Geometria BAER Canale I Esercizi 11

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1 Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r con il vettore BO sia π/4 (O è l origine del riferimento cartesiano, l angolo tra retta e vettore è l angolo tra il vettore direttore di r dato dalle equazioni parametriche e il vettore). Suggerimento: per trovare B si usi il metodo del punto mobile, i.e. si scriva il vettore generico applicato in un punto di r con vertice nell origine. Soluzione: Il punto A è l intersezione del piano perpendicolare a r per l origine, dunque del piano di equazione x + y = 0. Sostituendo troviamo t + t = 0 dunque t = 0 e le coordinate di A sono (0, 0, 1). Il vettore generico da un punto di r all origine ha coordinate (t, t, 1) che ha norma 2t e prodotto scalare con il vettore (1, 1, 0) uguale a 2. Il vettore direttore ha norma 2 dunque dovremo avere 2t 2 2t2 + 1 = 1 2 dunque 2t = 2t Elevando al quadrato troviamo due soluzioni t = ± 1 2. Però, o ragionando geometricamente o osservando che 1/ 2 con il segno positivo non soddisfa l equazione sopra concludiamo che le coordinate dell unico punto B cercato sono (1/ 2, 1/ 2, 1). L esercizio si poteva anche risolvere osservando che se l angolo è π/4, il triangolo AOB è isoscele dunque si deve avere BA = AO. Esercizio 2. Si considerino le proiezioni sui piani coordinati p 1 (x, y, z) = (0, y, z), p 2 (x, y, z) = (x, 0, z), p 3 (x, y, z) = (x, y, 0). (a) Siano A, B, C tre punti dello spazio, si mostri che se per un i i punti p i (A), p i (B), p i (C) non sono allineati, allora A, B, C non sono allineati. (b) Si trovi un esempio di tre punti A, B, C non allineati t.c. p 2 (A), p 2 (B), p 2 (C) siano allineati. Soluzione: a) Supponiamo, per esempio, che p 1 (A), p 1 (B), p 1 (C) non siano allineati, allora il rango della ( ) 0 yc y matrice a z c z a è 2, dunque il minore µ 0 y b y a z b z 12,23 ha determinante non nullo. Dunque anche ( ) a xc x a y c y a z c z a contenendo lo stesso minore ha rango 2. x b x a y b y a z b z a b) (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Esercizio 3. (a) Si trovi l equazione della proiezione dell asse delle x (ossia la retta di equazioni piano di equazione x + y + z = 0 y = 0 z = 0 ) sul (b) È possibile trovare due rette che abbiano la stessa proiezione ortogonale su un piano?

2 Soluzione: a) Il piano che intersecato con π : x + y + z = 0 dà la proiezione dell asse x deve contenere l asse delle x, quindi i suoi parametri di giacitura (a, b, c) devono essere ortogonali al vettore (1, 0, 0). Inoltre deve essere perpendicolare a π dunque (a, b, c) deve essere perpendicolare a (1, 1, 1). Dunque a = 0, b = c. Inoltre deve passare per l origine (l asse x ci passa) dunque l unico piano che contiene l asse x x + y + z = 0 ed è perpendicolare a π è y z = 0, e la proiezione dell asse x su π è la retta r :. y z = 0 b) Si, ad esempio nel caso precedente tutte le rette del piano y z = 0, tranne quelle parallele al vettore ( 2, 1, 1) che hanno come proiezione ortogonale su π un punto (essendo ortogonali a π), hanno la stessa proiezione ortogonale dell asse x. Esercizio 4. (a) Determinare le equazioni delle rette che formano con l asse delle x un angolo di π/3 (suggerimento: cos(π/3) = 1/2). (b) Trovare le due rette per il punto A (0, 1) tali che, detti B e C i punti di intersezione con l asse x, il triangolo ABC sia equilatero. Soluzione: a) Determiniamo tutti i vettori di norma 1 che formano un angolo