1- Geometria dello spazio. Vettori
|
|
- Romolo Arena
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 1- Geometria dello spazio. Vettori I. Generalità (essenziali) sui vettori. In matematica e fisica, un vettore è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale. Gli elementi che caratterizzano un vettore sono (Fig.1): direzione: quella della retta su cui giace il segmento; verso: uno dei due possibili versi su questa retta; modulo o intensità: lunghezza del segmento. Per i vettori applicati deve essere specificato anche il punto di applicazione, cioè il punto di inizio del segmento. esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0, è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto; esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore -a che sommato ad a da il vettore zero; - a è un vettore che ha lo stesso modulo e direzione di a, ma verso opposto. a + b = b + a (proprietà commutativa) La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori, a - b come somma di a con l'opposto di b. Fig.2 Fig.1 I.1 Somma (differenza) di due vettori La somma di due vettori a e b è il vettore a + b, diagonale del parallelogramma formato dai vettori a e b (Fig.2). a + b appartiene allo stesso piano di a e b. La somma gode delle seguenti proprietà: (a + b)+ c = a + (b+ c) (proprietà associativa) I.2 Prodotto di un vettore per uno scalare Il prodotto di un vettore, a, per un scalare,, è ancora un vettore: b a (1) Il vettore b ha: la stessa direzione di a modulo pari al prodotto dello scalare per il modulo di a verso identico ad a, se >0, opposto se <0. Ovviamente, il prodotto di a per zero genera il vettore nullo.
2 I.3 Prodotto scalare tra due vettori Il prodotto scalare (o interno) di due vettori, è uno scalare pari al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato (vedi Fig.3): AB AB cos (2) AB BA (3) vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: A BC ABAC (4) 1.4 Prodotto vettoriale tra due vettori Il prodotto vettoriale (o esterno tra due vettori v e w è anch esso un vettore, dato da (vedi Fig.4): vw vwsin vw n vw (5) Fig.3 Poiché Acos(θ) è la lunghezza della proiezione ortogonale di A su B, si può interpretare geometricamente il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di B. Si possono inoltre scambiare i ruoli di A e B, interpretare B cos(θ) come la lunghezza della proiezione di B su A ed il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di A. Il coseno dell angolo θ è positivo se θ è un angolo acuto (cioè /2 /2), nullo se è un angolo retto e negativo se è un angolo ottuso. Ne segue che il prodotto scalare A B è: positivo se θ è acuto; nullo se θ è retto; negativo se θ è ottuso. Ovviamente il prodotto scalare è nullo anche se uno dei due vettori è il vettore nullo. Proprietà del prodotto scalare: il prodotto scalare è commutativo: Il modulo di tale vettore è dato dal valore assoluto del prodotto dei moduli dei due vettori v e w e del seno del angolo vw tra essi compreso. La direzione e il verso di v w sono quelli del vettore unitario nvw, perpendicolare al piano definito dai primi due, e che con essi forma una terna cartesiana levogira. In altri termini, le direzione di v w è comunque perpendicolare al piano v-w e il verso di un osservatore che, appoggiato con i piedi su tale piano, vede il vettore v sovrapporsi al vettore w con una rotazione in senso antiorario non maggiore di /2. Figura 4
3 La (5) stabilisce quindi che il modulo del prodotto vettoriale è pari all area del parallelogramma che ha per lati i due vettori v e w. E facile stabilire che per il prodotto vettoriale non vale la proprietà commutativa, avendosi: X 3 vwwv (6) E invece valida la proprietà distributiva rispetto alla somma: v wu vwvu (7) x 3 P II. Sistemi di riferimento Si definisce sistema di riferimento l'insieme dei riferimenti utilizzati per individuare quantitativamente la posizione di un oggetto nello spazio (ad esempio un punto, un vettore) attraverso opportune coordinate. A seconda del numero di riferimenti usati si può parlare di sistemi di riferimento mono-, bi- o tridimensionali. Per