x 1 Fig.1 Il punto P = P =

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1 Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi due rette perpendicolari che si incontrano in : una retta come asse delle ascisse e l altra come asse delle ordinate Fissiamo su di esse un verso ed un unità di misura Adesso possiamo introdurre le coordinate nel solito modo: ad un arbitrario punto P del piano associamo un coppia di numeri reali, ove indica la proiezione di P sull asse delle ascisse e la proiezione di P sull asse delle ordinate P Fig Il punto P = nel piano R 2 Le coordinate e individuano il punto P in modo unico, così possiamo identificare i punti P del piano con le coppie : P = Per esempio, i punti sull asse delle ascisse sono quelli che soddisfano l equazione =, mentre i punti sull asse delle ordinate sono quelli che soddisfano l equazione = L origine è il punto L insieme delle coppie ordinate si chiama piano cartesiano e si indica con R 2 : R 2 = { :, R} In seguito, indicheremo con anche il vettore uscente dall origine e di estremo il punto Per vettore si intende un segmento orientato, di cui un estremo rappresenta l inizio e l altro la fine Un vettore può essere raffigurato mediante una freccia Il vettore =, di lunghezza zero, si chiama vettore nullo

2 Fig2 Il vettore = Sarà chiaro dal contesto se estremo per y y 2 andrà visto come un punto del piano o come un vettore uscente da di, e similmente y Per semplicità di notazione, scriveremo spesso sottointendendo =, etc I numeri reali λ verranno anche chiamati scalari, per distinguerli dagli oggetti vettoriali Definizione Siano e y due vettori in R 2 Allora la somma + y di e y è il vettore dato da + y + y = + y 2 Il vettore opposto del vettore è il vettore = y La differenza y dei vettori e y è il vettore y = y 2 Definizione Per λ R, il prodotto di per λ è il vettore dato da λ λ = λ Se λ >, il vettore λ ha la stessa direzione e lo stesso verso di ; se λ <, il vettore λ ha la stessa direzione ma verso opposto a quello di Se infine λ =, allora λ è il vettore nullo 2

3 2 2 2 Fig3 Il vettore e il vettore 2 y La somma di due vettori e y ha un interpretazione geometrica: traslando il vettore y = fino a farlo y 2 uscire dall estremo di, si ha che il vettore risultante ha come secondo estremo il punto di coordinate + y Questo procedimento per trovare la somma di due vettori si chiama regola del parallelogramma: + y 2 infatti, il vettore somma + y coincide con la diagonale del parallelogramma costruito sui vettori e y y +y Fig4 La somma + y di due vettori con la regola del parallelogramma Similmente, la differenza di e y si trova traslando il vettore y fino a farlo uscire dall estremo di y Nota che il vettore y è parallelo al segmento congiungente e ed ha la sua stessa lunghezza 3 y 2

4 y -y -y Fig5 La differenza y di due vettori La somma fra vettori e la moltiplicazione dei vettori per gli scalari godono delle seguenti proprietà: Proposizione i Proprietà associativa della somma Per ogni, y, z R 2 ii Proprietà commutativa Per ogni, y R 2 + y + z = + y + z; + y = y + ; iii Proprietà associativa del prodotto Per ogni λ, µ R λµ = λµ; iv Proprietà distributiva Per ogni, y R 2 e λ, µ R λ + y = λ + λy, λ + µ = λ + µ Dimostrazione Queste proprietà sono semplici conseguenze delle analoghe proprietà dei numeri reali Definizione Prodotto scalare Dati due vettori e y in R 2 il prodotto scalare y è il numero reale dato da y = y + y 2 Il prodotto scalare è molto importante nello studio della geometria del piano R 2 Esso gode delle seguenti proprietà Proposizione 2 i Proprietà commutativa Per ogni, y R 2 ii Proprietà distributiva Per ogni, y, z R 2 y = y ; y + z = y + z; 4

5 iii Omogeneità Per ogni, y R 2 ed ogni λ R λ y = λ y = λy; iv Positività Per ogni R 2, Dimostrazione Il punto i segue da Il punto ii segue da Confrontando le quantità = se e soltanto se = y = y + y 2 = y + y 2 = y y + z = y + z + y 2 + z 2 = = y + y 2 + z + z 2 = = y + z otteniamo iii Per dimostrare iv, osserviamo che λ y = λ y + y 2 = λ y + λ y 2, λ y = λ y + λ y 2 = λ y + λ y 2, λy = λy + λy 2 = λ y + λ y 2, = + 2 Poiché i quadrati di numeri reali sono sempre non negativi, si ha che Se =, chiaramente = + = Viceversa, se per un vettore R 2 vale =, allora + 2 = Ciò è possibile solo se = = e la dimostrazione della proposizione è completa Definizione La norma di un vettore R 2 è definita da = = Per il Teorema di Pitagora, la norma del vettore è uguale alla lunghezza del segmento congiungente i suoi estremi e Equivalentemente, la norma di è la distanza del punto dall origine Fig6 Il Teorema di Pitagora 5

6 Analogamente, dalla Fig5 vediamo che y è la distanza fra i punti diamo un interpretazione geometrica del prodotto scalare fra vettori Proposizione 3 Siano e y due vettori in R 2 i Allora y = y cos ϕ, dove ϕ è l angolo fra i vettori e y ii I vettori e y sono perpendicolari se e soltanto se y = Dimostrazione Consideriamo il triangolo di vertici i punti, e y e y y 2 Usando la norma, y -y y sinθ θ y cosθ Fig7 La regola del coseno Dalla Fig7, vediamo che i lati del triangolo hanno lunghezze, y e y Applicando la regola del coseno vedi Esercizi, troviamo Dalla definizione stessa della norma abbiamo e quindi y 2 = 2 + y 2 2 y cos ϕ y 2 + y 2 2 = + y y y cos ϕ 2 y 2 y 2 = 2 y cos ϕ come richiesto Per la parte ii, osserviamo che cos ϕ = se e soltanto se ϕ = ±π/2, cioè se e soltanto se ϕ è un angolo retto Corollario 4 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Siano e y vettori in R 2 Allora y y Dimostrazione Questo segue dal fatto che cos ϕ Proposizione 5 Siano e y vettori in R 2 Allora i Disugualianza triangolare + y + y ; ii Per ogni λ R λ = λ 6