di π/4 con il vettore (1, 0): dobbiamo avere (1, 0), (a, b) = 1/2 e a 2 + b 2 = 1; dunque a = 1/2, b = ± 3 2. Quindi abbiamo due fasci di rette parallele 3x y + c = 0 con parametri direttori (1, 3) e 3x + y + d = 0 con parametri direttori (1, 3). b) Bisogna trovare, per i due fasci trovati al punto a) la retta per (0, 1). Imponendo il passaggio abbiamo c = 1 3, d = 1 3. Esercizio 5. Si consideri la retta r di equazione 2x y + 2 = 0 e l origine O (0, 0). (a) Trovare la proiezione ortogonale H di O su r e la distanza d(o, r). (b) Trovare il simmetrico di O rispetto a r Soluzione: a) La retta perpendicolare a r per l origine è la retta r : x + 2y = 0; l intersezione delle due rette è il punto H ( 4/5, 2/5). Si ha pertanto d(o, r) = 2/ 5. b) Il simmetrico di O rispetto a r si trova su r a distanza doppia da O rispetto ad H: dunque è il vertice del vettore 2 OH che dunque ha coordinate ( 8/5, 4/5). Esercizio 6. Trovare i punti del piano a distanza 2 dalla retta r di equazione 3x + 2y 2 = 0. Soluzione: I punti giacciono su due rette parallele ad r; per trovarne le equazioni basta trovare i termini noti. Consideriamo una qualsiasi retta perpendicolare ad r, ad esempio r : 2x 3y = 0 e consideriamo i due punti a distanza 2 da r su di essa: il punto generico di r ha coordinate (3t, 2t) e la distanza da r è d(t) = 9t + 4t 2 / 13 Imponendo d(t) = 2 si trova t = (2 ± 2 13)/13. Quindi i punti cercati sono quelli delle rette parallele ad r passanti per i punti ((6 ± 6 13)/13, (4 ± 4 13)/13). Esercizio 7. Si consideri il punto A (2, 0) e la retta r : 2x + y + 1 = 0 (a) Si trovi la distanza d(a, r). (b) Dati i punti B (0, 1), C ( 1, 1) si calcoli l area del triangolo ABC.

3 Soluzione: a) 5. b) Si noti che B, C r. L area cercata è 1/2d(A, r) BC = 5/2. Esercizio 8. Dimostrare che se AB, AC sono due vettori linearmente indipendenti, l area del parallelogramma da essi determinato è data da ( ) AB, AB AB, AC det. AB, AC AC, AC Soluzione: Dalla geometria elementare sappiamo che l area è data da AB AC sin θ, dove θ è l angolo tra i due vettori. Elevando tutto al quadrato possiamo scrivere il quadrato dell area come AB 2 AC 2 (1 cos 2 θ). Poichè cos θ = AB, AC / AB AC, abbiamo il risultato. Esercizio 9. Si dimostri la formula della distanza di un punto P di coordinate (x 0, y 0 ) da una retta di equazione r : ax + by + c = 0: d(p, r) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 Soluzione: La retta ortogonale a r per P ha equazioni parametriche x = x0 + at y = y 0 + bt Sostituendo nell equazione di r troviamo che l unico valore di t che la soddisfa è t 1 = ax0+by0+c a 2 +b, dunque 2 la proiezione ortogonale di P su r ha coordinate (x 0 + at 1, y 0 + bt 1 ), quindi la distanza tra P e la sua proiezione è (a 2 + b 2 )t 2 1 da cui la formula. Esercizio 10. Si consideri il fascio di piani di asse la retta x 2y + 3z + 5 = 0 r : x + 2z 1 = 0 si trovino il piano del fascio tale che (a) Contiene il punto di coordinate (3, 1, 2) Soluzione: 2y + z 4 = 0, (h = 1, k = 1) (b) Contiene il punto di coordinate (1, 2, 0) Soluzione: Tutti, il punto appartiene alla retta. (c) è parallelo al piano di equazione 3x 2y + 7z + 1 = 0 (d) Soluzione: 3x 2y +7z 7 = 0, (h = 1, k = 2) È perpendicolare al piano di equazione 4x 2y z + 2 = 0 Soluzione: 3x + 4y + 4z + 5 = 0, (h = 2, k = 5) (e) Contiene la retta di equazioni parametriche (x, y, z) t = ( t, t, 1)t