rappresentare oggetti nello spazio Euclideo a tre dimensioni si possono usare infiniti sistemi tri-dimensionali. Mediante opportune regole di trasformazione è sempre possibile trasformare le coordinate di un sistema in quelle di un altro. I sistemi di riferimento più usati e noti sono i seguenti. II.1 Sistema cartesiano ortogonale E il sistema di riferimento più semplice, noto, e perciò anche usate come riferimento per definire altri sistemi. E costituito da tre rette ortogonali passanti per un punto che è l'origine del sistema (Fig.5). Per ciascuna di tali rette, in genere indicate con X1, X2, e X3, o X, Y e Z, si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio, indicate con x1, x2, x3 (oppure x, y, z) sono determinate proiettando ortogonalmente il punto su ciascuno dei tre assi e misurando la distanza della proiezione dall origine degli assi. x 1 X 2 x 2 X 1 Fig.5 II.2 Sistema cilindrico Viene utilizzato per studiare problemi che hanno, per loro natura, simmetrie di tipo cilindrico (es. il moto in un tubo a sezione circolare). Preso il sistema cartesiano ortogonale come riferimento, in questo caso le coordinate sono ρ, φ e z. Considerando un generico punto P (Fig.6), e la sua proiezione Q sul piano XY, la coordinata z è data dalla distanza PQ. Con ρ si denota la distanza dall'origine del punto Q, mentre φ individua l'angolo che si forma tra il vettore e l'asse X. Il passaggio dalla rappresentazione ortogonale a quella cilindrica e viceversa avviene facilmente attraverso le seguenti regole di trasformazione: da cilindrico a ortogonale:
4 x cos y sin z z da ortogonale a cilindrico: (8) un generico punto P (Fig.7), con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo che tale distanza forma con l'asse Z. Se indichiamo invece con ρ la proiezione del punto sul piano XY, φ individua l'angolo che ρ forma con l'asse X. x y 2 2 y arctan x z z (9) Fig.7 Le formule di trasformazione in questo caso sono: da sferico a ortogonale: Fig.6 II.3 Sistema sferico Viene utilizzato per studiare problemi che hanno, per loro natura, simmetrie di tipo sferico (es. il moto di un fluido intorno ad una sfera). Preso il sistema cartesiano ortogonale come riferimento, le tre coordinate sono in questo caso ρ, θ e φ. Se si considera sempre x sincos y sinsin z cos da ortogonale a sferico: (10)
5 x y z y arctan x arccos z x y z (11) La rappresentazione (12) viene denominata vettore riga, la (13) vettore colonna. X 3 III. Rappresentazione dei vettori e delle loro operazioni nei sistemi di riferimento v 3 v III.1 Rappresentazione dei vettori I vettori definiti nello spazio rappresentano, nei casi di nostro interesse, grandezze fisiche (distanza tra due punti, velocità, ecc), e quindi esistono in quanto tali. La scelta di un sistema di riferimento permette unicamente di definire una modalità di rappresentazione. In questo ambito faremo sempre riferimento ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali come quello di Fig.5. In tale sistema un qualunque vettore è descritto completamente dalle sue componenti, cioè le lunghezze della sua proiezione sui tre assi di riferimento (Fig.8). Fissate le sue componenti, il vettore può essere allora espresso in vari modi, tutti equivalenti: Come una terna ordinata di numeri, appunto le componenti: Oppure vvv v (12) v1 v 2 v 3 v (13) X 1 v 1 Fig.8 v 2 X 2 Come la somma di tre vettori, ciascuno dei quali parallelo ai tre assi cartesiani e avente modulo pari alla rispettiva componente: 3 v1 1 v2 2 v3 3 v i i 11 v e e e e (14)
