Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)

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1 Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto scalare, norma. Cap : In R 3 : equazione della retta, equazione del piano. Cap.1.1: Cenni di topologia di R n : intorno di un punto, punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti, chiusi. R n è l insieme delle n uple ordinate di numeri reali x = (x 1, x 2,..., x n ). Un elemento di R n è detto vettore se n 2, e lo indichiamo con carattere grassetto; se n = 1 è detto scalare (carattere.normale). Se n = 2 un vettore P è un punto del piano cartesiano, se n = 3 è un punto dello spazio, e parliamo indifferentemente di punti o vettori. Ad un vettore P di R 2 o R 3 associamo una direzione, cioè quella del segmento OP che unisce l origine degli assi O e il punto P, un verso, da O a P, e una lunghezza data dalla norma di P (vedi più avanti). Operazioni in R n. Somma La somma di vettori è somma per componenti: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ). Prodotto esterno. Il prodotto di un vettore x per uno scalare λ R è il vettore dato da λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ). Se λ > 0, x e λx hanno stessa direzione, cioè sono paralleli, e stesso verso, cioè sono concordi. Se λ < 0 hanno verso opposto (discordi). I vettori x e x sono opposti. Norma (euclidea). La norma di un vettore x = (x 1, x 2,..., x n ) di R n è il numero reale definito da x := n (x i ) 2 Ha le proprietà seguenti x, y R n : 1) x 0 e x = 0 x = 0; 2) λx = λ x, λ R; 3) x + y x + y (disuguaglianza triangolare); i=1 1

2 Un versore è un vettore di norma 1. Dato un vettore v 0, allora u = v è un versore, cioè u = 1, parallelo e concorde a v. v Prodotto scalare (o prodotto interno). vettori x e y è il numero reale x y := n x i y i i=1 Il prodotto scalare di due Proprietà del prodotto scalare. a) x y R b) x y = y x c) λx y = x λy =λ(x y), λ R d) x x = x 2 e) x y x y (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). In R 2 e in R 3 si dimostra che x y = x y cos θ, dove θ [0, π] è l angolo compreso tra i due vettori x e y. In R n l angolo compreso tra due vettori x e y è definito come quell angolo θ [0, π] tale che soddisfa ( ) x y cioè θ := arccos. x y x y = x y cos θ Ortogonalità. Se il prodotto scalare è nullo, x y =0, i due vettori si dicono ortogonali (o perpendicolari). La base canonica di R n è costituita dai versori e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),...,e n = (0,..., 0, 1), e si può scrivere x = n x k e k. k=1 In R 2 i versori degli assi cartesiani si indicano comunemente con i = (1, 0), j = (0, 1), e sono ortogonali tra loro (verificare con la definizione data sopra). In R 3 i versori degli assi cartesiani si indicano comunemente con i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), essi sono mutuamente ortogonali, e formano una terna destrorsa. 2

3 In R 3 ( e solo in questo spazio a 3 dimensioni) si definisce il prodotto vettoriale (def 5, cap. 1.3). Prodotto vettoriale. Il prodotto vettoriale di due vettori x e y è l unico vettore, indicato con x y, che soddisfa le tre condizioni seguenti: (i) (x y) x = 0 e (x y) y = 0; (ii) x y = x y sin(θ), dove θ è l angolo compreso fra x e y; (iii) x, y e x y formano una terna destrorsa. Si dimostra che, se x = (x 1, x 2, x 3 ) e y = (y 1, y 2, y 3 ), allora i j k x y = x 1 x 2 x 3 (determinante) y 1 y 2 y 3 Si dimostra facilmente dalla (ii) che x y è uguale all area del parallelogramma che ha per lati i vettori x e y (aventi un vertice in comune). Si dimostra (meno facilmente) che (x y) w è uguale al volume del parallelepipedo che ha per lati i vettori x, y e w. Piano in R 3. Un piano passante per P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) con vettore normale (al piano) n = (A, B, C) è l insieme di tutti i punti P =(x, y, z) di R 3 soddisfacenti l equazione n (P P 0 ) =0, (forma vettoriale) ovvero A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0, (forma scalare) o anche Ax + By + Cz = D, dove D = Ax 0 + By 0 + Cz 0. Tre punti non allineati P, Q, R, individuano un piano τ. Detti u = P Q e v = R Q. Per la (i), il prodotto vettoriale (u v) è ortogonale sia a u che a v e quindi è un vettore parallelo alla normale al piano τ. Es. Dati i tre punti S = (0, 1, 0), Q = ( 1, 2, 1), R = ( 1, 0, 1), scrivere l equazione del piano da essi individuato. 3