4 Soluzione: 2x 2y + 5z 6 = 0 (h = k = 1) Esercizio 11. Date le rette r : x + 2y + 2z 7 = 0 x z = 0 s : x y = 0 2x + 2y + z 4 = 0 (a) Si scrivano le equazioni parametriche di r, s e si dica se sono parallele, incidenti o sghembe. Soluzione: La retta r passa per il punto (0, 7/2, 0), i suoi numeri direttori sono dati dai determinanti dei minori di ordine 2 della matrice ( ) La retta s passa per il punto (0, 0, 4) e calcolando come per r i numeri direttori troviamo che sono (proporzionali a) (1, 1 4) Le equazioni parametriche dunque sono x = 2t r : y = 7 x = t 2 3t s : y = t z = 4 4t z = 2t I parametri direttori delle due rette non sono proporzionali quindi le rette non sono parallele. Mettendo a sistema le quattro equazioni di r e s, la seconda di r, x z = 0 e la prima di s, x y = 0 abbiamo x = y = z sostituendo nella prima equazione di r otteniamo 5x 7 = 0, invece sostituendo nella seconda equazione di s abbiamo 5x 4 = 0 dunque il sistema è incompatibile, le rette non si intersecano dunque sono sghembe. (b) Si trovi l equazione del piano π parallelo ad entrambe le rette contenente r. Soluzione: I parametri di giacitura di π devono essere ortogonali ai parametri direttori di entrambe le rette, dunque possiamo prendere il prodotto vettoriale dei vettori (2, 3, 2) e (1, 1, 4). Troviamo che il fascio di piani parallelo a entrambe le rette ha equazioni 10x + 10y + 5z + k = 0. Imponendo il passaggio per il punto (0, 7/2, 0) troviamo che il piano cercato è π : 2x + 2y + z 7 = 0 (c) Si trovino le equazioni cartesiane della retta proiezione ortogonale di s su π Soluzione: Consideriamo il fascio (ridotto) di rette in s: x y + k(2x + 2y + z 4) = 0; imponendo l ortogonalità a π troviamo k = 0. L equazione dell unico piano perpendicolare a π contenente s è x y = 0 e le equazioni cartesiane della proiezione di s su π sono 2x + 2y + z 7 = 0 x y = 0 (d) Si trovi l equazione dell intersezione della proiezione di s su π, trovata al punto precedente, con r e l equazione della retta di minima distanza tra r ed s Soluzione: r è contenuta in π, quindi basta trovare l intersezione con x y = 0 che è il punto H = (7/5, 7/5, 7/5). La retta di minima distanza è la retta ortogonale a π (e dunque sia a r che a s) passante per H, dunque ha equazioni parametriche (7/5 + 2t, 7/5 + 2t, 7/5 + t). Si può verificare che in effetti interseca s in (11/15, 11/15, 16/15) Esercizio 12. Si considerino il piano π : x + y + z = 5 e la retta x = 1 + t r : y = 2t z = t (a) Si scrivano le equazioni parameriche delle rette perpendicolari a π per il punto mobile di r (quindi avremo tre equazioni in due parametri). (b) Si elimino i parametri (come nel caso del passaggio da equazioni parametriche a quelle cartesiane nel piano) per ottenere un equazione di un piano π

5 (c) Si mostri che la retta π π è la proiezione di π su r. Soluzione: a) x = 1 + t + s y = 2t + s z = t + s b) π : x + 2y 3z 1 = 0 c) Il piano π è ortogonale a π perchè i parametri di giacitura sono le coordinate di vettori ortogonali, inoltre sostituendo le equazioni di r nell equazione di π otteniamo (1 + t) 4t + 3t 1 = 0. Quindi π è l unico piano ortogonale a π che contiene r. Esercizio 13. Si consideri la retta r : x + 1 = 0 ed il punto A (1, 0). Si determinino i punti P (x, y) del piano tali che d(p, r) = d(p, A). Soluzione: Abbiamo d(p, r) = x + 1, d(a, P ) = (x 1) 2 + y 2. I punti del semipiano a sinistra di r non possono soddisfare d(p, r) = d(p, A), per quelli a destra si ha x + 1 > 0 dunque cerchiamo x + 1 = (x 1)2 + y 2. Elevando al quadrato troviamo x = y 