GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

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1 GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono sghembe, scrivere equazioni della retta di minima distanza tra le due rette date e trovare la distanza tra r e s. 2. In un assegnato riferimento cartesiano ortonormale del piano ordinario a) scrivere l equazione della circonferenza che iperoscula la parabola x y 2 = 0 in O e trovare quindi le coniche degeneri e i punti base del fascio individuato da tale circonferenza e dalla conica di equazione x 2 + y 2 + x = 0. Classificare infine le coniche di tale fascio. 3. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino x y = 0 le rette: r : x + z = 0 s : P 1 P = λ P 1 P 2 con P 1 (1, 0, 0) e P 2 (0, 0, 1). Si discuta l esistenza di rette passanti per l origine, complanari con r e ortogonali ad s. 4. Nel piano ordinario sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale. Trovare i punti base, le coniche degeneri e le circonferenze di raggio 1 del fascio individuato dalle coniche x 2 y 2 1 = 0 e x 2 + y 2 1 = Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino x + z 1 = 0 2x y + z 1 = 0 x + y 1 = 0 le rette: r : y + z 1 = 0, s :, t :. x y = 0 y z = 0 Esistono piani paralleli ad r, s e t contemporaneamente? Esistono rette incidenti r, s e t contemporaneamente? 6. Sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario. Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A (1, 0) e B (0, 1) e tangenti alla retta x + y = 0 in O. Esistono coniche del fascio passanti per i punti ciclici? Esistono punti dell asse x che sono vertici di una parabola del fascio? 7. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino i punti A (3, 0, 1) e B ( 1, 0, 5). Si determinino: a) Equazioni dell asse del segmento di estremi A e B contenuto nel piano α : y = 0. b) I vertici di un quadrato contenuto nel piano α che ha come vertici opposti A e B. 8. Nel piano ordinario sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale. Si consideri il fascio di coniche aventi come asintoto la retta x y + 1 = 0 e retta tangente in A (1, 0) la retta x + y 1 = 0. Dire se a) esiste una conica del fascio che ha il punto A come vertice. 1

2 b) per ogni assegnata direzione del piano (l, m) esiste una conica del fascio che ha un asintoto con tale direzione. 9. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino x y = 0 le rette: r : x + z = 0 s : P 1 P = λ P 1 P 2 con P 1 (1, 0, 0) e P 2 (0, 0, 1). Si discuta l esistenza di rette passanti per l origine, ortogonali ad r e complanari con s. 10. Nel piano ordinario sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale. Trovare i punti base, le coniche degeneri e le circonferenze di raggio 1 del fascio individuato dalle coniche x 2 + y 2 1 = 0 e x 2 + y 2 4 = Nel piano ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino le coniche C 1 : x y 2 = 0 e C 2 : x 2 + y 2 + ax+by = 0 con a, b R e sia F il fascio individuato da C 1 e C 2. Dire se esistono a, b R tali che i) F ha qualche punto base improprio; ii) F é un fascio di coniche tangenti in O; iii) F é un fascio di coniche osculanti in O; iv) F é un fascio di coniche iperosculanti in O; v) F contiene coniche con assi di coefficienti angolari ± Assegnato un riferimento cartesiano ortonormale nello spazio ordinario, si consideri la famiglia di rette x ky = 0 r k : z = k E vero che h k implica r h r k? E vero che se r h r k allora r h e r k sono sghembe? E vero che per ogni a > 0 esistono rette r h, r k tali che d(r h, r k ) = a? 13. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino le rette : x z 1 = 0 x 1 = 0 r :, s : y + z 1 = 0 y z + 1 = 0 con assegnato orientamento. Determinare la distanza tra le rette r ed s e, considerati i versori r e s di r ed r ed il prodotto vettoriale r s, dire se ( r, s, r s ) costituisce una base ortonormale dello spazio dei vettori geometrici. 14. In un assegnato riferimento cartesiano ortonormale del piano ordinario si consideri il fascio di coniche bitangenti all iperbole 2x 2 y 2 2 = 0 nei punti in cui questa interseca la retta x y = 0. Individuare tra queste le coniche di tipo parabolico e dire se ogni punto del piano é centro di una conica non degenere del fascio. vskip 2mm 15. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si consideri la retta: r : 2x y = 0 z 4 = 0, il piano π : x + y 1 = 0 ed il punto P (0, 0, 1). Dire se esistono ed eventualmente determinarle a) rette passanti per P, ortogonali ad r e parallele a π, b) rette passanti per P, parallele ad r e perependicolari a π. 15. In un assegnato riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario, determinare l equazione cartesiana della conica C passante per A (1, 0) con centro nell origine, un 2

3 asisntoto parallelo alla retta x+y 1 = 0 e l altro asintoto parallelo al vettore v (1, 1). Scrivere poi un equazione canonica. 16. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino le rette: r : x y = 0 x + z = 0 s : P 1 P = λ P 1 P 2 con P 1 (1, 0, 0) e P 2 (0, 0, 1). Determinare la distanza tra le rette r ed s e determinare, se esiste, un punto P tale che OP e un vettore perpendicolare ad r ed s di lunghezza unitaria. 17. Nel piano ordinario sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale. Discutere l esistenza di parabole aventi vertice V (0, 0), retta tangente in V la retta 2x y = 0 e e tali che i punti P (1, 0) e Q (0, 1) risultino coniugati. 18. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino 2x y = 0 x + y 1 = 0 le rette: r 1 :, r z 4 = 0 2 : ed il punto P (0, 0, 1). y z + 5 = 0 Trovare le rette passanti per P, ortogonali ad r 1 e complanari con r 2. La retta r 1 ha parametri direttori (1, 2, 0), la retta r 2 ha parametri direttori ( 1, 1, 1). Una retta generica passante per P ha equazione x l = y m = z 1 n. La condizione di ortogonalitá x con r 1 implica l + 2m = 0 cioé l = 2m. Se fosse n = 0 si avrebbe la retta 2m = y m z 1 = 0 x + 2y = 0 cioé z 1 = 0 che, come facilmente si vede, non é complanare con r 2. Possiamo quindi supporre n 0 e porre quindi ad esempio n = 1. Le eventuali rette cercate hanno quindi x = 2mz + m equazioni del tipo y = mz m. Una tale retta é complanare ad r 2 se e solo se risulta Quindi per m = = 3m 1 = m 2m 0 1 m +m otteniamo l unica retta che verifica le condizioni richiese. 19. In un assegnato riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario, determinare l equazione cartesiana della conica I iperosculatrice nell origine alla conica C : 2x 2 y 2 + 4xy 2x + y = 0 e passante per A (1, 1). Determinare almeno un diametro di I tangente ad I. 20. Nello spazio ordinario, dato un riferimento cartesiano ortonormale a) Provare che i punti P 1 (1, 1, 1), P 2 (2, 0, 1), P 3 (0, 0, 0) e P 4 (1, 1, 0) sono complanari e determinare il piano che li contiene. Dire se i quattro punti sono vertici di un parallelogramma. 3

4 b) Considerati i punti A ( 1 2, 0, 1 2 ), B ( 1 2, 1, 1 2 ) e C (0, 1, 0), trovare il piano che li contiene e dire se esiste D tale che ABCD risulti un quadrato. In caso di risposta affermativa trovare D. 21. Assegnato un riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario, si consideri il fascio di coniche: F : λx 2 λy 2 + µt 2 = 0. Trovare tutte le coppie (λ, µ) in corrispondenza delle quali si hanno coniche degeneri del fascio F e descrivere tali coniche. Classificare la conica del fascio F ottenuta per (λ, µ) = (1, 1). Dire infine se (a, b) 0 e C F esiste un diametro di C che ha come parametri direttori (a, b). 