SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO

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1 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO SIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI ASSE X: P ( x,y ) a P1 ( x, y ) ; punto medio: M1 ( x,0) ASSE Y: P ( x,y ) a P ( x, y ), punto medio: M ( 0,y ) La simmmetria rispetto ad un asse è quella trasformazione che associa a ciascun punto un altro punto tale la retta che li congiunge sia perpendicolare all'asse di simmetria ed il punto medio di essi vi appartenga. SIMMETRIA CENTRALE RISPETTO ALL'ORIGINE La simmetria centrale è quella trasformazione che associa ad un punto un altro punto tale che il punto medio fra essi sia l'origine degli assi. P ( x,y ) a P ( x, y ) punto medio: O ( 0,0) 1

2 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 Ad ogni punto del piano corrisponde un suo simmetrico rispetto a ciascuno dei due assi cartesiani per cui, ad ogni insieme di punti appartenente ad una data figura geometrica, luogo geometrico e grafico di funzione matematica, corrispondono rispettivamente, insieme di punti simmetrico della figura, del luogo geometrico e del grafico di funzione. In figura i triangoli simmetrici di un triangolo dato. FUNZIONI SIMMETRICHE E LORO GRAFICI. I grafici simmetrici delle funzioni, per esempio retta e parabola, si costruiscono a partire dalle loro espressioni che sono state modificate con la sostituzione delle variabili cambiate di segno, in base alle simmetrie. Illustriamo di seguito esempi di rette e simmetriche e di parabole simmetriche.

3 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 1) rette simmetriche della retta di equazione: x Asse X: y x Asse Y: y r: y x 6 x a r:y x 6 a y x y x a r: y x 6 y x x Origine: y y a r : y x 6 a y x + 6 Rappresentazione grafica delle rette simmetriche:

4 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 ) Parabole simmetriche della parabola di equazione : y x - 4x + x x Asse X : a y x - 4x + a y -x + 4x y y x x Asse Y: a y x + 4x + y y x x Origine : a y x + 4x - a y -x - 4x + y y Rappresentazione grafica delle parabole simmetriche: Esercizio: determinare, per ciascuna delle due seguenti funzioni, le tre simmetriche rispetto agli assi e all'origine e costruirne i rispettivi grafici nello stesso disegno. b) y-x + 6x a) -x+y+40 ; 4

5 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 SIMMETRIA DELLE FUNZIONI: PARITA' E DISPARITA' Esistono funzioni matematiche definite da formule che, rispetto ai cambiamenti dei segni dovuti alle simmetrie, hanno peculiari proprietà che qui definiamo: Simmetria pari: f ( x ) f ( x ) Esempio di funzione pari: f ( x ) x 8 a f ( x ) ( x ) 8 x 8 Simmetria dispari: f ( x ) -f ( x ) Esempio di funzione dispari: f ( x ) x 8x a f ( x ) ( x ) 8 ( x ) x + 8x x 8x Nessuna simmetria: f ( x ) ± f ( x ) Esempio di funzione non simmetrica: f ( x ) x 8x a f ( x ) ( x ) 8 ( x ) x + 8x ± f ( x ) Funzioni pari: formule e grafici rimangono invariati rispetto alla simmmetria di asse Y verticale per cui i grafici sono composti da due parti specularmente uguali da parti opposte rispetto all'asse Y Funzioni dispari: formule e grafici rimangono invariati rispetto alla simmetria centrale per cui i grafici sono composti da due parti specularmente uguali e da parti opposte rispetto all'origine, il primo ed il terzo quadrante oppure il secondo ed il quarto quadrante. Funzioni non simmetriche: formule e grafici cambiano a seguito delle trasformazioni di simmetria.

6 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 FUNZIONI MATEMATICHE E SIMMETRIE Le funzioni reali di variabile reale sono delle leggi di corrispondenza univoche, definite da formule matematiche, che associano ad ogni valore numerico della variabile indipendente X nell'insieme dei nueri reali R o di suoi sottoinsiemi detto dominio D, dei valori numerici reali di variabile dipendente Y che costituiscono l'insieme detto codominio. Definiamo meglio il concetto di univocità delle funzioni: ad ogni valore della variabile indipendente X del dominio viene associato, dalla formula che definisce la funzione, uno ed uno solo valore della variabile dipendente Y. Il simbolo od il valore della variabile indipendente x entro la parentesi prende il nome di argomento. Tra le più comuni funzioni matematiche di tipo algebrico vi sono la funzione lineare che definisce la retta, la funzione quadratica che definisce la parabola, la funzione omografica che definisce l'iperbole equilatera, la funzione valore assoluto. Esaminiamole di seguito dal punto di vista della proprietà di simmetria che si ricavano dalle formule. Funzione lineare: definisce la retta obliqua ed orizzontale. f ( x) m x + q a f ( x) m ( x) + q m x + q Se q 0 la retta non passa per l'origine e la funzione è priva di simmetria. Se q 0 la retta passa per l'origine e la funzione ha simmetria dispari: a f ( x ) m x f ( x ) Funzione quadratica: definisce la parabola ad asse verticale Un trinomio di secondo grado costituisce la formula della parabola verticale e, in base ai valori dei suoi coefficienti, può avere simmetria rispetto all'asse Y. 6