2 /4 dunque i punti P cercati hanno coordinate (t 2 /4, t) t R e descrivono una parabola. Esercizio 14. Si considerino i punti A (1, 3, 1), B (3, 4, 1), C (4, 1, 2). (a) Si determini se A, B, C sono allineati e se non lo sono, scrivere le equazioni cartesiane del piano π che li contiene. x + y + z 12 = 0 (b) Data la retta r : si determini r π x + 6y + 5z 10 = 0 (c) Si scrivano le equazioni parametriche della retta r parallela ad r passante per l origine. Soluzione: a) AB (2, 1, 2), AC (3, 2, 1). I due vettori sono lin. indip. quindi i tre punti non sono allineati. L equazione del piano si ottiene imponendo che il punto P (x, y, z) sia complanare ad A, B, C, dunque che il vettore AP (x 1, y 3, z 1) dipenda linearmente da AB, AC, quindi x 1 y 3 z 1 det = (3x + 8y + 7z 34) = Esercizio 15. Si consideri il piano π : 3x 2y+z+1 e il punto A (1, 2, 0). Si trovi l equazione parametrica della retta r passante per A, interamente contenuta in π e perpendicolare al vettore v di coordinate (1, 1, 1) Soluzione: Siano l, m, n i parmetri direttori di r. Si deve vere l m + n = 0 per la perpendicolarità a v. Inoltre, se r π in particolare é parallela a π dunque 3l 2m + n = 0. Le terne di numeri che soddisfano le due condizioni sono tutte proporzionali a (1, 2, 1). Dunque x = 1 + t r : y = 2 + 2t z = t. Esercizio 16. Si consideri il piano π : x + y z + 2 = 0

6 (a) Si scrivano le equazioni cartesiane della retta r perpendicolare a π passante per il punto (1, 1, 0) (b) Si scriva il fascio di piani per r e si mostri che ogni piano del fascio è perpendicolare a π. (c) Si trovi il piano del fascio passante per (0, 0, 2) e si scriva un sistema di equazioni cartesiane per la retta per i due punti (1, 1, 0), (0, 0, 2). Soluzione: a) I parametri di giacitura di un piano ortogonale a π soddisfano a + b c = 0. Scegliamo due soluzioni lin. indipendenti, ad esempio a = 1, b = 0, c = 1 e a = 0, b = 1, c = 1. imponendo il passaggio x + z 1 = 0 per (1, 1, 0) otteniamo le equazioni r : y + z 1 = 0. b) hx+ky +(k +h)z +k +h = 0, si vede che ogni piano del fascio soddisfa la condizione di perpendicolarità con π vista nella parte a). c) x y = 0 x y = 0 x + y + z 2 = 0. Esercizio 17. Si Considerino i punti A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 0, 1) (a) Si trovi il perimetro del triangolo ABC. (b) Si trovi l area del triangolo ABC (c) Si trovi l equazione del piano che contiene il triangolo ABC Soluzione: a) 3 2 b) 1/2 ( 1, 1, 0) ( 1, 0, 1) = 1/2 (1, 1, 1) = 3/2 c) il piano ha parametri di giacitura le coordinate del prodotto vettoriale in b), e passa per (1, 0, 0), dunque x + y + z 1 = 0. Esercizio 18. 2x y + z + 3 = 0 Si consideri la retta r :. x + y z = 0 (a) Si trovino i parametri direttori di r (b) Si trovino le equazioni cartesiane della retta r perpendicolare e incidente ad r passante per il punto P (0, 2, 1) e il punto di intersezione r r (c) L equazione del piano contenente r e r. Soluzione: a) (0, 1, 1). x = 1 b) Equazioni parametriche di r sono y = t, se Q è il punto mobile di r il vettore QP ha coordinate z = 1 + t ( 1, t 2, t). Imponendo la perpendicolarità a (0, 1, 1) si ottiene 2t 2 = 0, dunque il punto di intersezione x = t è ( 1, 1, 0). Equazioni parametriche per r sono y = 2 + t da cui si ricavano facilmente le cartesiane z = 1 t x y + 2 = 0 x + z + 1 = 0. c) Osserviamo che le coordinate di P soddisfano la prima delle due equazioni cartesiane di r, dunque il piano cercato ha equazione 2x y + z + 3 = 0.