22. In un assegnato riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario, si consideri al variare di a, b, c R la famiglia F di coniche C a,b,c : ax 2 + ay 2 2bxy + c = 0. a) Classificare le coniche di F e provare che esiste una coppia di rette che e coppia di assi di ogni conica non degenere di F. b) Individuare le coniche degeneri di F, dimostrare che tutte le coniche non degeneri di F hanno lo stesso centro e dire se ogni ellisse del piano avente per assi le rette x y = 0 e x + y = 0 coincide con una conica di F. c) Considerato il fascio G = C a,b,c : b = c}, classificare le coniche di G, determinare i punti base di G e scrivere le equazioni degli assi di ogni ellisse appartenente a G. 23. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino 2x + z 3 = 0 2x + y 3 = 0 x + y + z = 0 le rette: r 1 :, r y x = 0 2 :, r x z = 0 3 :. x 2z = 0 a) Se r 1 ed r 2 sono complanari, scrivere l equazione del piano α che contiene r 1 ed r 2 ed individuare un punto P dello spazio tale che OP = 1 e OP α. Altrimenti, dopo aver determinato la retta r passante per A (1, 0, 0) e incidente r 1 e r 2, dire se r r 1 e se r r 2. b) Come in a) considerando r 1 ed r 3 in luogo di r 1 ed r 2. c) Come in a) considerando r 2 ed r 3 in luogo di r 1 ed r Sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario. a) Considerato il fascio di coniche aventi la retta x y + 1 = 0 come asintoto e tangenti alla retta y + 1 = 0 in O (0, 1), dire se esistono coniche di tale fascio aventi x y = 0 come diametro. In caso affermativo, classificare tali coniche. b) Scrivere l equazione del fascio di coniche bitangenti alla circonferenza x 2 + y 2 2x = 0 nei punti in cui questa interseca la retta x 1 = 0 e classificare ciascuna conica del fascio. Esistono coniche di tale fascio che hanno le rette x y 1 = 0 e x 2y 1 = 0 come diametri coniugati? c) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A (1, 0) e B (1, 2) e tangenti alla retta x = 0 in O. Esistono parabole del fascio passanti per il punto improprio dell asse x? E vero che ogni retta del piano e diametro di una conica del fascio? 25. Assegnato un riferimento cartesiano ortonormale RC(O, i, j, k ) nello spazio ordi- 4

5 x z = 0 x + z = 0 nario si considerino le rette: r 1 : y 1 = 0, r 2 : y + 1 = 0. a) Scrivere l equazione della retta r passante per O e perpendicolare a r 1 e r 2. Dire se esiste una base ortonormale B = ( r, r 1, r 2 ) concordemente orientata con ( i, j, k ) e tale che r, r 1, r 2 siano paralleli a r, r 1, r 2 rispettivamente. b) Scrivere l equazione del fascio di piani paralleli ad r 1 e r 2 e determinare se esistono punti P tali che OP ha modulo 2 e direzione perpendicolare a ciascun piano del fascio. c) Determinare i punti di minima distanza tra r 1 e r 2 e la (minima) distanza tra r 1 e r In un assegnato riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario a) Si consideri il fascio di coniche tangenti alle rette r : 2x + y 1 = 0 e r : x + 2y 1 = 0 nei punti P (0, 1) e P (1, 0) rispettivamente. Classificare le coniche del fascio e dire se esiste tra queste una parabola con vertice in O. b) Si consisderi il fascio di coniche bitangenti alla circonferenza x 2 + y 2 2x = 0 nei punti in cui questa incontra la retta y x = 0. Classificare le coniche del fascio e dire se esistono tra queste parabole i cui diametri risultino paralleli alla retta x + y = 0. c) Si consideri la famiglia F di coniche di equazione λ 2 x 2 + y 2 + 2λxy 2y = 0 con λ R. Classificare tali coniche e dire se per ogni direzione del piano esiste una parabola appartenente ad F che ha per asse una retta avente tale direzione. 27. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino il vettore w (2, 0, 1), la retta r : x 2z = x + y = 0 ed il piano π : 2x + y 2z = 0. a) Se u e un vettore parallelo all asse y, v e un vettore parallelo ad r, e vero che u,v, w sono complanari? Decomporre w, se possibile, come somma di un vettore parallelo all asse y e di un vettore parallelo ad r. b) Considerato il piano α per r e parallelo a w, provare che tale piano contiene l asse y, quindi scrivere w come somma di un vettore parallelo all asse y e di un vettore v parallelo a s = α π. c) Scelto u non nullo parallelo all asse y e v non nullo perpendicolare a π, e possibile scrivere uno dei tre vettori u,v, w come combinazione lineare degli altri due? E possibile scrivere ogni vettore dello spazio come combinazione lineare di u,v, w? d) Scelto u non nullo parallelo all asse y e v non nullo perpendicolare a γ : 2x 2y + z = 0, e possibile scrivere uno dei tre vettori u,v, w come combinazione lineare degli altri due? E possibile scrivere ogni vettore dello spazio come combinazione lineare di u,v, w? a) L asse y ha parametri direttori (0, 1, 0), quindi u (0, a, 0). La retta r ha parametri direttori (2, 2, 1) da cui v (2b, 2b, b). Da segue u, v, w dipendenti, quindi complanari. 0 a 0 2b 2b b = 0 5

6 Ora (2, 0, 1) = (0, a, 0) + (2b, 2b, b) equivale a 2 = 2b 0 = a 2b 1 = b da cui a = 2 e b = 1 e quindi la decomposizione (2, 0, 1) = (0, 2, 0) + (2, 2, 1). b) Il fascio di piani di asse r ha equazione x 2z +k(x+y) = 0 cioe (1+k)x+ky 2z = 0. La condizione di parallelismo con w implica 2(1 + k) + 0k + 1( 2) = 0 da cui k = 0. Quindi si ha α : x 2z = 0. Tale piano contiene l asse y poiche ogni punto di coordinate (0, t, 0) verifica l equazione x 2z = 0. Risulta s : x 2z = 2x + y 2z = 0 o anche s : x 2z = y + 2z = 0. Poiche s ha parametri direttori (2, 2, 1), la decomposizione richiesta e del tipo : (2, 0, 1) = (0, a, 0) + (2b, 2b, b). Come in a) si ottiene a = 2 e b = 1 e quindi (2, 0, 1) = (0, 2, 0) + (2, 2, 1). c) Risulta u (0, a, 0) e v (2b, b, 2b) con a e b non nulli. Poiche 0 a a 2b b 2b = 8ab e non nullo, u, v, w sono indipendenti, e quindi nessuno dei tre si puo scrivere come combinazione lineare delgi altri due. Inoltre u, v, w indipendenti implica che (u, v, w) e una base, quindi ogni vettore dello spazio si puo scrivere come combinazione lineare di u, v, w. d) Risulta u (0, a, 0) e v (2b, 2b, b) con a e b non nulli. Poiche (2, 0, 1) = 1 a (0, a, 0) + 1 b (2b, 2b, b), w si puo scrivere come combinazione lineare di u e v. Infine u, v, w sono complanari (dipendenti) e quindi non possono generare lo spazio dei vettori geometrici. 28. Nel piano ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino la circonferenza C : x 2 + y 2 + ax + by = 0 e il fascio F di coniche che iperosculano C nell origine O. a) E vero che ogni conica di F ha il centro sulla retta bx ay = 0? b) E vero che se P e una parabola di F allora P ha il vertice in O? c) E vero che se P e una parabola di F allora P ha per tangente nel vertice la retta di equazione bx ay = 0?d) E vero che se P e una parabola di F allora P ha per asse la retta bx ay = 0? a) La retta tangente a C nell origine ha equazione ax + by = 0 e quindi il fascio F ha equazione x 2 +y 2 +ax+by+k(ax+by) 2 = 0, cioe (ka 2 +1)x 2 +(kb 2 +1)y 2 +2abky+ax+by = 0. Si ottiene una parabola per k = 1 a 2 +b 2. I diametri di C k : (ka 2 + 1)x 2 + (kb 2 + 1)y 2 + 2abky + ax + by = 0 coniugati alle direzioni degli assi x e y hanno equazioni: 2(ka 2 + 1)x + 2abky + a = 0 e 2(kb 2 + 1)y + 2abkx + b = 0.Per k diverso da 1 a 2 +b, il centro C 2 k di C k si ottiene come intersenzione dei due diametri. Si trova che C k ha coordinate x k = 2a 4(ka 2 + kb 2 + 1) e y k = 6 2b 4(ka 2 + kb 2 + 1).

