TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

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1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Def. Una trasformazione geometrica T tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa uno e un solo punto P' appartenente al piano stesso e viceversa. P' = T (P) è detto trasformato o immagine di P. P è detto controimmagine di P'. Def. Si dice trasformazione identica o identità la trasformazione che associa ad ogni punto P il punto stesso: T (P) = P. Def. Si dice involutoria una trasformazione che composta con se stessa, (ovvero applicata due volte), dà l'identità. Le affinità Def. Un affinità è una trasformazione fra i punti di un piano che ha come invarianti l allineamento dei punti e il parallelismo. Un affinità è descritta da un sistema di equazioni lineari del tipo: x' ax by c con ae bd y' dx ey f a d b e prende il nome di matrice dell affinità. Def. Un affinità che conserva l orientamento degli angoli viene detta affinità diretta, un affinità che inverte l orientamento degli angoli viene detta affinità inversa. se ae bd >, l affinità è diretta; se ae bd <, l affinità è inversa.. Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà: trasforma rette in rette; se tre punti P, Q, R sono allineati, i loro corrispondenti in un'affinità P', Q', R' sono anch'essi allineati; a rette parallele corrispondono rette parallele e a rette incidenti corrispondono rette incidenti; conserva il rapporto fra segmenti paralleli (in particolare al punto medio di un segmento corrisponde il punto medio del segmento trasformato); se la figura F' è l'immagine corrispondente di una figura F, allora: dove det ae bd. Area(F') Area(F) det A In generale un'affinità: non conserva la forma delle figure. Infatti l'immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma, così come l'immagine di una circonferenza è un'ellisse.

2 non conserva gli angoli, per esempio rette perpendicolari non necessariamente vengono trasformate in rette perpendicolari. Le isometrie Def. Le isometrie sono affinità che conservano le distanze. Dati due punti A, B l'isometria fa ad essi corrispondere due punti A' e B' tali che AB A'B'. a b Un affinità di matrice è un isometria se e solo se sono verificate le seguenti condizioni: d e ab + de = ; a 2 + d 2 = b 2 + e 2 =. Sono isometrie: la traslazione, la simmetria centrale, la simmetria assiale e la rotazione. Traslazione Def. Traslazione di vettore v (a; b) è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che il vettore PP ' è uguale al vettore v. Una traslazione è descritta da un sistema di equazioni lineari del tipo: x' x a y' y b, det una traslazione diversa dall identità non ha punti uniti; le rette parallele al vettore traslazione sono rette unite; qualunque retta viene trasformata in una retta ad essa parallela; una traslazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data, ma traslata. Simmetria centrale Def. La simmetria centrale di centro C è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che C è il punto medio del segmento PP '. Una simmetria centrale è descritta da un sistema di equazioni lineari del tipo: x' 2x x con C(x ; y ), det y' 2y y x 2x x' Le equazioni della trasformazione inversa sono: y 2y y' Com'è evidente la trasformazione e la sua inversa sono formalmente identiche salvo lo scambio apice non apice, trattandosi di una trasformazione involutoria. Si può dimostrare che una simmetria centrale gode delle seguenti proprietà: La simmetria centrale ha un solo punto unito: il centro C. Tutte le rette passanti per C sono unite. La simmetria centrale è un isometria. La simmetria centrale è un isometria diretta. La simmetria centrale è involutoria. Rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono parallele. 2