6 Nella (14) i vettori ei sono i versori dei tre assi cartesiani, cioè i vettori di modulo unitario che puntano nella stessa direzione e verso degli assi. III.2 La notazione di Einstein Espressioni come la (14), che coinvolgono la somma e il prodotto di più termini dello stesso tipo, possono essere convertite in una forma più compatta, nota come notazione o convenzione di Einstein. Essa si rifà alla seguente regola: quando l indice di una variabile appare più volte in una formula monomia significa che la formula è una sommatoria al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere. Nel nostro caso (spazio Euclideo) l'indice varia tra 1 e 3. Sulla base di questa convenzione, ad esempio, la (14) può essere riscritta come v ve v e v e ve (15) i i facendo quindi cadere il simbolo di sommatoria. Sarà chiaro nel seguito come la notazione di Einstein rappresenti un notevole strumento semplificativo dei calcoli vettoriali. III.3 Operazioni tra vettori Possiamo a questo punto rivisitare le definizioni e le operazioni sui vettori finora discusse, e che non avevano bisogno di un sistema di riferimento, nella notazione appena stabilita, che si riferisce al contrario ad un ben preciso sistema di coordinate. In un sistema cartesiano ortogonale la somma tra due vettori può essere scritta, in forma più o meno compatta, come: Della (16) si può ovviamente dare la versione basata sui vettori riga (o colonna): a a a b b b a b a b a b a b (17) Si noti che nel caso della (17) la forma compatta non è scrivibile, in quanto non vi sono espressioni monomie. Per quanto riguarda il prodotto di uno scalare per un vettore si ha: i i v ve v e v e ve (18) Per quanto riguarda la rappresentazione del prodotto scalare va premesso che, nei sistemi di coordinate ortogonali, è particolarmente utile la definizione del cosiddetto delta di Kronecker. Esso è in generale una funzione di due variabili discrete, in particolare di due variabili sugli interi o sugli interi naturali, che vale 1 se i loro valori coincidono, mentre vale 0 in caso contrario. Solitamente si utilizza il simbolo δij e si definisce come segue: 1sei j ij 0sei j (19) Nel caso del prodotto scalare il delta di Kronecker è molto utile. Infatti, per le regole già viste nel paragrafo I.3, il prodotto scalare tra i versori della terna cartesiana dà i seguenti risultati: a1 1a2 2a3 3 b1 1b2 2b3 3 a b a b a b a b a b e e e e e e e e e e i i i (16) e 1sei j i e j ij 0sei j (20)
7 Infatti tali versori possono essere solo paralleli (i=j) o perpendicolari (ij). Quindi il prodotto tra versori coincide con il delta di Kronecker. Tenendo presente quanto detto, il prodotto scalare tra due vettori può allora essere espresso in varie forme, ancora una volta più o meno compatte: a a a b b b ab e e e e e e e e ab ab ab ab a b ab i j i j i j ij i i (21) Allo stesso risultato si arriva anche utilizzando la rappresentazione in vettori riga o colonna, con le seguenti precisazioni: Nel prodotto scalare tra due vettori il primo va rappresentato da una riga e il secondo da una colonna Il calcolo viene eseguito effettuando il cosiddetto prodotto righe per colonne, definito come la somma dei prodotti delle corrispondenti componenti della riga e della colonna ( primo elemento della riga per primo elemento della colonna più secondo elemento della riga per secondo elemento della colonna ). In termini pratici: b1 a1 a2 a3 b 2 ab 1 1a2b2 a3b3 ab i i b 3 ab (22) Anche il prodotto vettoriale può essere espresso in notazione più o meno compatta attraverso le componenti dei due vettori di partenza. A questo scopo è utile definire, oltre al delta di Kronecker, un altro operatore indiciale, il cosiddetto indice di permutazione, ijk, definito come: ijk 1 se ijk 123o 312o se ijk 132o321o se almeno dueindici sono uguali Avendo definito l indice di permutazione si può dimostrare che: (23) ei ej ijke k (24) Ad esempio, in base alle (23) e (24), e utilizzando la convenzione di Einstein, si ha: e1e2 12kek e3 e e e e k k 2 (25) A questo punto è possibile esprimere il prodotto vettoriale in forma di componenti. Si ha infatti: ab ae b e ab e i i j j ijk i j k ab ab ab ab ab ab e e e (26) La (26) suggerisce che il prodotto vettoriale possa essere anche espresso come il determinante di una matrice le cui righe siano composte, nell ordine, dai tre versori unitari, dalle componenti del primo e da quelle del secondo vettore. Utilizzando la nota formula per il calcolo del determinante di una matrice si ha infatti:
8 e1 e2 e3 ab det a1 a2 a 3 b1 b2 b 3 e e e ab ab abab ab ab (27)
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione
DettagliVETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.
VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:
DettagliI.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax
I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: 049.80.40.211 Fax 049.80.40.277 marconi@provincia.padova.it www.itismarconipadova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia
Dettaglia) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni
Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliCORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO
CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY,
DettagliLa matematica del CAD. Vettori e Matrici
La matematica del CAD Vettori e Matrici IUAV Disegno Digitale Camillo Trevisan I programmi CAD riducono tutti i problemi geometrici in problemi analitici: la proiezione di un punto su un piano viene, ad
DettagliVettori e geometria analitica in R 3 1 / 25
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
Dettaglivettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **
Prodotto scalare di vettori. Consideriasmo due vettori u e v e siano O e O due rappresentanti applicati in O. Indichiamo come al solito con u = O la norma (cioè l intensità) del vettore u Sia inoltre l
DettagliCoordinate e Sistemi di Riferimento
Coordinate e Sistemi di Riferimento Sistemi di riferimento Quando vogliamo approcciare un problema per risolverlo quantitativamente, dobbiamo per prima cosa stabilire in che sistema di riferimento vogliamo
DettagliArgomenti Capitolo 1 Richiami
Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme
DettagliProdotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a
Dettaglie la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b
8) Prodotto scalare o prodotto interno Si definisce prodotto scalare s di due vettori A e B, l area del rettangolo che ha per lati il modulo del vettore A e la lunghezza della proiezione del vettore B
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)
Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli. 04 - Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto
Dettagli1 Applicazioni lineari
1 Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 1.1 Definizione Si considerino lo spazio tridimensionale euclideo E e lo spazio vettoriale V ad esso associato. Definizione. 1.1. Sia A una applicazione di
Dettagli( ρ, θ + π ) sono le coordinate dello stesso punto. Pertanto un punto P può essere descritto come
Coordinate polari Il sistema delle coordinate cartesiane è uno dei possibili sistemi per individuare la posizione di un punto del piano, relativamente ad un punto fisso O, mediante una coppia ordinata
DettagliALCUNI RICHIAMI GENERALI
ALCUNI RICHIAMI GENERALI 0.1 SUL CONCETTO DI VETTORE La direzione Data una linea retta, è possibile muoversi su questa in due versi opposti: si possono distinguere assegnando a ciascuno di essi un segno
DettagliCorso di Fisica. Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1
Corso di Fisica Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1 Scalari e vettori Consideriamo una libreria. Per determinare quanti libri ci sono su uno scaffale basta individuare lo scaffale in questione e contare
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
VETTORI Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un unità di misura, altre invece sono completamente definite solo quando, oltre ad
DettagliV il segmento orientato. V con VETTORI. Costruzione di un vettore bidimensionale
VETTORI Costruzione di un vettore bidimensionale Nel piano con un righello si traccia una retta r tratteggiata Su r si disegna un segmento di lunghezza l d una delle estremità si disegni la punta di una
DettagliI vettori: brevissime note
I vettori: brevissime note F. Demontis Corsi PAS 2014 Trovate in queste pagine le poche nozioni sul calcolo vettoriale che vi ho presentato durante le lezioni. Tutto il materiale è stato scritto molto
DettagliGeometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema
DettagliDue vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con.