7 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 f ( x ) ax + bx + c a f ( x ) ax bx + c Se b 0 a f ( x ) f ( x ) nessuna simmetria Se b 0 a f ( x ) f ( x ) simmetria pari Le parabole prive del termine di primo grado hanno il vertice posizionato lungo l'asse Y che le divide in due parti specularmente uguali. Funzione omografica: E' una funzione fratta definita da quattro coefficienti per cui numeratore e denominatore sono binomi di primo grado: f (x) a x + b c x + d, c 0 f ( x) a x + b a x b c x + d c x d Se a 0 e d 0 la funzione è l'iperbole equilatera ed ha simmetria dispari: f (x) b f x b b ( ) c x c x c x Funzioni con moduli: definite per mezzo dela funzione modulo. Valore assoluto: simmetria pari funzione elementare che associa ad ogni numero reale il numero stesso se esso è positivo o nullo mentre associa il suo opposto se esso è negativo e la sua simmetria è evidentemente pari. f ( x) x : x x, x 0 x, x < 0 Rapportounitario: simmetria dispari funzione che associa ad ogni numero reale il rapporto fra il suo valore assoluto ed il numero stesso: è pari ad uno se il numero è positivo o nullo ed è pari al suo opposto se il numero è negativo e la simmetria è evidentemente dispari. 7

8 f ( x) Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 x x x +1, x 0 x x x x 1, x < 0 x, Rapprentazione grafica del valore assoluto e del rapporto unitario: Funzione f( x ): simmetria pari. Es.: f ( x ) x-8x ; f ( x ) x 8 x x 8x, x 0 x + 8x, x < 0 La caratteristica del grafico è quella di eliminare, dal grafico della funzione di partenza, la parte posta nel sempipiano sinistro dei valori negativi della variabile indipendente x della funzione di origine f(x). Funzione f(x) : simmetrica rispetto all'asse X f ( x) Esempio: f ( x), f ( x) 0 f ( x ), f ( x ) <0 8

9 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 f ( x ) x 8x, f ( x ) x 8x x 8x, x 8x 0 x + 8x, x 8x < 0 La caratteristica del grafico è quella di eliminare, dal grafico della funzione di partenza, la parte posta nel sempipiano inferiore dei valori negativi della y della funzione di origine f(x). Rappresentazione grafica delle funzioni con il modulo: Esercizi sulla proprietà di simmetria delle funzioni: 1] Utilizzare la definzione di parità, disparità ed asimmetria per verificare la proprietà di ciascuna funzione esplicitata: a) f ( x ) x x : dispari ; x + 1 b) f ( x ) x + : funzione asimmetrica ; 4 x 4 c) f ( x ) x : funzione pari ; x + 1 ] Per ogni funzione determinare le due funzioni definite con il modulo e rappresentare tutte e tre in grafici differenti, tramite tabelle di numeri, verificando le proprietà di simmetria come illustrato nelle precedenti figure: 9

10 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 a) f ( x ) x ; f(x) b) f ( x ) x + 6x ;f ( x ) c) f ( x ) 6 x f(x) ; ; ; ; f (x) f (x) f (x) SIMMMETRIA RISPETTO A RETTE PARALLELE AGLI ASSI Simmetria rispetto ad assi verticali e orizzontali Le seguenti equazioni di simmetrie garantiscono che, in base alla definizione generale, il punto medio di punti simmetrici appartenga all'asse del loro segmento. Simmetria di asse verticale con equazione x a : P(x,y) a P ( a x,y ) Simmetria di asse orizzontale con equazione y b : P(x,y) a P ( x,b y ) Es.: determiniamo le rette simmetriche rispetto agli assi indicati delle rette seguenti: x a) yx+1 ; asse: yx+1 b) y x a4 x y ay y ( 4 x ) + 1 a y x + 9 x- ; asse: y 4 x ax y a6 y y x- 6 y x a y x

11 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 Rappresentazione grafica delle rette e delle loro simmetriche degli esempi trattati: Si osservi, come appare anche dalla raffigurazione degli esempi visti, che esiste un punto che appartiene ad entrambe le rette associate nella simmetria e che appartiene necessariamente anche all'asse di simmetria: tale punto è detto "unito". SIMMETRIA RISPETTO ALLE BISETTRICI Punti simmetrici rispetto alla bisettrice "yx" x a y y ax P1 ( y,x ) a M1 x + y, y + x Il punto medio M1 del segmento PP1 appartiene alla bisettrice avendo coordinate uguali. P ( X,Y ) Punti simmetrici rispetto alla bisettrice "y-x" x a y y a x P ( y, x ) ; M x y, y x Il punto medio M del segmento PP appartiene alla seconda bisettrice avendo coordinate opposte. P ( x,y ) 11