7 Risulta bx k ay k = 0 e quindi ogni conica a centro C k ha il centro sulla retta bx ay = 0. Da notare infine che l unica parabola del fascio ha come suo punto improprio, cioe come centro, proprio il punto improprio della retta bx ay = 0. b) Come gia osservato in a) l unica parabola P di F si ottiene per k = 1 a 2 +b. Tale 2 parabola ha equazione (bx ay) 2 +a(a 2 +b 2 )x+b(a 2 +b 2 )y = 0. Il punto improprio di P ha coordinate (a, b, 0), e la direzione ad esso ortogonale e individuata dal punto Q (b, a, 0). La polare di Q rispetto a P e l asse di P. Tale asse ha equazione bx ay = 0. Il vertice V di P, che e l intersezione della parabola con l asse, si ottiene allora dal sistema: (bx ay) 2 + a(a 2 + b 2 )x + b(a 2 + b 2 )y = 0 bx ay = 0. Si ottiene V (0, 0). c) Come gia visto in b) l unica parabola di F ha equazione: (bx ay) 2 + a(a 2 + b 2 )x + b(a 2 + b 2 )y = 0 ed ha vertice in O. L equazione della retta tangente a P in 0 si puo allora ottenere, per esempio, uguagliando a zero i termini di primo grado della equazione di P. Si ha la retta di equazione ax + by = 0. d) vedi b). 29. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino le rette: x 1 = 0 x z = 0 x 2y = 0 r : x y = 0 s : t : y = 0 z 1 = 0 a) Provare che r ed s sono sghembe e trovare i punti di minima distanza tra r ed s. b) Provare che s e t sono sghembe e trovare i punti di minima distanza tra s e t. c) Determinare la distanza dall origine del piano per P (1, 1, 1) e parallelo ad r ed s. d) Determinare la distanza dall origine della retta per P (1, 1, 1) e perpendicolare ad s e t. a) Risulta = e quindi r ed s sono sghembe. Le rette r ed s hanno parametri direttori (0, 0, 1) e (1, 0, 1) rispettivamente. Un punto generico di r e P u (1, 1, u), un punto generico di s e Q v (v, 0, v). La retta per P u e Q v ha parametri direttori (v 1, 1, v u) ed e perpendicolare ad r ed s se risulta: (v 1) 0 + ( 1) 0 + (v u) 1 = 0 (v 1) 1 + ( 1) 0 + (v u) 1 = 0. Si ottiene u = v = 1. I punti di minima distanza sono allora P (1, 1, 1) e Q (1, 0, 1). b) Risulta 7

8 = e quindi s e t sono sghembe. Le rette s e s hanno parametri direttori (1, 0, 1) e (2, 1, 0) rispettivamente. Come in a), detti P u (u, 0, u) e Q V (2v, v, 1) punti generici di s e t, la retta per P u e Q v, che ha parametri direttori (2v u, v, 1 u), e perpendicolare ad s ed t se risulta: (2v u) 1 + v 0 + (1 u) 1 = 0 (2v u) 2 + v 1 + (1 u) 0 = 0. Si ottiene u = 5 6 e v = 1 3. e quindi i punti di minima distanza sono P ( 5 6, 0, 5 6 ) e Q ( 2 3, 1 3, 1). c) Le rette r e s hanno parametri direttori (0, 0, 1) e (1, 0, 1) rispettivamente. Allora il piano per P e parallelo ad r ed s ha equazione a(x 1) + b(y 1) + c(z 1) = 0 con c = 0. Si ottiene il piano π : y 1 = 0 e si ha d(o, π) = 1. a + c = 0 d) Le rette s e t hanno parametri direttori (1, 0, 1) e (2, 1, 0) rispettivamente. Allora la retta a per P e perpendicolare ad s e t ha equazione x 1 l = y 1 m = z 1 n con l + n = 0 2l + m = 0. Ponendo n = 1 si ha l = 1 e m = 2. Si tratta allora di determinare la distanza di a dall origine. Il piano per O e perpendicolare a tale retta ha equazione x + 2y + z = 0. Tale piano incontra la retta a nel punto A le cui coordinate sono le soluzioni del sistema: x 1 1 x 1 = y = z 1. x + 2y + z = 0 Si trova A ( 4 3, 1 3, 2 3 )e quindi d(0, a) = d(0, A) = Nel piano ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si consideri il fascio di coniche di equazione (k + 1)x 2 + (k 1)y 2 k = 0 a) Determinare i punti base del fascio. E vero che ogni conica non degenere del fascio ha centro nell origine? b) Determinare le coniche degeneri del fascio. E vero che ogni coppia di rette perpendicolari passanti per l origine e coppia di assi di una conica del fascio? 8