Vettori. Il vettore è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato, che è caratterizzato da una direzione, da un verso e da un modulo. Il punto di partenza si chiama coda (o punto di applicazione),
Dettagli= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con
Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione
DettagliProdotto scalare e norma
Capitolo 7 Prodotto scalare e norma Riprendiamo ora lo studio dei vettori da un punto di vista più geometrico. È noto, per esempio dalla Fisica, che spesso è comodo visualizzare un vettore del piano o
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
DettagliALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008
LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento
DettagliLa lunghezza dei vettori e legata alle operazioni sui vettori nel modo seguente: Consideriamo due vettori v, w e il vettore v + w loro somma.
Matematica II, 20.2.. Lunghezza di un vettore nel piano Consideriamo il piano vettoriale geometrico P O. Scelto un segmento come unita, possiamo parlare di lunghezza di un vettore v P O rispetto a tale
DettagliLA RETTA NEL PIANO CARTESIANO
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un verso di percorrenza;
DettagliEsercizi sul Calcolo Vettoriale 10/10/2014
Esercizi sul Calcolo Vettoriale 10/10/2014 Problema 1. Fissata una terna cartesiana eortogonale e dati due vettori a=11 î 7 ĵ +9 k, b=14 î+5 ĵ k determinare modulo, direzione e verso sia della somma a+
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
Dettagli(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.
Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici
DettagliR. Capone Analisi Matematica Integrali multipli
Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliEsercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani
Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;
DettagliGeometria Analitica Domande e Risposte
Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano
DettagliIllustrazione 1: Telaio. Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali
Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali Materiale utilizzato: Telaio (carrucole,supporto,filo), pesi, goniometro o foglio con goniometro stampato, righello Premessa
DettagliGeometria Analitica nello Spazio
Geometria Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015 Equazione della retta - forma parametrica Se sono dati il punto A(x 0, y 0, z 0 ) e il vettore v (v x, v y, v z ), il generico punto P (x, y,
DettagliProf. Luigi De Biasi VETTORI
VETTORI 1 Grandezze Scalari e vettoriali.1 Le grandezze fisiche (ciò che misurabile e per cui è definita una unità di misura) si dividono due categorie, grandezze scalari e grandezza vettoriali. Si definisce
DettagliSoluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare.
Esercizi svolti 4 Problemi guida 117 IL PRODOTTO SCALARE Problema 41 a) Dimostra che (v + w) (v w) = v 2 w 2 b) Dimostra che v w = 1 4 [ v + w 2 v w 2 ] Soluzione a) Per la bilinearità e la simmetria del
DettagliMOVIMENTI RIGIDI POLARI NELLO SPAZIO EUCLIDEO
Domus dell Ortaglia, Museo della Città, Brescia. MOVIMENTI RIGIDI POLARI NELLO SPAZIO EUCLIDEO la semplice immaginazione non implica per sua natura alcuna certezza, quale è connessa invece ad ogni idea
Dettagli- Fondamenti di calcolo vettoriale - VETTORI
VETTORI Definizione: Il vettore è un segmento orientato ovvero un segmento su cui è fissato un verso di percorrenza. Graficamente il verso del vettore è rappresentato da una freccia. A A A Segmento orientato
DettagliI VETTORI. Definizione Sistemi di riferimento Componenti e modulo Somma e differenza Prodotto scalare Prodotto vettoriale Versori. Vettori. pag.
