GEOMETRIA /2009 II

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1 Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore: Dott. M. Paganin Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio : Nello spazio affine R 3, con riferimento O, e, siano date i la retta r passante per il punto P, di coordinate,,, e parallela al vettore v, di componenti rispetto ad e,,, e ii la retta s, definita dal sistema di equazioni X = X X 3 = 0. Stabilire se r e s sono rette sghembe. Svolgimento: La retta s ha giacitura data dal sistema omogeneo X = X X 3 = 0. Pertanto, risolvendo tale sistema, vediamo che la giacitura di s è il vettore w, di componenti rispetto ad e, 0,,. Poichè le due giaciture non sono proporzionali, si deduce che le rette r e s non sono parallele. Se non fossero sghembe, allora dovrebbero intersecarsi in un punto. I punti della retta r sono della forma P a tv, cioè hanno coordinate t, t, t al variare di t in R. Sostituire queste coordinate variabili nelle equazioni che definiscono s equivale a cercare il valore di t per cui si ha l eventuale intersezione tra r e s. Seguendo tale procedimento, si ottiene il sistema di equazioni lineari nel parametro t: t = 3t 5 = 0 che è manifestamente incompatibile. Quindi r s = ; pertanto le due rette sono sghembe Esercizio : Nel piano affine R, con riferimento O, e, sia dato il triangolo di vertici O = 0, 0, A =, 0 e B = 0,. Si considerino i parallelogrammi: OABC, avente OA ed AB per lati ed OB per diagonale, e OADB, avente OB ed OA per lati ed AB per diagonale. Sia E il punto di intersezione tra le rette r AC e r OD. Dimostrare che B, E ed il punto medio F del segmento OA sono allineati.

2 Svolgimento: La retta r A,B ha giacitura generata dal vettore B a A =, ; quindi un equazione che determina questa giacitura è Il punto C è l intersezione delle rette X X = 0. X X = 0 e X = quindi C =,. Il punto D è l intersezione delle rette X = e X = quindi D =,. La retta per A e C è la retta passante per A e con giacitura generata dal vettore C a A, quindi è Analogamente, quella per O e D è X X = 0. X X = 0; quindi, essendo E il punto di intersezione di queste ultime due rette, si ha E = /3, /3. Infine F, essendo punto medio del segmento OA, ha coordinate F = /, 0. La retta r E,F è quindi X X = 0. Le coordinate di B soddisfano quest equazione, quindi B appartiene a r E,F. Esercizio 3: Nel piano affine R, con riferimento cartesiano O, e, è data la retta r rappresentata dall equazione X X =. Determinare tutte le affinità di R che fissano tutti i punti di r e che trasformano il punto P =, nel punto Q =,. Svolgimento. Sappiamo che i luogo dei punti fissi di un affinità se non vuoto è per forza una varietà lineare. Allora per avere affinità che fissano tutti i punti di r basta determinare quelle affinità che fissano punti distinti di r. Infatti, poichè l unione di due punti distinti non è una varietà lineare, se questi restano fissi sotto l azione di un affinità f, allora tutti i punti della retta r restano fissi sotto l azione di f. Prendiamo allora i due punti P = 0, e P =, 0 su r. Un affinità è della forma a a x b fx = A x b =, a a x b

3 3 con A matrice invertibile. Se imponiamo fp = P, fp = P, otteniamo 0 a a 0 = a a e a a = 0 a a 0 Si ottiene il sistema di 4 equazioni: a = a, a = a, b = a, b = a. Quindi, le affinità che fissano tutti i punti di r sono dato che sono della forma: a a x a, a a x a con a, a R parametri indipendenti, tali che a a, per la condizione di invertibilità di A. Ora imponiamo la condizione ulteriore che fp = Q, che fornisce Si determina allora = a a a a a = 3, a =. b b b b a. a Dunque esiste un unica affinità che soddisfa tutte le condizioni richieste. Le equazioni di tale affinità sono: Y = 3X X Y = X X. Esercizio 4: Siano v =,, w =, due vettori del piano cartesiano R. Sia S l isometria lineare data dalla riflessione rispetto all asse x, i.e. rispetto a Line. Calcolare OrSv, Sw. Svolgimento. i Osserviamo che det = = Orv, w.

4 4 perciò la coppia ordinata di vettori è una base per R che, inoltre, è orientata positivamente. ii Riflettere rispetto all asse x vuol dire che, per ogni vettore x = x, x, Sx = x, x. Pertanto, l isometria lineare S è 0 x 0 0 x Sx = =. 0 x 0 0 x 0 Denotata con M = la matrice ortogonale dell isometria S, det M = 0 cioè S è un isometria lineare inversa. Pertanto OrSv, Sw = detm Orv, w =, i.e. la base non è equiorientata con e. b = Sv, Sw Esercizio 5: Determinare tutte le rette passanti per P =, e formanti con l asse x un angolo convesso pari a π/3. Determinare i due angoli convessi fra le due rette ottenute. Svolgimento: Sia r = l, m un vettore direttore di una delle rette da determinare. Allora: = cosπ 3 = r ±e r e = ±l l m, che determina l = ± 3 m. Otteniamo percio, a meno di proporzionalita, due vettori direttori: r =, 3 e r =, 3. Le equazioni cartesiane delle rette cercate sono: Ora r : 3x x 3 = 0 e r : 3x x 3 = 0. quindi θ = {π/3, π/3}. cosθr, r = cosθ±r, r = ±,