7 Dimostrazione Diamo due dimostrazioni del punto i La prima è geometrica e la seconda è algebrica Dalla Fig4 segue che il triangolo di vertici, e +y ha lati di lunghezza, y e +y rispettivamente È chiaro che la somma delle lunghezze di due qualunque dei lati di un triangolo è maggiore o uguale della lunghezza del terzo lato: se non fosse così, il triangolo non si chiuderebbe In particolare + y + y come richiesto La seconda dimostrazione usa la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz del Cor4 Abbiamo + y 2 = + y y 2 2 = y 2 + y y + y 2 = 2 + y y 2 + y y = + y 2 Poiché + y e + y sono numeri non negativi, possiamo estrarne le radici quadrate e ottenere la disuguaglianza triangolare Per la parte ii, calcoliamo λ 2 = λ 2 + λ 2 = λ = λ 2 2 Estraendo la radici quadrate, troviamo λ = λ = λ come richiesto + y y Fig8 La disuguaglianza triangolare Come applicazione del prodotto scalare, determiniamo adesso la proiezione ortogonale di un vettore su una retta l, passante per e per un vettore non nullo y 7

8 π y y l Fig9 La proiezione del vettore su l Proposizione 6 Siano e y vettori in R 2 Supponiamo che y La proiezione ortogonale π di sulla retta passante per e y è un multiplo cy di y Il valore dello scalare c R è c = y cos ϕ = y y 2 Dimostrazione Poiché la proiezione è ortogonale, abbiamo che Con la sostituzione π = cy, troviamo π y = = π y = cy y = cy y y = c y 2 y, da cui c = y/ y 2 come richiesto Poiché y = y cos ϕ, la costante c è anche uguale a c = y cos ϕ/ y 2 = / y cos ϕ Questo conclude la dimostrazione della proposizione Dati due vettori e y, calcoliamo infine l area del triangolo di vertici,, y y o Fig Il triangolo di vertici,, y 8

9 Proposizione 7 L area del triangolo di vertici,, y è data da Dimostrazione Sia A l area del triangolo dunque uguale a Allora Estraendo le radici quadrate troviamo come richiesto 2 y 2 y Poiché l altezza del triangolo è uguale a y sen ϕ, l area è A = 2 y sen ϕ 2A 2 = 2 y 2 sen 2 ϕ = 2 y 2 cos 2 ϕ = 2 y 2 y cos ϕ 2 = + 2y 2 + y 2 2 y + y 2 2 = y 2 y 2 2A = y 2 y Osserviamo che l espressione 2A = y 2 y è uguale all area del paralellogramma di vertici,, y e + y y +y o Fig Il paralellogramma di vertici,, y e + y y Osserviamo infine che l espressione y 2 y è uguale al determinante della matrice y 2 Esercizi A Siano = e y = 2 3 i Calcolare e disegnare i vettori, 2,, ii Calcolare e disegnare i vettori + y, y, 3y, e 3 y iii Calcolare, y, + y e y B Trigonometria elementare Sia ϕ R un angolo Il seno ed il coseno di ϕ sono, per definizione, le coordinate del vettore di norma =, che forma un angolo ϕ con l asse delle ascisse positive cos ϕ = sen ϕ 9

10 i Dimostrare che sen ϕ e cos ϕ ii Dimostrare che cos 2 ϕ + sen 2 ϕ = C La regola del coseno Sia ABC un triangolo con lati di lunghezza a, b c ed angoli α, β e γ Sia Q la proiezione ortogonale di C sul lato AB i Far vedere che CQ = b sen α e AQ = b cos α ii Applicare il Teorema di Pitagora al triangolo CQB e dedurre la relazione a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α 4 D Siano = e y = 4 i Calcolare il coseno dell angolo ϕ fra i vettori e y ii Calcolare il coseno dell angolo ϕ fra i vettori e y iii Calcolare il coseno dell angolo ϕ fra i vettori e 2y E Sia = 4 Trovare un vettore y R 2 tale che l angolo fra e y sia uguale a π/3 F Trovare, y R 2 non nulli tali che i + y = + y ii + y = iii = y = + y G Siano, y R 2 e sia p il vettore p = + y /2 + y 2 /2 i Calcolare la distanza p di p da e la distanza y p di p da y ii Calcolare la distanza y da a y Far vedere che p + y p = y iii Dedurre che p è il punto medio fra e y cos ϕ cos ψ H Sia = e sia y = sen ϕ sen ψ i Calcolare y ii Dimostrare che cosϕ ψ = cos ϕ cos ψ + sen ϕ sen ψ I Sia R 2 un vettore non nullo Dimostrare che / è un vettore di norma 4 L Siano = e y = 3 i Calcolare l area del triangolo di vertici, e y ii Calcolare l area del paralellogramma di vertici,, y e + y iii Calcolare l area del paralellogramma di vertici,, y e y M Siano =, y = e z = Calcolare l area del triangolo di vertici, y e z N Siano = e y = i Calcolare l area del triangolo di vertici, e y ii Trovare, y R 2 con,, y, y 2 > tali che il triangolo di vertici, e y abbia area