9 c) Classificare le coniche non degeneri del fascio e individuare, se esistono, quelle che hanno come assi gli assi coordinati. d) Esistono tra le coniche del fascio circonferenze di raggio 2? E vero che due qualsiasi coniche non degeneri del fascio hanno la medesima famiglia di diametri? a) L equazione del fascio si puo anche scrivere nella forma x 2 y 2 +k(x 2 y 2 +1) = 0, quindi le coniche di equazione x 2 y 2 = 0 e x 2 y 2 1 = 0 sono due coniche del fascio. I punti base si possono allora ottenere come i punti di intersezione di tali coniche. Risolvendo x il sistema 2 y 2 = 0 x 2 y 2 si ottengono le coordinate dei quattro punti base. Tali punti 1 = 0 1 hanno coordinate ( 2, 1 2 ),( 1 2, 1 2 ),( 1 2, 1 2 ),( 1 2, 1 2 ). Le coniche del fascio hanno tutte equazioni in forma canonica, da cio segue che le coniche non degeneri hanno centro nell origine. k b) Risulta 0 k 1 0 = 0 per k = 1, 0, 1 e quindi le coniche degeneri hanno 0 0 k equazione 2y 2 1 = 0 2x 2 1 = 0 e x 2 y 2 = 0. Al fascio di coniche appartiene la circonferenza con centro l origine e raggio 1 e quindi ogni coppia di rette perpendicolari passanti per O e coppia di assi di tale circonferenza. c) Poiche k k 1 = k2 1 e tenuto conto che le coniche degeneri corrispondono a k = 1, 0, 1, si hanno ellissi per k < 1 e k > 1, iperboli per k 0, 1 < k < 1. Come gia osservato in a), le coniche del fascio hanno tutte equazioni in forma canonica. Quindi ogni conica non degenere del fascio ha per assi proprio gli assi coordinati. d) Poiche la relazione k + 1 = k 1 non e mai verificata, tra le coniche di equazione (k + 1)x 2 + (k 1)y 2 k = 0 non ci sono circonferenze. Il fascio di coniche contiene comunque la circonferenza di equazione x 2 y = 0 non descritta dal parametro k. Tale circonferenza ha raggio 1, e quindi la risposta alla prima domanda e negativa. Come gia osservato in a) ogni conica non degenere del fascio ha centro nell origine e quindi la famiglia dei suoi diametri coincide proprio con la famiglia delle rette passanti per l origine. 31. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino le rette: r : s : e il piano π : x + y z = 0. x + y = 0 x y = 0 z = 0 z = 1 Si fissino due vettori non nulli r e s paralleli ad r ed s rispettivamente. a) E vero che la retta t passante per O (0, 0, 0) e P (1, 1, 2) e contenuta in π? Dopo aver fissato un vettore non nullo t parallelo a t, dire se ogni vettore parallelo a π si puo scrivere come combinazione lineare di r e t. b) E vero che il piano π appartiene al fascio di asse r? Esistono punti dell asse x che hanno la medesima distanza da r e dal piano π? c) Esistono rette passanti per T (1, 0, 0) ed incidenti r ed s? E vero che r e s sono vettori linearmente indipendenti? 32. Nel piano ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino le coniche: C 1 : x 2 + y 2 2x = 0, C 2 : xy y = 0, C 3 : x 2 xy + y 2 2x + y = 0. 9