I VETTORI Definizione Sistemi di riferimento Componenti e modulo Somma e differenza Prodotto scalare Prodotto vettoriale Versori pag.1 Grandezze scalari e vettoriali Per una descrizione completa del fenomeno
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliGrandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale
Grandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale Soluzioni ai Quiz 1 Il Sistema Internazionale di Unità di Misura Le grandezze fisiche di base sono sei, ognuna delle quali ha una unità di
Dettagli1. DEFINIZIONE DI VETTORE
1. DEFINIZIONE DI VETTORE 486 PRIMO INCONTRO COI VETTORI Un segmento si dice orientato quando è specificato quale dei due estremi sia da considerarsi come il primo estremo e quale come il secondo estremo
DettagliDiario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta
Diario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta 1. (1/10 Lu.) Generalità sugli insiemi, operazioni di unione, intersezione e prodotto cartesiano. Insiemi numerici: naturali,
DettagliGeometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE Misura degli angoli Seno, coseno e tangente di un angolo Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Angoli notevoli Grafici delle funzioni goniometriche GONIOMETRIA : scienza
DettagliTUTTO (o quasi tutto ) SULLA RETTA di Leonardo Calconi
TUTTO (o quasi tutto ) SULLA RETTA di Leonardo Calconi LA RETTA COME INSIEME CONTINUO La retta è una delle più antiche espressioni di continuità, definita da Euclide mediante i postulati 1, che affermano
DettagliMomento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale
Momento angolare L. P. Maggio 2007 1. Prodotto vettoriale 1.1. Definizione Il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali a e b è un vettore c così definito: a) Il modulo di c è pari all area del
DettagliI VETTORI DELLO SPAZIO
I VETTORI DELLO SPAZIO Riferimento cartesiano ortogonale nello spaio Bisogna assegnare nello spaio un punto O (detto origine e tre rette per esso a due a due perpendicolari e orientate in modo concorde
DettagliCapitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio
Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore
DettagliI numeri complessi. Andrea Corli 31 agosto Motivazione 1. 2 Definizioni 1. 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3
I numeri complessi Andrea Corli 3 agosto 009 Indice Motivazione Definizioni 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3 4 Radici di un numero complesso 4 5 Equazioni di secondo grado e il teorema fondamentale
DettagliFunzioni goniometriche
Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione
Dettaglij B Dati: ω1=100 rad/s velocità angolare della manovella (1); l = 250 mm (lunghezza della biella 2); r = 100 mm (lunghezza della manovella 1).
j B A l 2 1 ω1 r ϑ i Piede di biella Testa di biella Biella Braccio di manovella Siti interessanti sul meccanismo biella-manovella: http://it.wikipedia.org/wiki/meccanismo_biella-manovella http://www.istitutopesenti.it/dipartimenti/meccanica/meccanica/biella.pdf
DettagliGeometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa
Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione
Dettagli2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
DettagliQuadro riassuntivo di geometria analitica
Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive
DettagliOperazioni sui vettori
Operazioni sui vettori Vettore Un vettore v è un insieme ordinato di elementi. Per esempio, il seguente è un vettore di 3 elementi: Gli elementi di un vettore si indicano solitamente con i seguenti simboli:
DettagliGrandezze geometriche e fisiche. In topografia si studiano le grandezze geometriche: superfici angoli
Topografia la scienza che studia i mezzi e i procedimenti operativi per il rilevamento e la rappresentazione grafica, su superficie piana (un foglio di carta) di una porzione limitata di terreno.... è
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
Dettagli1 Sistemi di riferimento
Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena Esercitazioni del corso di Fisica Generale L-A Anno accademico 2006-2007 1 Sistemi di riferimento Le grandezze usate
DettagliProdotti scalari e matrici
Prodotti scalari e matrici 1 Forme bilineari e matrici In questa sezione vogliamo studiare la corrispondenza biunivoca che esiste tra l insieme delle forme bilineari su di un certo spazio vettoriale V
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
Dettagli3. Coordinate omogenee e trasformazioni dello spazio
3. Coordinate omogenee e trasformazioni dello spazio Passiamo ora a considerare le trasformazioni dello spazio tridimensionale. Lo spazio sarà identificato, mediante l'introduzione di un sistema di riferimento
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Def. Una trasformazione geometrica T tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa uno e un solo punto P' appartenente al piano
DettagliRichiami sugli insiemi numerici
Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri
DettagliMisura del campo magnetico terrestre con le bobine di Helmholtz
Misura del campo magnetico terrestre con le bobine di Helmholtz Le bobine di Helmholtz sono una coppia di bobine con alcune caratteristiche particolari: hanno entrambe raggio ; hanno una lunghezza L molto
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano
GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,
DettagliPiano cartesiano e retta
Piano cartesiano e retta Il punto, la retta e il piano sono concetti primitivi di cui non si da una definizione rigorosa, essi sono i tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Osservazione
DettagliFunzioni vettoriali di variabile scalare
Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.
