1 Applicazioni lineari

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1 1 Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 1.1 Definizione Si considerino lo spazio tridimensionale euclideo E e lo spazio vettoriale V ad esso associato. Definizione Sia A una applicazione di V in sé A : V V che ad ogni vettore u V associa il suo trasformato (o immagine) v = A(u): A : u v V. A è detta lineare se, per ogni coppia di vettori u 1, u 2 e di scalari λ 1, λ 2, si ha A(λ 1 u 1 + λ 2 u 2 )=λ 1 A(u 1 )+λ 2 A(u 2 ) Fig. 1.1 Nel seguito si indicherà con Au := A(u) e con Lin(V) l insieme delle applicazioni lineari di V in V. Si osservi che per un applicazione lineare A si ha A(λe) =λae λ IR ; in altri termini A trasforma vettori tra loro paralleli in vettori tra loro ancora paralleli (figura 1.2). In particolare, per λ = 0 si ha A0 = 0, cioé A trasforma il vettore nullo in se stesso. Corso di Scienza delle Costruzioni 2 A. A

2 1 Applicazioni lineari 1.1 Definizione 1 Applicazioni lineari 1.2 Diade 1.2 Diade Tra le applicazioni lineari particolare interesse ha la diade o prodotto tensoriale definita come nel seguito. Siano a, b V due vettori, il prodotto tensoriale tra a e b è l applicazione a b Lin(V) tale che (a b)u =(b u)a u V. Fig. 1.2 Particolari applicazioni lineari sono l applicazione identità I e l applicazione nulla O così definite: L applicazione a b trasforma ogni vettore u in un vettore parallelo ad a (figura 1.3). In particolare per u b si ha (a b)u = 0. Iu = u Ou = 0 u V u V Siano date due applicazioni lineari A e B di V in sè, ed un numero reale α. Si definiscono le seguenti applicazioni lineari: somma A + B: (A + B)u = Au + Bu u V ; prodotto di A per α: (αa)u = α(au) u V ; prodotto di composizione di A e B: (AB)u = A(Bu) u V ; si osservi che in generale AB BA. È possibile mostrare che l insieme delle applicazioni lineari Lin(V), con le prime due operazioni introdotte, è uno spazio vettoriale. Fig. 1.3 Sia e un versore ( e = 1). La diade e e è detta proiettore e gode della seguente proprietà: (e e)u =(u e)e, cioé trasforma ogni vettore u nella sua componente vettoriale u lungo e (figura 1.4). Se applichiamo la trasformazione lineare I e e al vettore u otteniamo: (I e e)u = Iu (e e)u = u u ; in altri termini I e e (detto proiettore ortogonale) trasforma u nella sua componente u perpendicolare ad e, ossia proietta u lungo il piano perpendicolare ad e. Fissata una terna cartesiana ortogonale (e 1, e 2, e 3 ), si ha: I = e 1 e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3. Corso di Scienza delle Costruzioni 3 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 4 A. A