7 Esercizio 19. Siano date le rette (a) Si trovi r s. x = 1 + 2t r : y = 2 t z = 1 t x = 3t s : y = 1 + t z = 1 + 2t (b) Si trovi l equazione del fascio di piani paralleli ad r ed s ed il piano (se esiste) che contiene r ed s. (c) L equazione del piano del fascio contenente la retta s per (0, 0, 1) parallela ad s. È vero che r ed s sono sghembe? (d) Si trovi l equazione del piano che contiene s ed s. Soluzione: a) il punto ( 15, 6, 9). b) I parametri di giacitura del piano sono ortogonali ai parametri direttori di entrambe le rette; possiamo prendere (2, 1, 1) ( 3, 1, 2) = (1, 1, 1), l equazione del fascio è x + y + z + k = 0, il piano che contiene le due rette si trova imponendo il passaggio per r s e si trova che é quello per l origine. c) x + y + z 1 = 0, si (sono contenute in piani paralleli e non sono parallele). d) 4x + 6y + 3z 3 = 0, ottenuto ad esempio imponendo il passaggio per (0, 1, 1), ( 3, 2, 1), (0, 0, 1) Esercizio 20. Si considerino le rette dipendenti da parametri reali k, h r : 2x + y = 1 4x 4y + z = h s : 2kx (2 + k)y + z = 3 (k + 1)y + kz = 5 (a) Per quali valori di k, h le rette si incontrano in un punto? (b) Per quali valori di k, h le rette sono parallele? (c) Per quali valori di k, h le rette sono sghembe? Soluzione: a) Consideriamo il sistema formato dalle quattro equazioni delle due rette. La matrice dei ( coefficiento ) è 4 3, e le due equazioni di r danno il minore di ordine 2 con determinante non nullo 2 1. Usiamo il teorema degli orlati e consideriamo il minore k (2 + k) 1 Con l operazione elementare R 3 R 3 +kr 1 troviamo una matrice che non dipende da k il cui determinante è nullo. Quindi il rango della matrice dei coefficienti del sistema formato dalle 4 equazioni sarà 3 se e solo se det = 6k k + 1 k. Veniamo alla matrice completa. Scrivendo come prima riga la prima equazione di s, le equazioni di r nell ordine come seconda e terza riga e la seconda equazione di s come quarte riga, e applicando le operazioni elementari R 1 R 1 (2 k)r 2, R 1 R 1 R 3 troviamo la matrice equivalente per righe (e con lo stesso determinante) k h h 0 k + 1 k 5

8 Perchè le rette si intersechino in un punto si deve avere che il rango delle matrici dei coefficienti e completa sia 3, quindi k 1/3, h = k + 1. b) Per quanto visto nella parte a) per k = 1/3; si possono anche calcolare i numeri direttori di r che sono (1, 2, 4) e quelli di s che sono ( k 2 3k 1, 2K 2, 2k 2 + 2k); affinchè siano proporzionali a (1, 2, 4) dovremo avere 2k 2 = +2k = 2( 2k 4 ), ossia 6k 2 + 2k = 0. Scartiamo k = 0 perchè non si avrebbe anche 2( k 2 3k 1) = 2k k, mentre per k = 1/3 anche questa equazione è soddisfatta e i parametri direttori di s sono ( 1/9, 2/9, 4/9) c) Negli altri casi (k 1/3, h k + 1).