 1 (4, 1), C ( 6, ). I relativi raggi sono R 1 = 7 e R = 3, e queste informazioni bastano a calcolare le equazioni delle due circonferenze. Soluzione dell Esercizio 9. La distanza tra A e C è uguale a 4 ed è maggiore di R =. Quindi le tangenti sono due e distinte, e si trovano tra tutte le rette per A, ossia nel fascio di equazione ax+by +(a b) = 0. Una retta è tangente se la distanza dal centro è uguale al raggio. Otteniamo quindi l equazione a b a + b = che semplificata diventa a 4ab + b = 0. Risolvendola, otteniamo che le sue soluzioni sono del tipo (a, b) = h( ± 3, 1) con h R. Posto h = 1, otteniamo le equazioni delle due rette tangenti: ( ± 3)x + y + (1 ± 3) = 0. La distanza tra B e C è uguale a 1 < R e quindi non ci sono rette tangenti a γ per B. La distanza tra O e C è uguale a = R e quindi abbiamo una sola retta tangente a γ per O. Si calcola come spiegato prima, ed ha equazione x y = 0. Le rette parallele al vettore ( 1, 1) sono tutte e sole quelle di equazione x + y + c = 0. c Una tale retta è tangente alla circonferenza se, e solo se, = ossia c = ±. Le rette cercate sono allora quelle di equazione x+y± = 0, e toccano la circonferenza agli estremi di un diametro. Soluzione dell Esercizio 10. (1) Usando risultati dalla geometria elementare, è noto che il luogo cercato è formato dalle bisettrici delle due rette date. L equazione di tale luogo è y 1 = x 3 + y da cui si ricavano le equazioni delle due rette x 3 + (1 )y ± = 0. () Il luogo cercato è una parabola, come è noto dalla definizione metrica della parabola. La sua equazione si ricava uguagliando la distanza di un punto P (x, y) dalla retta r (d(p, r) = y 1 ) e dal punto F (P F = (x + 1) + (y + 1) ). Svolgendo i calcoli si ottiene l equazione y = 1 4 (x + 1).
7 GEOMETRIA PIANA 7 (3) Il luogo cercato è l ellisse di fuochi A e B, essendo la richiesta equivalente a AP + BP = 3. Svolgendo i calcoli si ottiene l equazione 0x + 36y 64x 7y 1 = 0. (4) In questo caso, si ha AP + BP =, ma AB =, e quindi solo i punti del segmento AB verificano la condizione richiesta. () Se A ha coordinate (a, 0) il punto B ha coordinate (0, 1 ) con a R, a 0. Il punto a medio P ha coordinate ( a, 1 a ), e quindi il luogo ha equazione parametrica x = a y = 1 a Eliminando a dalle due equazioni si ha l equazione cartesiana del luogo 4xy = 1. Tale luogo rapresenta un iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Soluzione dell Esercizio 11. Sia P un punto del piano di coordinate (x, y) nel primo sistema, e (x, y ) nel secondo sistema di riferimento. Il vettore j = ( 1 1, ), mentre le coordinate di O nel primo sistema di riferimento sono (1, ). Dalla teoria si ricava che il cambio di coordinate è ( ) x = 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 x 1 y 1 1 y + mentre quelle del cambio inverso sono ( ) x y = 1 ( ) ( ) ( x 1 ) y + 3. Il punto A ha coordinate (0, ) nel nuovo sistema di riferimento, mentre la retta x = 1 ha equazione x + y = 0 nel nuovo sistema di riferimento. Soluzione dell Esercizio 1. Il modo più veloce per risolvere l esercizio è quello di calcolare la retta richiesta. Ogni retta ortogonale ad r è della forma s : x 3y + c = 0, e quella per A ha equazione x 3y + = 0. Quindi l unica risposta corretta è la (3). Soluzione dell Esercizio 13. Il centro di γ è il punto C(1, ), ed il suo raggio è R = 7. La distanza tra C ed r è uguale a 1 < R. Quindi l unica risposta corretta è la (4). Notiamo che una retta è diametrale se la distanza tra C ed r è zero, e che tra le rette parallele ad r ce ne sono sicuramente due tangenti a γ. Soluzione dell Esercizio 14. La distanza tra (1, 1) ed r è uguale a > 1. Quindi nessun punto del piano verifica la condizione richiesta, e l unica risposta corretta è la (4).
Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliAppunti sulla circonferenza
1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliSvolgimento degli esercizi sulla circonferenza
Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57
DettagliCirconferenze del piano
Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della
DettagliLa circonferenza nel piano cartesiano
La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione
DettagliGEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale
DettagliProblemi sulla circonferenza verso l esame di stato
Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza
DettagliLe coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.
Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
Dettaglideterminare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si
PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad
DettagliParte 11. Geometria dello spazio II
Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di
DettagliEsercizi svolti sulla parabola
Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice
DettagliGeometria Analitica Domande e Risposte
Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano
DettagliD4. Circonferenza - Esercizi
D4. Circonferenza - Esercizi Trasformare l equazione della circonferenza nell altra forma e rappresentare graficamente la circonferenza trovandone prima centro e raggio. 1) + --=0 [(-1) +(-1) =, C(1;1),
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliTesti verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009
Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente
DettagliNote di geometria analitica nel piano
Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................
DettagliRicordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:
La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione
DettagliLA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE
LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti
DettagliTest su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze
Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.
Dettagliil discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere
Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere
DettagliMATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO
MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con
DettagliLA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.
Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di
DettagliUna circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto
La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.
DettagliFasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente
1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della
DettagliRETTE E PIANI NELLO SPAZIO
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio
DettagliCalcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc
DettagliIn un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.
L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze
DettagliFormulario di Geometria Analitica a.a
Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).
DettagliPIANO CARTESIANO E RETTA
PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = (
DettagliLezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico
CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a,
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliEsercizi sulle affinità - aprile 2009
Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente
DettagliEsercizi e problemi sulla parabola
Esercizi e problemi sulla parabola Esercizio 1. Si consideri l'insieme di parabole: con k R, k 1. Γ k : y = (k + 1)x x + k 4 (a) Determinare, per quali k, la parabola passa per l'origine. (b) Determinare,
Dettagli[ RITORNA ALLE DOMANDE] 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 1) Che cos è una conica?
Matematica 1) Che cos è una conica? 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 3) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle y? 4) Qual è l equazione di una
DettagliI FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica
I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio
DettagliGEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z
GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono
DettagliIngegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni
Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare
DettagliGEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche
GEOMETRIA ANALITICA EUCLIDEA Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili Studio delle figure (nel piano/spazio) Funzioni elementari Problemi algebrici sulle figure geometriche Grafici al servizio dell
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliQuadro riassuntivo di geometria analitica
Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive
DettagliLa circonferenza nel piano cartesiano
6 La circonferenza nel piano cartesiano onsideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ; e il raggio 5 r : se indichiamo con P ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliEsercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani
Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;
DettagliMutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani
Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse
DettagliCLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI
CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e
Dettagli2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.
CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere
DettagliStabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.
Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
- - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle
DettagliTest di Matematica di base
Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione
DettagliGeometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa
Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta.
EQUAZIONE DELLA RETTA Teoria in sintesi GEOMETRIA ANALITICA Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta. La retta è rappresentata da un equazione di primo grado in due variabili:
DettagliESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA
ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA Exercise 0.1.1. Si scriva l'equazione della circonferenza che passa per i punti O 0; 0) e A 7; 0)
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
DettagliVerifiche di matematica classe 3 C 2012/2013
Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico
DettagliSISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento
DettagliMacerata 24 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI. k <, mentre se. x = e. x = che sono le soluzioni dell equazione, 3 9
Macerata 4 marzo 015 classe M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI Problema 1 y = k x + 5k x 4 + k E dato il fascio di parabole di equazione ( ) ( ). SI ha quindi la concavità rivolta k = si ha la parabola degenere
Dettagli1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4).
. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 7;3) e ( 7;3) e passante per il punto ( 6;). Determino il centro di simmetria dell ellisse, O, punto medio dei due fuochi, ovvero (0;3), perciò
DettagliCirconferenza. Matteo Tugnoli. February 26, 2012
Circonferenza Matteo Tugnoli February 26, 2012 Versione preliminare, NON esente da errori, se il lettore riscontrasse delle imprecisioni può gentilmente segnalarle a matteo_tugnoli@yahoo.it 1 Luogo dei
DettagliIperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.
Iperbole L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Vedi figura: Figura 1 Iperbole equilatera. Se i fuochi si trovano sull
Dettaglie) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2
7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h)
DettagliCOMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin
COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane
DettagliCORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica
ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo
Dettagli1 Rette e piani nello spazio
1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le
DettagliCirconferenza e cerchio
Cerchio e circonferenza - 1 Circonferenza e cerchio La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un unico punto detto centro. Il cerchio è l insieme costituito dai punti appartenenti
DettagliLAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE
LAVORO ETIVO di MATEMATICA Classi Terze cientifico Moderno N.B. A CONEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE I MATEMATICA I ETTEMBRE PROBLEMI I ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA ) In un cerchio di raggio r si determini
DettagliPiano cartesiano e Retta
Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L
DettagliAppunti ed esercizi sulle coniche
1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O
DettagliProblemi sull ellisse
1 equazione dell ellisse Determina l equazione di un ellisse che ha i fuochi sull asse delle ascisse, semiasse maggiore lungo 6 e distanza focale uguale a 6 + yy Scrivi l equazione dell ellisse con i fuochi
Dettagli10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI
DettagliProprietà focali delle coniche.
roprietà focali delle coniche. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 2014 Indice 1 Coniche 1 1.1 arabola....................................... 1 1.1.1 roprietà focale
Dettagli15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono
DettagliEquazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n
Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x
DettagliTest sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti
Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse Γ : + y = 8 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni. I fuochi si trovano sull asse delle ordinate
Dettagli7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza
7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame
DettagliEllisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica?
Ellisse Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Pianta due chiodi, detti fuochi, nel terreno ad una certa distanza. Lega le estremità della corda, la cui lunghezza supera la distanza
DettagliCompito A
Compito A 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (2x-1)/(3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente).
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliGeometria analitica piana
Capitolo 4 Geometria analitica piana 4.1 Il riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse
DettagliGEOMETRIA /2009 II
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliCOSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI
COSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI 1 ASSE del segmento AB - Con centro in A e in B traccio 2 archi di circonferenza con raggio R>½AB; - chiamo 1 e 2 i punti di intersezione tra gli archi di circonferenza;
DettagliLA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da
DettagliLa retta nel piano cartesiano
La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
DettagliLiceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI
Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Anno scolastico: 014-015 Classe: 3 H Docente: Paola Zanolo Disciplina: Matematica Ripassare tutto il programma preparando un formulario per
DettagliLA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco
LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse
DettagliIngegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4
Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 9/ ESERCITAZIONE. (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Proposizione Vera Falsa Per due punti distinti di R passa un unica
Dettagli1. LA GEOMETRIA ANALITICA
LA GEOMETRIA ANALITICA IL PIANO CARTESIANO Coordinate cartesiane Due rette orientate nel piano perpendicolari tra loro, aventi come punto d intersezione il punto O, costituiscono un sistema di riferimento
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Secondo compito in itinere 3 Febbraio 2014
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere Febbraio 04 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es: 8 punti Es: 8 punti Es: 8 punti Es4: 8 punti Totale a) Determinare
DettagliTEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda
TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda 1 Una sola tra le seguenti proposizioni è FALSA Quale? A Se due punti A e B hanno la stessa ascissa, il coefficiente angolare della retta che li contiene non è definito
DettagliCarlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Luglio, matematicamente.it Luglio 1948, primo problema
Luglio 1948, primo problema In un cerchio di raggio r è condotta una corda AB la cui distanza dal centro è r/. Inscrivere nel segmento circolare che non contiene il centro, un triangolo ABC in modo che
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
Dettagli