12 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 Rette simmetriche delle due bisettrici. Per ottenere le equazioni delle rette simmetriche delle bisettrici si dovono sostituire le equazioni associate come nell'esempio seguente: x y a y a x x y a y 1 x + L'equazione ottenuta rappresenta la retta simmetrica della retta data rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Es.: y x Otteniamo ora la retta simmetrica della retta data rispetto alla seconda bisettrice: y x x a x y a y x y a y 1 x Data una qualsiasi funzione invertibile, lo scambio delle variabili e la successiva esplicitazione della variabile indipendente scambiata, determina la funzione inversa che, di conseguenza, possiede la proprietà di essere simmetrica della funzione data rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Le due figure che seguono rappresentano, dell'esempio, rispettivamente una funzione lineare e la sua funzione iversa simmetriche fra loro rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante e, la seconda a destra, la retta simmetrica rispetto alla seconda bisettrice. 1

13 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 SIMMETRIA RISPETTO AD ASSE OBLIQUO Deduciamo le leggi di trasformazione che ad ogni punto del piano associano il suo punto simmtrico da parte opposta di una retta del tipo "ymx+q". Introduciamo tali leggi per mezzo di un esempio: determinare il punto simmetrico P1(X1,Y1) del punto P(-7,8) rispetto alla retta di equazione "yx-": occorre notare che, in base alla definizione generale di simmetria rispetto ad un asse, valgono due condizioni che devono essere poste in forma di equazioni: a) Il coefficiente angolare della retta che passa per i due punti simmetrici deve essere antireciproco di quello dell'asse di simmetria poichè le due direzioni sono perpendicolari: y y1 8 y1 1 a 1 x x1 m 7 x1 b) Il punto medio del segmento che ha per estremi i due punti simmetrici deve appartenere all'asse di simmetria: 1

14 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 y + y1 x + x1 8 + y1 7 + x1 m + q a + Risolviamo dunque il sistema delle due equazioni e mostriamone il risultato senza i passaggi passaggi algebrici di routine omettendone i banali passaggi algebrici dei quali il lettore può svolgere come esercizio: 8 y x y 1 7+ x1 1 a a P1 ( 1, ) y x1 1 + In figura l'illustrazione grafica dell'esempio. 14

15 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 Per quanto riguarda le generali espressioni analitiche della legge di simmetria rispetto ad un asse qualsiasi, si può dimostrare, imponendo le due condizioni viste dall'esempio riportato sopra, che le coordinate del punto simmetrico di una dato punto rispetto ad retta di equazione " ymx+q ", vengono date dalle seguenti espressioni: Punti simmetrici rispetto ad una retta di ( equazione "y mx + q " : P ( x,y ) a P1 x1,y1 y m q x1 1 m x 1+ m 1 + m 1 + m ) m x 1 m y + q y1 1 + m 1 + m 1 + m Applichiamo ora la simmetria assiale rispetto all' asse di equazione "yx-" alla retta di equazione yx+1, sostituendo dapprima i valori del coefficiente angolare e del termine noto nelle espressioni generali e poi sostituendo: x1 x + y x+ 1 : 4x + y1 4y + y 1 a 6 4 x + y 6 x + 4 y a 4x + y 6 x + 4y a 7x y 0 a y 7x 1

16 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 FORMA MATRICIALE DELLA SIMMETRIA ASSIALE Le coordinate del punto simmetrico di un dato punto possono essere considerate come le componenti di un vettore che risulta a seguito di una applicazione dell'operatore di moltiplicazione fra una matrice quadrata di dimensione ed il vettore di componenti le coordinate del punto soggetto alla trasformazione di simmetria assiale: uur x V y a x uuur 1 V1 y1 uur v A V +B : A m + m m 1 + m m + m uv ;B m m m q 1 + m q 1 + m Rimanendo nei limiti imposti alla presente esposizione non approfondiamo ulteriormente l'argomento che rimandando ad altra trattazione, ma ci limitiamo a notare come il determinante della matricie sia di valore (-1), consentendo di interpretare la simmetria assiale come una operazione composta da una rotazione ed una traslazione di un certo angolo (alfa) rispetto rispetto all'asse orizzontale: m m Det ( A ) 1 m 1 m 1 + m 1 + m 1 + m 1 + m 1 + m 1 m 4m m m 4m m 1 + m 1 + m Tg α m a A Cos ( α ) 1 m 1 + m a Cos ( α Sin ( α ) ) Sin ( α ) Cos ( α ) 16, Sin ( α ) m 1 + m

17 Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO INDICE SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI 1 SIMMETRIA CENTRALE RISPETTO ALL'ORIGINE 1 FUNZIONI SIMMETRICHE E LORO GRAFICI SIMMETRIA DELLE FUNZIONI: PARITA' E DISPARITA' FUNZIONI MATEMATICHE E SIMMETRIE 6 SIMMETRIA RISPETTO A RETTE PARALLELE AGLI ASSI: 10 SIMMETRIA RISPETTO ALLE BISETTRICI 11 SIMMETRIA RISPETTO AD ASSE OBLIQUO 1 FORMA MATRICIALE DELLA SIMMETRIA ASSIALE 1 INDICE 17 17