3 1 Applicazioni lineari 1.3 Componenti cartesiane 1 Applicazioni lineari 1.4 Trasposta La conoscenza di [A] consente di determinare le componenti del vettore v = Au immagine del generico vettore u. Indicate con (u 1,u 2,u 3 ) le componenti di u si ha: u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3. Per la linearità di A si ha: v = Au = u 1 Ae 1 + u 2 Ae 2 + u 3 Ae 3, 1.3 Componenti cartesiane Fig. 1.4 Si consideri un riferimento cartesiano {0; e 1, e 2, e 3 }, ove (e 1, e 2, e 3 )è una terna destra di versori mtuamente ortogonali. È possibile definire le componenti di un applicazione lineare. Data un appicazione lineare A, si considerino i vettori trasformati degli elementi della base: Ae 1, Ae 2, Ae 3. Si definiscono componenti di A le componenti di tali vettori, per le quali si utilizza la seguente notazione: Ae 1 = (A 11,A 21,A 31 ) Ae 2 = (A 12,A 22,A 32 ) Ae 3 = (A 13,A 23,A 33 ). In maniera compatta si può scrivere A ij = e i Ae j. È possibile ordinare le nove componenti nella matrice delle componenti indicata con [A]: [A] = A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 Ae 1 Ae 2 Ae 3 da cui: v 1 = v e 1 = u 1 Ae 1 e 1 + u 2 Ae 2 e 1 + u 3 Ae 3 e 1 = = u 1 A 11 + u 2 A 12 + u 3 A 13 v 2 = v e 2 = u 1 A 21 + u 2 A 22 + u 3 A 23 v 3 = v e 3 = u 1 A 31 + u 2 A 32 + u 3 A 33, ovvero, utilizzando la notazione matriciale, v 1 A 11 A 12 A 13 u 1 v 2 = A 21 A 22 A 23 u 2. v 3 A 31 A 32 A 33 u 3 In maniera compatta possiamo scrivere v i = 3 A ij u j. j=1 È facile mostrare le seguenti relazioni: O ij =0, I ij = δ ij, (a b) ij = a i b j, i =1, 2, Trasposta Per ogni applicazione lineare A, esiste un unica applicazione A T, detta trasposta di A, che gode della seguente proprietà: Au v = A T v u u, v V Corso di Scienza delle Costruzioni 5 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 6 A. A

4 1 Applicazioni lineari 1.5 Applicazioni simmetriche e antisimmetriche 1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni Si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni: (A + B) T = A T + B T (αa) T = αa T (AB) T = B T A T (a b) T = b a [A T ]=[A] T. 1.5 Applicazioni simmetriche e antisimmetriche Un applicazione S è detta simmetrica se S T = S, W è detta antisimmetrica se W T = W. La matrice delle componenti nei due casi assume rispettivamente la forma S 11 S 12 S 13 [S] = S 12 S 22 S 23 S ij = S ji i, j ; S 13 S 23 S 33 0 W 12 W 13 [W] = W 12 0 W 23 W ij = W ji i, j. W 13 W 23 0 L immagine Wu del generico vettore u tramite l applicazione antisimmetrica W ha le componenti 0 W 12 W 13 W 12 0 W 23 W 13 W 23 0 u 1 u 2 u 3 = W 12 u 2 + W 13 u 3 W 12 u 1 + W 23 u 3 W 13 u 1 W 23 u 2 dunque il vettore Wu può ottenersi, alternativamente, operando il prodotto vettoriale tra il vettore w di componenti w =( W 23,W 13, W 12 ) ed il vettore u: Wu = w u u V., Il vettore w è detto vettore assiale dell applicazione antisimmetrica W. Si osservi che: v w risulta Wv = w v = 0; a b b a è antisimmetrica, ed il vettore assiale ad essa associato è il vettore b a; per e = 1, le applicazioni I, e e, I e e sono simmetriche. Gli insiemi delle applicazioni lineari simmetriche e antisimmetriche si denotano rispettivamente con Sym(V) e Skw(V). Si definiscono parte simmetrica e parte antisimmetrica dell applicazione A rispettivamente syma = 1 2 (A + AT ), skwa = 1 2 (A AT ). Risulta A = syma + skwa, cioé ogni applicazione si può decomporre nella somma della sua parte simmetrica e della sua parte antisimmetrica. 1.6 Rotazioni Si consideri la seguente applicazione lineare: R = e e + cos ϕ(i e e) + sin ϕw, (1.1) dove e è un versore ( e = 1), ϕ [0, 2π[, e W è l applicazione antisimmetrica avente e per vettore assiale (Wu = e u, u V). Poiché risulta si ha: (e e)e = e; (I e e)e = 0; We = 0, Re = e. (1.2) Corso di Scienza delle Costruzioni 7 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 8 A. A