5 5 Esercizio 6: Siano assegnate le rette: { s : x = x = t t, t R s : x x = 0 e s 3 : x x = 0. i Determinare un equazione cartesiana di s ; ii Determinare un equazione cartesiana della retta r parallela ad s e passante per P 0 = s s 3 ; iii Determinare l equazione cartesiana della retta n per P = s s e perpendicolare a s 3 ; iv Verificare che la retta per i punti Q =, /4 e Q =, /4 e parallela a s. Tale retta coincide con s? Svolgimento: i Poiche x = t, un equazione cartesiana e x = x, cioe x x = 0. ii Per determinare il punto P 0 basta risolvere il sistema lineare non omogeneo che ha come soluzione x x = x x = 0 x = 3/5, x = 4/5. Un vettore direttore della retta s e,, equivalentemente,. Quindi, l equazione cartesiana della retta che si vuole determinare sara data da: x x 7 5 = 0. iii Per trovare le coordinate di P, basta sostituire nell equazione di s, x = t e x = t, che determina t = /3, cioe x = /3, x = /3. Un vettore normale a s 3 e,, come si determina direttamente dalla sua equazione cartesiana. Percio la retta cercata e quella che passa per P e che ha parametri direttori,, cioe : x x = 0. iv Un vettore direttore della retta per Q e Q e dato dal vettore OQ OQ =, /. Quindi, un vettore direttore e anche,, che e un vettore direttore anche di

6 6 s. Ora pero la retta per Q e Q e parallella a s ma non coincide con s perche, ad esempio, le coordinate di Q non soddisfano l equazione di s. Esercizio 7: Siano assegnati i punti P =,, Q =,, R =, 0. i Dopo aver verificato che i 3 punti formano i vertici di un triangolo T, determinare l area del triangolo T. ii Scrivere le equazioni delle mediane di T e delle tre altezze di T. iii Trovare il punto Q simmetrico di Q rispetto a P e la retta r simmetrica rispetto a P della retta r RQ. Svolgimento: i I tre punti non sono allineati. Quindi formano i vertici di un triangolo. Per trovare l area del triangolo T, basta calcolare con la formula del valore assoluto del determinante diviso per le aree: a del triangolo con vertici O, P, Q, a del triangolo con vertici O, P, R ed a 3 del triangolo con vertici O, R, Q. L area cercata sara data da a a a 3. ii Una mediana di un triangolo e ottenuta dalla retta che passa per un vertice del triangolo e per il punto medio del lato del triangolo che e opposto a tale vertice. Per calcolare ad esempio la mediana uscente da P, basta calcolare la retta per P e per il punto medio del segmento QR, che ha coordinate 3/, /. Analogamente per le altre mediane. L altezza di un triangolo uscente da un suo vertice e ottenuta considerando la retta passante per il vertice e perpendicolare alla retta congiungente gli altri due vertici. Percio, l altezza di T rispetto ad esempio al vertice P e determinata dalla retta per P e perpendicolare alla retta per i due punti Q e R. Analogamente per le altre altezze. iii Il punto Q e il punto, diverso da Q, che giace sulla retta per P e Q e che e a distanza pari a dp, Q da P. La retta r e la retta parallela alla retta per R e Q e che passa per Q trovato precedentemente.

7 7 Esercizio 8: Nel piano cartesiano R sono dati i tre punti non allineati di coordinate, rispetto ad E,: 3 P = P = P 3 =. 0 Si considerino tali punti come vertici di un triangolo Λ. i Il punto Q che e intersezione delle tre altezze del triangolo Λ viene detto l ortocentro del triangolo Λ. Calcolare le coordinate dell ortocentro di Λ. ii Determinare l area di Λ. Svolgimento: i Un vettore direttore della retta per P e P e dato da P P = 4,. Analogamente, un vettore direttore della retta per P e P 3 e, e per P e P 3 e 3,. Ora dobbiamo considerare, per ogni i j k 3, la retta per P i e perpendicolare alla retta per P j e P k. Le equazioni di queste tre rette sono x x 3 = 0, 3x x 9 = 0, x x 3 = 0. Risolvendo il sistema fra due di queste tre rette troviamo il punto di coordinate x = 6 e x = 9. Poiche tale punto appartiene pure alla terza retta, allora queste sono proprio le coordinate dell ortocentro. ii Il segmento P P misura 5. La retta per P e P ha equazioni parametriche x = 4t, x = t mentre la retta per P 3 e perpendicolare ad essa ha equazioni parametriche x = s, x = 4s. Il punto di intersezione di tali due rette e il punto H di coordinate 9/5, 3/5, che corrisponde al punto sulla seconda retta relativo al valore del parametro s = /0. L altezza di Λ relativa al cateto P P e quindi il segmento P 3 H che misura 5/5. Percio, l area di Λ e aλ =.