Prodotto scalare e norma

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1 Capitolo 7 Prodotto scalare e norma Riprendiamo ora lo studio dei vettori da un punto di vista più geometrico. È noto, per esempio dalla Fisica, che spesso è comodo visualizzare un vettore del piano o dello spazio come una frecciolina, caratterizzata da una lunghezza, una direzione ed un verso (o orientamento); si vede subito che se il vettore v è spiccato dall origine, esso è completamente individuato dal suo secondo estremo. Abbiamo già visto che i punti di una retta orientata possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri reali; se ora consideriamo, invece, due rette, per comodità perpendicolari, e fissiamo su ciascuna di esse un unità di misura (in genere la stessa), ad ogni punto del piano corrisponde una coppia ordinata di numeri reali. Così facendo abbiamo fissato quello che si chiama un sistema di riferimento cartesiano 1 ortogonale. Nello spazio la generalizzazione non è immediata: bisogna considerare come assi tre rette orientate concorrenti 2 e a due a due perpendicolari e chiamare coordinate cartesiane del punto P le tre distanze di P dai tre piani che queste rette a due a due formano; se le tre rette si chiamano rispettivamente x, y e z si ha, per esempio: x P = distanza (P, yz), dove, con yz abbiamo indicato il piano individuato dai due assi y e z. Il punto P può anche essere visto come il secondo estremo di un vettore spiccato dall origine, che, come già detto, è completamente individuato dalle sue coordinate; in R 2 scriviamo quindi OP = v = [x, y], in cui x, y sono le coordinate cartesiane del punto P (x, y) nel sistema di riferimento scelto, mettendo così in luce che si tratta di un vettore del piano, cioè di R 2. In modo analogo parliamo di vettori nello spazio come di vettori di R 3 : OP = v = [x, y, z] in cui le coordinate cartesiane del punto P (x, y, z) sono x, y, z. Le operazioni tra vettori che abbiamo imparato a conoscere nel capitolo precedente si visualizzano tra i vettori geometrici. La somma di due vettori si definisce con la regola del parallelogrammo. Per il prodotto di un vettore per uno scalare λ prendiamo in considerazione i tre casi seguenti: λ > 0 allora λop è il vettore OP con la lunghezza moltiplicata per λ; λ = 0 allora λop è il vettore nullo; 1 da Cartesio: Renée DESCARTES, 1569, La Haye (Francia) 1650, Stoccolma (Svezia). 2 cioè passanti tutte e tre per un medesimo punto.

2 43 λ < 0 allora λop è il vettore OP con la lunghezza moltiplicata per λ e di verso opposto. Queste operazioni corrispondono alle operazioni già viste e in R 2 e e λ[x, y] = [λx, λy] [x, y] + [x, y ] = [x + x, y + y ] λ[x, y, z] = [λx, λy, λz] [x, y, z] + [x, y, z ] = [x + x, y + y, z + z ] in R 3. Anche i concetti di dipendenza ed indipendenza lineare hanno una facile interpretazione geometrica, infatti si vede subito che due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se stanno su una stessa retta e tre vettori se e solo se sono complanari. Se identifichiamo gli elementi dello spazio vettoriale R 2 con i segmenti orientati spiccati dall origine nel piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, si nota che ad ogni vettore di R 2 risulta associato un numero reale non negativo: la lunghezza del segmento OP. Definiamo allora la norma 3 di un vettore v = [x, y] R 2 come [x, y] = x 2 + y 2 (7.1) e in R 3 v = [x, y, z] = x 2 + y 2 + z 2. (7.2) La norma verifica queste proprietà, dove, per noi, V R 2 oppure V R 3 : i) v 0 v V ; ii) v = 0 v = 0; iii) λv = λ v v V e λ R; iv) u + v u + v, u, v V. Le proprietài)... ii) sono banali; la iv) è la disuguaglianza triangolare che abbiamo già visto. Dalle proprietà della norma appare chiaro come si può definire una distanza in R 2 o in R 3. Infatti se poniamo d(u, v) = u v (7.3) si verifica immediatamente che valgono per ogni u, v, w le proprietà (caratterizzanti una distanza) 3 In realtà si puo dare una definizione di norma e di prodotto scalare in uno spazio vettoriale qualsiasi, e non solo in R n.