4 Siano u = P Q = (1, 1, 1), v = P R = (1, 1, 1). La direzione della normale al piano è uguale a i j k u v = = 2i+2k =(2, 0, 2) Se indichiamo con P =(x, y, z) il generico punto nello spazio tridimendionale, allora l equazione del piano è (u v) (P S) =0, cioè nel nostro caso x + z = 0 Retta in R n.una retta per passante per a di direzione v ha equazione parametrica vettoriale La semiretta di origine a x = a + tv, t R. e direzione e verso di v ha equazione: x = a + tv, t 0. Il segmento di estremi a, b percorso da a a b ha equazione: x = ta + (1 t)b, 0 t 1. In R 3, detto a =(a, b, c), e v = (v 1, v 2, v 3 ) il vettore direzione, le equazioni parametriche scalari della retta sono o anche x = a + tv 1 y = b + tv 2 z = c + tv 3 x a v 1 = y b v 2, t R = z c v 3 Si noti che in questo modo la retta è rappresentata dall intersezione di due piani. Es. Le equazioni x = 2 + t y = 3t, t R z = 5 rappresentano una retta passante per a =(2, 0, 5) parallela al vettore v =(1, 3, 0), ed è intersezione del piano z = 5 col piano y = 3(x 2). 4

5 Es.: La retta in R 2 di equazione y = mx + q ha la( direzione del vettore) u = 1 (1, m); il versore parallelo e concorde a u è v =, m ; il 1 + m m 2 versore parallelo e discorde a u è v. Si noti che, se m = tg(θ), allora 1 = cos(θ) e m = sin(θ). Un vettore perpendicolare alla 1 + m m 2 retta è w = (1, 1 m ). La retta in R 2 di equazione ax+by +c = 0 ha ( la direzione del vettore ) u = b (b, a); il versore parallelo e concorde a u è v = a2 + b, a,.quello 2 a2 + b 2 discorde è v. Un vettore perpendicolare alla retta è w = (a, b). Es. In R 2 trovare i versori u nella direzione della retta 3x 2y + 5 = 0 e quelli w nella direzione ortogonale: la retta ha equazione 2y = 3 x + 5 (m = 3/2) ed è parallela al vettore v =(2, 3), quindi u 1 = v v = ( 2 3, ), u 2 = u 1 ; la direzione ortogonale a v è c =(3, 2), (in questo caso m = 2/3) quindi w 1 = c c = ( 3, 2 ), w 2 = w Cenni di topologia di R n Siano D, F insiemi di R n. D c indica l insieme complementare di D in R n. Intorno U r (a) di un punto a di raggio r > 0 è l insieme: U r (a) = {x R n : x a < r} per esempio: in R, U r (a) = (a { r, a + r); in R 2, se a=(a,b) U r (a, b) = (x, y) R 2 : } (x a) 2 + (y b) 2 < r cioè un disco privato del bordo, di centro (a, b) e raggio r; in R 3, a=(a,b,c) U r (a, b, c) è una sfera (priva della superficie esterna) di centro (a, b, c) e raggio r. a è punto interno a D se esiste un intorno di a tutto contenuto in D. a è punto esterno a D se a è interno a D c, complementare di D. a è di frontiera di D se in ogni intorno di a ci sono punti di D e punti di D c. a è punto di accumulazione di D se in ogni intorno di a ci sono infiniti elementi di D. Un punto di accumulazione di D può essere punto interno o di frontiera. 5

6 D è insieme aperto se ogni suo punto è punto interno a D. F è insieme chiuso se F c è aperto. L insieme vuoto e l insieme totale R n sono sia aperti che chiusi. 6