UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

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1 UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo elemento B. Definizione di funzione A f B = f () f (A) Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive f : A B. Se è un elemento di A, il suo corrispondente di B si indica anche con f (). Il numero Immagine di un elemento = f () è l immagine del numero, data dalla funzione f, o anche: è il valore assunto dalla funzione in corrispondenza al numero A. Esempio.. Data f : R R, f ( ) = è la funzione che associa ad ogni numero reale il suo quadrato; essa si può indicare anche con L immagine del numero = è = f () = = 4. =. Analogamente si ha che f ( ) = 4, f ( a) = a, o anche ( ) f ( + h) = + h. Esempio.. Una funzione può anche essere definita a tratti ; ad 5

2 esempio se f + ) = ( se se < si ha che ( ) = + = 3 = f, ( ) = ( ) 4 f, f ( ) = + =. L insieme A dei valori per i quali esiste il corrispondente valore della si dice insieme di esistenza, o insieme di definizione, o anche dominio della funzione. Nel seguito indicheremo l insieme di esistenza di una funzione f con D. Dunque ogni elemento del dominio A ha la sua immagine in B, mediante la f. Non è detto, però, che ogni elemento di B debba essere immagine di un elemento di A, cioè vi possono essere elementi di B che non sono immagini di alcun elemento di A. Ne segue che, in generale, l insieme delle immagini sarà un sottoinsieme proprio di B, che si chiama immagine di A in B mediante la f, e si indica con f (A). L insieme f (A) si dice anche codominio. Dominio Insieme immagine Esempio..3 L immagine della funzione f : R R, f ( ) = è [,+ ) 0. Data una funzione = f (), si dice grafico della funzione l insieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile appartenenti al dominio, e per ordinata i valori corrispondenti della variabile. Grafico di una funzione = f () (, f ( ) ) In altre parole il grafico di una funzione = f () è il luogo dei punti del piano di coordinate (, f ( ) ) con appartenente al dominio della funzione. Questo significa che un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l equazione della funzione. 6

3 Esempio..4 Il grafico della funzione f ( ) = è la parabola con la concavità verso l alto e vertice nell origine. 4 (, f ()) Si rappresentano di seguito i grafici di alcune funzioni. Funzione costante: f ( ) = k Grafici delle funzioni elementari È una retta parallela all asse. Ad esempio f ( ) = : Funzione lineare: f ( ) = m + q È una retta con coefficiente angolare m e ordinata all origine q; per rappresentarla graficamente è sufficiente trovare due suoi punti. Ad esempio f ( ) = + : 3 Funzione quadratica: f ( ) = a + b + c 7

4 È una parabola con asse di simmetria parallelo all asse ; volge la concavità verso l alto se a > 0 e verso il basso se a < 0 ; il vertice è il punto b V,, dove = b 4ac a 4a ; le ascisse dei punti di intersezione con l asse sono dati dalle soluzioni dell equazione a + b + c = 0. Ad esempio f ( ) = : 0 Funzione di proporzionalità inversa: k f ( ) =, k 0, 0 È un iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Se k > 0 : Se k < 0 : Funzione omografica: a + b f ( ) =, c + d d c 8

5 È un iperbole equilatera avente come asintoti le rette di equazione a =. Ad esempio c + f ( ) = : d = e c = = Funzione potenza: f = α ( ), Con α > 0 intero pari: ad esempio f ( ) = oppure 4 f ( ) = : Con α > 0 intero dispari: ad esempio 3 f ( ) = oppure 5 f ( ) = : Con α > 0 razionale: ad esempio f ( ) = ( 0 ) oppure ( ) 3 3 f = = : = 9

6 Con α < 0 intero: ad esempio f ( ) = = ( 0 ) oppure f ( ) = = 3 ( 0 ): 3 Funzione esponenziale: f = ( ) a, a > 0 Se 0 < a <, ad esempio f ( ) = : Se a >, ad esempio f = ( ) e : 30

7 Funzione logaritmica: f ( ) = log, a > 0 a, > 0 Se 0 < a <, ad esempio f ( ) = log : a Se a >, ad esempio f ( ) = log : Funzione seno: f ( ) = sin È una funzione periodica di periodo π. π Funzione coseno: f ( ) = cos È una funzione periodica di periodo π. 3

8 π π Funzione tangente: f ( ) = tan, + kπ È una funzione periodica di periodo π. π Funzione arcoseno: f ( ) = arcsin, È la funzione inversa della funzione seno. π π Funzione arcocoseno: f ( ) = arccos, È la funzione inversa della funzione coseno. 3