DettagliCOMPOSIZIONE DELLE FORZE
Andrea Ferrari e Stefano Mazzotta 1 G Sabato 5-02-2011, Laboratorio di fisica del liceo scientifico Leonardo da Vinci. Viale dei tigli. Gallarate. COMPOSIZIONE DELLE FORZE Materiale utilizzato: Telaio,
DettagliLA GEOMETRIA CON L EQ. PARAMETRICA DI VAG La Retta Cap. II Pag. 1
II. LA RETTA La Retta Cap. II Pag. 1 LA RETTA In un riferimento cartesiano ortogonale una qualunque retta si può orientare stabilendo la sua direzione e verso, secondo l angolo che essa forma con il verso
DettagliChe cos è una forza? 2ª lezione (21 ottobre 2006): Idea intuitiva: forza legata al concetto di sforzo muscolare.
2ª lezione (21 ottobre 2006): Che cos è una forza? Idea intuitiva: forza legata al concetto di sforzo muscolare. L idea intuitiva è corretta, ma limitata ; le forze non sono esercitate solo dai muscoli!
DettagliPunti nel piano cartesiano
Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e
DettagliNel triangolo ABC la retta DE sia parallela alla base BC. La proposizione VI.2 afferma che AD: BD = AE: EC
OTTAVA LEZIONE- LE ISOMETRIE Talete e primo criterio di similitudine Prima di iniziare il nuovo argomento delle isometrie terminiamo l'esame dei libri di Euclide con l'enunciato (senza dimostrazione) del
DettagliCompito di Meccanica Razionale M-Z
Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura
DettagliMeccanica. 1. Vettori. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia
Meccanica 1. Vettori http://campus.cib.unibo.it/2421/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 3 febbraio 2017 Traccia 1. Grandezze Fisiche 2. Vettori 3. Calcolo Vettoriale 4. Somma e Differenza
DettagliAlgebra vettoriale. Capitolo 5. 5.1 Grandezze scalari. 5.2 Grandezze vettoriali
Capitolo 5 5.1 Grandezze scalari Si definiscono scalari quelle grandezze fisiche che sono descritte in modo completo da un numero accompagnato dalla sua unità di misura. La temperatura dell aria in una
DettagliElementi di calcolo vettoriale
Mathit Elementi di calcolo ettoriale Nozione di ettore Grandezze ettoriali e grandezze scalari Segmenti orientati e ettori Definizioni Operazioni con i ettori Somma e differenza di ettori Moltiplicazione
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
Dettagli1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano
1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
Dettaglipunti uniti rette di punti uniti rette unite qual è la trasformazione inversa
3) Dì quali sono i punti uniti, le rette di punti uniti, le rette unite di una a) simmetria centrale b) simmetria assiale c) traslazione d) rotazione e) omotetia Simmetria centrale: si ha un solo punto
DettagliLEZIONE 6. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 6 6.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano S 2 e nello spazio S 3 ordinari (cioè in cui
DettagliLa retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione.
La retta nel piano Equazioni vettoriale e parametriche di una retta Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. Condizione
DettagliEsercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria
Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo
Dettagli01 - Elementi di Teoria degli Insiemi
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2013/2014
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliVettori del piano. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto
0.1 Vettori applicati e liberi Politecnico di Torino. Vettori del piano Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto 0.1 Vettori applicati e liberi P P Q Q Il simbolo
Dettagli2 Vettori applicati. 2.1 Nozione di vettore applicato
2 Vettori applicati 2 Vettori applicati 2.1 Nozione di vettore applicato Numerose grandezze fisiche sono descritte da vettori (spostamento, velocità, forza, campo elettrico, ecc.). Per alcune di esse e,
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
Dettagli