3 Simmetria assiale Def. La simmetria assiale di asse: ax + by + c = è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che il segmento PP' è perpendicolare all'asse e il punto medio M di PP' appartiene all'asse. Esprimendo le condizioni imposte dalla definizione nei termini delle coordinate, si possono dedurre immediatamente le equazioni della trasformazione: Per scrivere le equazioni della trasformazione in forma esplicita si dovrà risolvere il sistema rispetto a x' e y'. Per il calcolo dei casi più semplici si consiglia di utilizzare il metodo di sostituzione, altrimenti è preferibile il metodo di Cramer. Dal punto di vista analitico le equazioni di una simmetria assiale sono del tipo: In particolare se l'asse passa per l'origine i termini noti si annullano. Si può dimostrare che una simmetria assiale gode delle seguenti proprietà: Tutti i punti dell'asse di simmetria sono uniti: l'asse è quindi una retta unita luogo di punti uniti. Tutte le rette perpendicolari all'asse sono unite, ma non costituite da punti uniti. La simmetria assiale è involutoria, pertanto le equazioni della trasformazione e quelle della sua inversa sono formalmente identiche salvo lo scambio apice non apice (valgono le stesse considerazioni fatte per la simmetria centrale) La simmetria assiale è un isometria. La simmetria assiale è un isometria inversa. La simmetria assiale, come tutte le isometrie, conserva le relazioni di perpendicolarità e parallelismo. Si può dimostrare che componendo due simmetrie assiali rispetto ad assi perpendicolari si ottiene una simmetria centrale, con centro nel punto d'intersezione tra i due assi. Simmetrie rispetto ad assi particolari Nel caso di assi di simmetria particolari (assi cartesiani, rette parallele agli assi cartesiani o bisettrici dei quadranti) non è necessario ricorrere alla definizione per ottenere le equazioni della simmetria assiale, ma è sufficiente visualizzare graficamente la situazione per ottenere i risultati seguenti: x' x Simmetria rispetto alla retta y = y : y' 2y x' 2x Simmetria rispetto alla retta x = x : y' y y x Simmetria rispetto all asse delle ascisse ( y =): x' x y' y, det -, det - Simmetria rispetto all asse delle ordinate ( x = ): x' x y' y Simmetria rispetto alla bisettrice I, III ( y = x ): x' y y' x Simmetria Rispetto alla bisettrice II, IV ( y = x ): x' y y' x 3

4 Rotazione Def. La rotazione di centro C(x ; y ) e angolo α è la trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che PC P' C e l'angolo P ĈP'. Le equazioni analitiche di una rotazione di angolo α in senso antiorario sono: x' (x x y' (x x )cos (y y )sin (y y )sin x )cos y cos sin sin cos, det A=. Se il centro della rotazione coincide con l origine degli assi cartesiani, le equazioni analitiche della rotazione sono: x' x cos ysin y' x sin ycos Si può dimostrare che per una rotazione valgono le seguenti proprietà: l'origine è l'unico punto unito; una rotazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data. Le similitudini Def. Le similitudini sono affinità che conservano il rapporto tra segmenti corrispondenti, cioè se: AB, A B e CD, C D sono due coppie qualsiasi di segmenti corrispondenti, risulta: A' B' AB C' D' k CD La matrice di una similitudine ha sempre la forma: a b a b se è diretta, b a se è inversa. b a Le sue equazioni generali sono della forma: x' ax by m x' ax by m oppure y' bx ay n y' bx ay n k x' ax by c Una affinità: 2 2 a b rapporto di similitudine. ab de è una similitudine se: y' dx ey f a d b e Def. Sia C un punto del piano e k un numero reale non nullo. Si definisce omotetia di centro C(x ; y ) e rapporto k la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo unico il punto P tale che: Le sue equazioni generali sono della forma: CP' kcp x' k(x x y' k(y y ) x ) y k k, det k 2. 4

5 Se il centro dell omotetia coincide con l origine degli assi cartesiani, le equazioni analitiche dell omotetia sono: x' kx y' ky Casi particolari: se k > l'omotetia si dice diretta. P e P' si trovano dalla stessa parte rispetto ad O; se k < l'omotetia si dice inversa. P e P' si trovano da parti opposte rispetto ad O; se k si ha una dilatazione della figura; se k si ha una contrazione della figura; se k = si ha l'identità; se k = si ha la simmetria rispetto all'origine.. Si può dimostrare che un'omotetia gode delle seguenti proprietà: l'omotetia trasforma una retta in una retta parallela alla retta data; le rette che passano per il centro di omotetia sono rette unite; l'omotetia è una similitudine; se k il centro di omotetia è l'unico punto unito; l'omotetia trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data; Area(F') se la figura F ' è l'immagine corrispondente di una figura F, allora Area(F) Dilatazioni Def. Si definisce dilatazione di centro C(x ; y ) e rapporti h e k con h e k, la trasformazione che ad ogni punto P(x; y) del piano fa corrispondere un punto P (x ; y ) in modo che valgano le equazioni: 2 k x' k(x x y' h(y y ) x ) y ovvero x' kx p y' hy q Osservazione. Se C(; ) le equazioni diventano: x' kx y' hy 5