3 44 i) d(u, v) 0; ii) d(u, v) = 0 v = u; iii) d(u, v) = d(v, u); iv) d(u, v) d(u, w) + d(w, v). Osserviamo esplicitamente che se si identificano R 3 e R 2 con lo spazio ed il piano riferiti a coordinate cartesiane ortogonali, la distanza definita dalla (7.3) coincide con quella usualmente definita. Definiamo prodotto scalare 4 di due vettori v e w di R 2 il numero reale e in R 3 il numero reale v, w = [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2 (7.4) v, w = [x 1, y 1, z 1 ], [x 2, y 2, z 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. (7.5) Occorre precisare che, formalmente, il prodotto scalare come è stato definito dalle (7.4) e (7.5) equivale al prodotto vw T, pensando v come matrice costituita da una sola riga e w T come matrice di una sola colonna. In realtà questa equivalenza è solo formale, in quanto, in quest ultimo caso, otteniamo una matrice composta da un solo elemento: uno scalare 5 (v. nota 4, pag. 15), che, in molti contesti, possiamo assimilare. Per esempio oppure [ 2 3 [4, 3, 1], [0, 3, 4] = ( 3) + ( 1)4 = 13 ] [ 3, 1 ] = 2( 3) = 3 (nel secondo esempio abbiamo usato vettori colonna, per sottolineare l assoluta intercambiabilità, in questo contesto, delle due notazioni). Il prodotto scalare è legato alla norma dalla relazione u, u = u. (7.6) Inoltre valgono le proprietà: i) u, u 0 u V ii) u, u = 0 u = 0 iii) u, v = v, u u, v V iv) λv, u = λ u, v = u, λv u, v V e λ R v) u, v + w = u, v + u, w u, v, w V 4 Da non confondere con il prodotto per uno scalare: si noti che il prodotto scalare, associa ad una coppia ordinata di vettori un numero reale, mentre il prodotto per uno scalare associa ad una coppia scalare vettore un vettore. 5 nel nosrto caso un numero reale

4 45 semplicissime da dimostrare tenendo conto della definizione, e la cui dimostrazione è proposta come esercizio. Sussiste il seguente teorema Teorema 7.1 Siano u e v due vettori di R 2 o di R 3 e si considerino i segmenti orientati ad essi associati nel piano o nello spazio riferiti a sistemi di coordinate ortogonali. Allora u, v = u v cos ϕ (7.7) dove ϕ [0, π] è l ampiezza dell angolo fra i due segmenti. La dimostrazione è un immediata conseguenza del Teorema del coseno e delle proprietà del prodotto scalare. Per esempio siano dati in R 2 i due vettori u = [1, 3] e v = [2, 5], vogliamo conoscere l angolo ϕ che formano i segmenti orientati ad essi associati; il loro prodotto scalare è u, v = ( 3)5 = 13. Inoltre u = 10 e v = 29 u, v u v = 2 2 si deduce che 3π 4 < ϕ < 5π 6. dunque l angolo fra i due segmenti orientati sarà tale che cos ϕ = 13 3 ; osservando che < 13 < 290 Un vettore u = [a, b, c] si dice unitario o versore se ha norma 1, cioè se u = 1, quindi se a 2 + b 2 + c 2 = 1. Dal Teorema 7.1 si ricava che le componenti a, b e c di u sono i coseni degli angoli che u forma con i versori fondamentali e 1 [1, 0, 0], e 2 [0, 1, 0] ed e 3 [0, 0, 1] e prendono il nome di coseni direttori del vettore u. Ogni vettore non nullo può essere normalizzato dividendolo per la propria norma, infatti è facile verificare che v v = v v = 1. Due vettori diversi dal vettore nullo si dicono perpendicolari o ortogonali se l ampiezza dell angolo tra u e v è ϕ = π 2. Segue immediatamente dal Teorema 7.1 che u, v = 0 ϕ = π 2 con u 0, v 0 (7.8) scriveremo dunque v u u, v = 0. Il discorso si generalizza: si dice che n vettori v 1, v 2,..., v n sono mutuamente ortogonali se v i, v j = 0 (7.9) per ogni i, j con i, j = 1... n. Se i v i sono anche normalizzati (cioè sono dei versori) diciamo che sono ortonormali. Una base ortogonale è una base costituita da vettori mutuamente ortogonali. Osserviamo che vettori ortogonali sono sempre indipendenti, mentre non vale in generale il viceversa. Ad esempio in R 3 la base B = {[1, 3, 1], [ 1, 0, 1], [6, 4, 6]} è una base ortogonale ma non ortonormale (verificarlo per esercizio). Sappiamo che in uno spazio vettoriale ogni vettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di una base; se la base è ortogonale o ortonormale, si possono determinare in maniera semplice i coefficienti della combinazione lineare:

5 7.1 Generalizzazioni 46 Teorema 7.2 Sia {e 1, e 2, e 3 } una base ortogonale, allora v = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +λ 3 e 3 in cui λ i = v, e i e i, e i ; (7.10) se invece la base è ortonormale λ i = v, e i. Per esempio sia B la base ortogonale B = {e 1 = [1, 3, 1], e 2 = [ 1, 0, 1], e 3 = [6, 4, 6]} dell esempio precedente: abbiamo e 1, e 1 = 11, e 2, e 2 = 2, e 3, e 3 = 88. Se v = [3, 2, 5] usando i risultati trovati e la (7.10) si ha v = v, e 1 11 e 1 + v, e 2 e 2 + v, e e 3 = = e 1 + e e 3. Dal punto di vista geometrico la (7.10) significa che v, e i e i è la componente del vettore v nella direzione di e i o anche che è la proiezione ortogonale di v sulla retta su cui giace il vettore e i. Come è noto la proiezione ortogonale ha lunghezza v cos ϕ i ; lo stesso risultato si trova applicando il teorema 7.1: v, e i e i = v, e i e i = v e i 2 cos ϕ i = v cos ϕ i. 7.1 Generalizzazioni Il concetto di prodotto scalare è molto più generale di quello qui definito (che è il prodotto scalare standard in uno spazio vettoriale isomorfo a R 2 od a R 3. In generale dati due spazi vettoriali sul medesimo campo K un applicazione g da V W 6 a K per cui valgano le proprietà: i) g(v 1 + v 2, w) = g(v 1, w) + g(v 2, w) v 1, v 2 V, w W ii) g(v, w 1 + w 2 ) = g(v, w 1 ) + g(v, w 2 ) iii) g(αv, w) = g(v, αw) = αg(v, w) v V, w 1, w 2 W v V, w W, α K si chiama applicazione o forma bilineare 7 Un applicazione bilineare tale che si abbia g(v, w) = g(w, v) v V, w W si chiama simmetrica. Un applicazione bilineare simmetrica g : V V R per cui sia i) g(v, w) 0 v, w V 6 Si tratta del prodotto cartesiano dei due insiemi V e W, cioè dell insieme dell coppie ordinate (v, w) con v V e w W. 7 Nel senso che è lineare rispetto a tutt e due le variabili; nello stesso senso si parla anche di forma multilineare.

6 7.1 Generalizzazioni 47 ii) g(v, v) = 0 v = 0 si chiama prodotto scalare e si preferisce indicare g(v, w) con v, w. Uno spazio vettoriale in cui sia stato definito un prodotto scalare si chiama euclideo. Come utile esercizio, il lettore verifichi che il prodotto scalare standard definito nel paragrafo precedente è una forma bilineare simmetrica che gode delle proprietà i) e ii) Come esempio si verifichi che in R 2 è un prodotto scalare x, y = [x 1, x 2 ] [ ] [ y1 Ovviamente due vettori ortogonali rispetto ad un prodotto scalare possono non esserlo rispetto ad un altro. Quando parleremo di vettori ortogonali senza precisare rispetto a quale prodotto scalare ci riferiremo al prodotto scalare standard. Per i prodotti scalari vale il Teorema 7.3 Sia V uno spazio vettoriale euclideo, allora si ha: u, v = 1 ( u + v, u + v u, u v, v ) 2 la dimostrazione, che il lettore è invitato a scrivere in maniera esplicita, è un semplice calcolo basato sulla bilinearità e sullla simmetria del prodotto scalare. Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia U un suo sottospazio. Indichiamo con U l insieme di tutti i vettori di V che sono ortogonali a vettori di U (rispetto ad un fissato prodotto scalare) e lo chiamiamo complemento ortogonle di U (rispetto a quel certo prodotto scalare) y 2 ] Queste dispense possono essere liberamente fotocopiate ed utilizzate purchè i) siano distribuite gratuitamente ii) sia riportata questa nota