10 a) Determinare le componenti delle coniche degeneri del fascio individuato da C 1 e C 2. E vero che le componenti di C 2 sono assi di C 1? b) Determinare le componenti delle coniche degeneri del fascio individuato da C 1 e C 3. E vero che ogni diametro di C 1 e diametro di C 3 e viceversa? c) Determinare le componenti delle coniche degeneri del fascio individuato da C 2 e C 3. Nel fascio individuato da C 2 e C 3 esistono parabole aventi per asse una retta di parametri direttori (1, 1)? 33. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino 2x + y z = 0 x y + z = 0 x + z 1 = 0 le rette: r 1 :, r y x = 0 2 :, r x z = 0 3 :. y z = 0 a) Se r 1 ed r 2 sono complanari, determinare il piano π che le contiene e dire se la totalita dei piani passanti per O e perpendicolari a π e un fascio di piani. Altrimenti, scrivere l equazione del fascio di piani paralleli a r 1 ed r 2 e determinare le componenti di un vettore unitario perpendicolare a ciascun piano del fascio. b) Come in a) considerando r 1 ed r 3 in luogo di r 1 ed r 2. c) Come in a) considerando r 2 ed r 3 in luogo di r 1 ed r 2. a) Si vede subito che r 1 e r 2 passano per l origine, quindi sono rette complanari (ma non coincidenti poiche, ad esempio, P (1, 2, 1) r 2 r 1 ). Il fascio di piani per r 1 ha equazione 2x + y z + k(y x) = 0, il passaggio per P implica k = 3. Risulta allora π : 5x 2y z = 0. La stella dei piani per O ha equazione ax + by + cz = 0. Tra tali piani quelli perpendicolari a π sono quelli che verificano la relazione 5a 2b c = 0, cioe c = 5a 2b e, quindi, hanno equazione ax + by + (5a 2b)z = 0, cioe a(x + 5z) + b(y 2z) = 0. Si tratta del fascio di piani di asse la retta r : perpendicolare a π). b) Poiche x + 5z = 0 y 2z = = 2 0, (che e proprio la retta per O e r 1 ed r 3 sono sghembe. La retta r 1 ha parametri direttori (1, 1, 3), la retta r 3 ha parametri direttori ( 1, 1, 1). Un piano σ : ax + by + cz + d = 0 e parallelo ad r 1 ed r 3 se a + b + 3c = 0. Posto c = 1 si ha (a, b, c) = ( 1, 2, 1). Il fascio di piani paralleli a + b + c = 0 ad r 1 ed r 3 ha allora equazione x + 2y z + h = 0. Un vettore perpendicolare a tali piani e v (1, 2, 1). Poiche v = 6, un vettore unitario perpendicolare e, per esempio, v v = ( 1 2 6, 6, 1 6 ). c) Poiche = 1 0,

11 r 2 ed r 3 sono sghembe. La rette r 2 ed r 3 hanno parametri direttori (1, 2, 1) e ( 1, 1, 1) rispettivamente. Procedendo come al punto b), si trova che il fascio di piani ha equazione x 2y + 3z + h = 0 ed un vettore unitario perpendicolare a tali piani e, per esempio, u = ( 1 14, , 14 ). 34. Sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale nel piano ordinario. a) Scrivere l equazione della conica che ha la retta x y + 1 = 0 come asintoto, tangente alla retta y = 0 in O (0, 0) e tale che i punti P (1, 2) e Q (2, 1) siano coniugati. b) Considerato il fascio di coniche bitangenti alla circonferenza x 2 + y 2 2x = 0 nei punti in cui questa interseca la retta x 1 = 0, dire se esistono coniche di tale fascio aventi come diametro la retta x + y 1 = 0. c) Esiste una parabola passante per i punti A ( 1, 1) e B (1, 0) e avente come asse la retta di equazione x y = 0? a) La conica cercata appartiene al fascio individuato dalle coniche degeneri (x y +1)y = 0 (che e la conica che ha come componenti l asintoto assegnato e la retta tangente in O alla conica da determinare) e (x y) 2 = 0 (che e la conica doppiamente degenere che ha come componente la retta passante per O e per il punto all infinito dell asintoto). Tale fascio ha equazione (x y + 1)y + k(x y) 2 = 0. La polare di P (1, 2), rispetto alla conica (x y + 1)y + k(x y) 2 = 0, ha equazione ( k + 1)x + (k 1)y + 1 = 0. I punti P e Q sono coniugati se Q appartiene alla polare di P. Sostituendo le coordinate di Q nell equazione ( k + 1)x + (k 1)y + 1 = 0, si ottiene k = 4 3. La conica richiesta ha allora equazione 3(x y + 1)y + 4(x y) 2 = 0. b) Il fascio di coniche bitangenti alla circonferenza x 2 + y 2 2x = 0 nei punti in cui questa interseca la retta x 1 = 0 ha equazione x 2 + y 2 2x + k(x 1) 2 = 0. Ogni conica non degenere di tale fascio ha centro