9 π Funzione arcotangente: f ( ) = arctan È la funzione inversa della funzione tangente. π π Per la costruzione di alcuni grafici possono essere utili le seguenti osservazioni, che permettono di dedurre il grafico di alcune funzioni noti quelli di certe altre. Costruzione di alcuni grafici Funzione = f ( + a) Si ottiene traslando il grafico di f () verso sinistra se a > 0 e verso destra se a < 0. Ad esempio ( ) = log( + ) f : 33

10 Funzione = f ( ) + a Si ottiene traslando il grafico di f () verso l alto se a > 0 e verso il basso se a < 0. Ad esempio f ( ) = log + : Funzione = f (k) Si ottiene contraendo il grafico di f () parallelamente all asse (e in modo che i punti comuni con l asse rimangano fissi) se k >, e dilatandolo parallelamente all asse se 0 < < k. Ad esempio f ) log( ) ( = : Funzione = kf () 34

11 Si ottiene dilatando il grafico di f () parallelamente all asse (e in modo che punti in comune con l asse rimangano fissi) se è k >, e contraendolo parallelamente all asse se 0 < k <. Ad esempio f ( ) = log : Funzione = f ( ) È simmetrico, rispetto all asse, a quello di f (). Ad esempio ( ) f ( ) = log : Funzione = f () È simmetrico, rispetto all asse, a quello di f (). Ad esempio f ( ) = log : Funzione = f ( ) 35

12 Si ottiene dal grafico di f () mediante le seguenti osservazioni: è simmetrico rispetto all asse ; per 0 coincide con il grafico di f () ( ) f ( ) = log + :. Ad esempio Funzione = f () Si ottiene dal grafico di f () sostituendo la parte giacente nel semipiano delle negative con la sua simmetrica rispetto all asse. Ad esempio f ( ) = log :. Classificazione delle funzioni Quando esiste un insieme di operazioni matematiche ben definite, che applicate in un certo ordine a partire dalla fanno passare al Classificazione delle funzioni valore corrispondente della, si dice che la funzione è rappresentabile analiticamente. Le funzioni analitiche si distinguono in due grandi classi: quella delle funzioni algebriche e quella delle funzioni trascendenti. Una funzione si dice algebrica se il legame che esprime Funzioni 36

13 mediante si può ridurre a un equazione algebrica di grado qualsiasi nelle due incognite e (in tal caso le operazioni che compaiono sono le quattro operazioni fondamentali somma, differenza, prodotto, quoziente la potenza e l estrazione di radice). Esempi di funzioni algebriche sono 3 Le funzioni razionali intere; ad esempio f ( ) = algebriche Le funzioni razionali fratte; ad esempio f 3 ) = 3 ( Le funzioni irrazionali; ad esempio f 3 ( ) = 5 Una funzione che non sia algebrica si dice trascendente. La classe delle funzioni trascendenti è incomparabilmente più estesa e varia della precedente. Esempi di funzioni trascendenti elementari sono Le funzioni esponenziali; ad esempio f ( ) = e Funzioni trascendenti Le funzioni logaritmiche; ad esempio f ( ) = log Le funzioni goniometriche; ad esempio f ( ) = sin.3 Alcune proprietà delle funzioni Definizione. Una funzione D. f : D R si dice pari se risulta f ( ) = f ( ), Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse. Funzioni pari Esempio.3. La funzione f ( ) = è pari, perché risulta ) = ( ). Dunque f ( ) = f ( ) f ( = simmetrico rispetto all asse., R. Il suo grafico è 37

14 Esempio.3. La funzione f ( ) = cos è pari, perché risulta f ( ) = cos( ) = cos. Dunque f ( ) = f ( ), R. Il suo grafico è simmetrico rispetto all asse. Definizione. Una funzione f ( ) = f ( ), D. f : D R si dice dispari se risulta Funzioni dispari Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine. Esempio.3.3 La funzione 3 f ( ) = è dispari, perché risulta 3 3 ) = ( ) =. Dunque f ( ) = f ( ) f ( simmetrico rispetto all origine., R. Il suo grafico è 38

15 Esempio.3.4 La funzione f ( ) = sin è dispari, perché risulta f ( ) = sin( ) = sin. Dunque f ( ) = f ( ), R. Il suo grafico è simmetrico rispetto all origine. Definizione. Una funzione f : D R si dice crescente in D se D, si ha < f ) < f ( ), cioè se al crescere della variabile in D cresce ( anche il valore di f. Funzioni monotóne f () a b Definizione. Una funzione f : D R si dice non decrescente in D se, D si ha < f ) f ( ), cioè se al crescere della variabile ( in D il valore di f cresce o rimane costante. f () a b Definizione. Una funzione f : D R si dice decrescente in D se, D si ha < f ) > f ( ), cioè se al crescere della variabile in D decresce il valore di f. ( 39