5 1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni 1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni Si può inoltre provare che RR T = R T R = I. (1.3) La 1.3 permette di provare che l applicazione R preserva il prodotto scalare: Ru Rv = u v u, v V. (1.4) Infatti, utilizzando la definizione di applicazione trasposta e la 1.3, si ottiene: Ru Rv = R T (Ru) v =(R T R)u v = u v. Per u = v, la proprietà 1.4 assume la seguente forma: Ru = u u V, (1.5) Si ha che: dove Ru = Ru + Ru. Ru = u =C O Ru = cos ϕu + sin ϕe u =D O, essendo D O il segmento orientato ottenuto ruotando B O di un angolo ϕ nel piano perpendicolare ad e. Quindi Ru è rappresentato dal segmento orientato E O, che può ottenersi ruotando di un angolo ϕ il piano individuato dalla retta r ed il vettore A O. Si può quindi affermare che l effetto di R è quello di ruotare i vettori di un angolo ϕ intorno allasse parallelo ad e. cioé l applicazione R non varia il modulo dei vettori. Infine, poiché Rv = v, dalla 1.4 si ottiene: Ru Rv cos (Ru)(Rv) = u v cos ûv (1.6) cos (Ru)(Rv) = cos ûv, cioé R lascia immutato l angolo formato da due generici vettori (figura 1.5). Fig. 1.6 Fig. 1.5 Al fine di meglio interpretare R, identifichiamo il generico vettore u con il corrispondente segmento orientato A O uscente da un fissato punto O e decomponiamo u nella sua parte u =C O parallela ad e ed in quella u =B O ad esso perpendicolare (figura 1.6): u = u + u. L applicazione R è quindi detta rotazione di ampiezza ϕ ed asse e. Al variare di e e ϕ, la 1.1 genera tutte le rotazioni dello spazio. L equazione 1.1 è detta formula di rappresentazione di Eulero per le rotazioni. Si consideri ora un sistema di riferimento {O; e 1, e 2, e 3, }, in cui facciamo coincidere e 3 con l asse di R, di modo che e 1 ed e 2 siano perpendicolari all asse di rotazione. Si ha: Re 1 = cos ϕe 1 + sin ϕe 2 Re 2 = sin ϕe 1 + cos ϕe 2 Re 3 = e 3. Corso di Scienza delle Costruzioni 9 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 10 A. A

6 1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni 1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni Pertanto, nel sistema di riferimento fissato, la matrice delle componenti di R assume la forma: cos ϕ sin ϕ 0 [R] = sin ϕ cos ϕ 0 (1.7) Utilizzando la 1.7 è possibile provare la proprietà 1.3. Si considerino ora le rotazioni di ampiezza piccola (rotazioni infinitesime). Si osservi preliminarmente che utilizzando la formula di McLaurin è possibile approssimare le funzioni seno e coseno nella seguente maniera: sin ϕ = ϕ + o(ϕ) per ϕ 0 cos ϕ = 1 + o(ϕ) per ϕ 0, dove o(ϕ) denota una quantità infinitesima di ordine superiore a ϕ: o(ϕ) lim ϕ 0 ϕ =0. Dunque per angoli di rotazione piccoli, la rotazione R assume la forma: Fig. 1.7 relazione permette di affermare che per ϕ 1 è possibile approssimare l arco AC della circonferenza di centro O e raggio u con il segmento tangente BA. Introducendo il vettore w = ϕe, detto vettore rotazione, è possibile scrivere Ru = u + w u. Ponendo infine W = ϕw, si ottiene la seguente formula di rappresentazione delle rotazioni infinitesime: R = I + W, W Skw(V). R = I + ϕw + o(ϕ) per ϕ 0. Questa espressione ci dice che quando ϕ 1 possiamo approssimare R nella seguente maniera: R = I + ϕw per ϕ 1. Nell ambito di questa approssimazione, l immagine di un vettore u perpendicolare all asse di rotazione è Ru = u + ϕwu = u + ϕe u. (1.8) In figura 1.7, nella quale si suppone che e sia perpendicolare al piano del foglio, il vettore u è rappresentato dal segmento orientato A O. Osservando che ϕe u =B A, si vede come il segmento orientato B O rappresenta l approssimazione per ϕ 1 di Ru. Dal punto di vista geometrico la precedente Corso di Scienza delle Costruzioni 11 A. A Corso di Scienza delle Costruzioni 12 A. A