nel punto di coordinate (1, 0). Tale punto appartiene alla retta di equazione x+y 1 = 0 che, quindi, e un diametro di ogni conica non degenere del fascio (in particolare della circonferenza x 2 + y 2 2x = 0 come si poteva osservare subito). c) Per ragioni di simmetria, una parabola avente asse di equazione x y = 0 e passante per i punti A ( 1, 1) e B (1, 0) contiene anche i punti C (1, 1) e D (0, 1). Consideriamo allora il fascio di coniche passanti per i quattro punti A, B, C, D. Tale fascio ha equazione (x + y 1)(x + y) + k(x 1)(y 1) = 0, cioe x 2 + (k + 2)xy + y 2 (k + 1)x (k + 1)y + k = 0. Le coniche di tipo parabolico si ottengono per (k + 2) 2 4 = 0 cioe per k = 0 e per k = 4. Per k = 0 si ha una conica degenere di tipo parabolico, per k = 4 si ottiene la parabola x 2 2xy + y 2 + 3x + 3y 4 = 0 che ha come asse proprio la retta di equazione x y = Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino x + z 1 = 0 x + z = 0 x + y 3 = 0 le rette: r : y + z 2 = 0, s : y z 3 = 0, t : x + z 1 = 0. a) Esistono rette per O perpendicolari ad r, s e t contemporaneamente? Determinare la proiezione ortogonale di O sul piano contenente r e t. b) Esistono piani per O paralleli ad r, s e t contemporaneamente? Calcolare la distanza di O dalla retta r. c) Esistono rette per O incidenti r ed s? Calcolare la distanza di O dal piano contenente s e t. 36. Nel piano ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino le coniche: C 1 : x 2 + y 2 2y = 0, C 2 : x 2 y 2 = 0, C 3 : y x 2 = 0. 11

12 a) Determinare i punti singolari delle coniche degeneri del fascio individuato da C 1 e C 2. Nel fascio individuato da C 1 e C 2 esistono parabole con vertice nell origine? b) Determinare le componenti delle coniche degeneri del fascio individuato da C 1 e C 3. Esiste una coppia di diametri di C 3 che e coppia di assi di C 1? c) Determinare i punti all infinito delle coniche degeneri del fascio individuato da C 2 e C 3. E vero che C 1, C 2 e C 3 appartengono ad un medesimo fascio di coniche? 37. Nello spazio ordinario, considerato un riferimento cartesiano ortonormale, si considerino il punto P (0, 1, 0) e le rette: r : x y = 0 x + y = 0 y z = 0 x z = 1 s : t : z = 0 x 2z = 1. a) Esistono rette parallele ad r, incidenti s ed aventi distanza 1 da P? b) Esistono rette incidenti r, s e t e parallele al piano x = 0? c) Esistono rette per P e incidenti s e t? 38. Nel piano ordinario sia assegnato un riferimento cartesiano ortonormale. a) Esiste un iperbole avente per asintoti le rette x + y 1 = 0 e x y + 1 = 0 e un vertice nel punto V ( 1, 1)? b) Esiste un ellisse avente per assi le rette x + y = 0 e x y = 0 e passante per il punto P (1, 1)? c) Esiste una parabola avente vertice V (0, 0), retta tangente in V la retta x+y = 0 e passante per i punti Q 1 (2, 1) e Q 2 (1, 1)? 39. Nel piano ordinario, assegnato un riferimento cartesiano ortonormale RC(0, i, j), si considerino le coniche: C 1 : x 2 + y 2 2x = 0, C 2 : x 2 + 2y 2 2x 1 = 0, C 3 : 2x 2 + 3y 2 4x 1 = 0, C 4 : 3x 2 + 4y 2 6x 1 = 0, C 5 : x 2 + y 2 2y = 0. a) E vero che C 1, C 2 e C 3 appartengono al medesimo fascio? Esistono iperboli nel fascio individuato da C 1 e C 5 aventi una direzione asintotica parallela al vettore i? b) E vero che C 2, C 3 e C 4 appartengono al medesimo fascio? Esiste una conica del fascio individuato da C 1 e C 3 che ha come assi le rette di equazione x + y 1 = 0 e x y 1 = 0? c) E vero che C 3, C 4 e C 5 appartengono al medesimo fascio? Esistono parabole del fascio individuato da C 3 e C 5 aventi asse con direzione parallela al vettore i? 12