16 f () a b Definizione. Una funzione f : D R si dice non crescente in D se, D si ha < f ) f ( ), cioè se al crescere della variabile ( in D il valore di f decresce o rimane costante. f () a b Definizione. Una funzione f : D R si dice monotóna in D se essa è ivi o crescente o non decrescente o decrescente o non crescente. Definizione. Una funzione distinti in elementi distinti. f : D R si dice iniettiva se porta elementi Funzioni iniettive Definizione. Una funzione f : D B si dice suriettiva se f ( D) = B, cioè se ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di D. Ovviamente una funzione f : D f ( D) è suriettiva. Funzioni suriettive Definizione. Una funzione f suriettiva. : D R si dice biiettiva se essa è iniettiva e Ovviamente una funzione f : D f ( D) è biiettiva se essa è iniettiva. Funzioni biiettive Se la funzione f : D f ( D) è iniettiva è anche invertibile, cioè esiste la funzione inversa f : f ( D) D. Funzioni invertibili 40

17 Teorema. Se f : D f ( D) è monotona crescente, o decrescente, allora essa è invertibile, e la sua inversa è anch essa monotona. Esempio.3.5 La funzione valori in ( ) (, + ),. f ( ) + = è definita in ( 0) ( 0, + ), a Essa è iniettiva e dunque invertibile; la sua inversa si determina ricavando in funzione di :. + = = + ( ) = = Dunque : (,) (, + ) (,0) ( 0, + ) f, nell espressione finale, si sostituisce la lettera alla )., per f ( ) = (in genere, Il suo grafico è simmetrico a quello della funzione f rispetto la bisettrice del primo e terzo quadrante. 4

18 .4 L insieme di esistenza di una funzione L insieme di esistenza di una funzione è l insieme dei valori della variabile per i quali hanno significato le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il valore corrispondente della. Per determinare l insieme di esistenza, o dominio, di una funzione, è bene ricordare che L operazione di divisione ha senso solo quando il divisore è diverso da zero; dunque le funzioni razionali fratte, cioè del tipo = f ( ), hanno g( ) per dominio tutti i numeri reali, esclusi quelli che, eventualmente, annullano il denominatore. La condizione da imporre è quindi g ( ) 0 Determinazione del dominio L operazione di estrazione di radice, se l indice è pari, ha senso solo quando il radicando è positivo o nullo; dunque le funzioni del tipo n f ( ) =, con n pari, hanno per dominio l insieme di tutti i numeri reali per i quali l espressione sotto radice è maggiore o uguale a zero. La condizione da imporre è quindi f ( ) 0 Il logaritmo, qualunque sia la base positiva e diversa da, ha senso se l argomento è positivo; dunque le funzioni del tipo = log f ( ) ( a > 0 a ) hanno per dominio l insieme di tutti i numeri reali per i quali l argomento del logaritmo è positivo. La condizione da imporre è quindi f ( ) > 0 Le potenze a base reale ed esponente reale esistono quando la base è a positiva; pertanto le funzioni del tipo g ( ) = f ( ) hanno per dominio tutti i numeri reali per i quali f () è positiva ed esiste g () condizione da imporre è quindi f ( ) > 0. La π La funzione goniometrica = tan è definita per ogni + kπ ( k Z ); dunque per le funzioni del tipo = tan f ( ) la condizione da 4

19 imporre è π f ( ) + kπ ( k Z ) Le funzioni goniometriche inverse = arcsin e = arccos sono definite per ; dunque per le funzioni del tipo = arcsin f ( ) e = arccos f ( ) la condizione da imporre è f ( ) Se per una stessa funzione è necessario imporre più condizioni, queste vanno messe a sistema. 4 Esempio.4. Determinare il dominio di = +. È una funzione razionale intera, dunque è definita D = R. R Esempio.4. Determinare il dominio di = È una funzione razionale fratta, dunque è definita se (, 4) ( 4,) ( + ) D =,. Esempio.4.3 Determinare il dominio di =. È una funzione irrazionale, dunque è definita se 0 [ + ) D =,. Esempio.4.4 Determinare il dominio di 3 =. È una funzione irrazionale ma la radice ha indice dispari, dunque è definita R D = R. Esempio.4.5 Determinare il dominio di log( 3) =. È una funzione logaritmica, dunque è definita se 3 > 0 (,0) ( 3 + ) D =,. Esempio.4.6 Determinare il dominio di = arcsin( ). 43

20 È definita se [,3] D =. Esempio.4.7 Determinare il dominio di 4 =. log ( + ) Le condizioni da imporre sono tre: sul radicando della radice quadrata, sull argomento del logaritmo e sul denominatore della frazione: > 0 log ( + ) 0 > 0 0 (,0) ( 0,] D =..5 Il segno di una funzione Studiare il segno di una funzione significa determinare per quali valori essa assume valori positivi, per quali si annulla e per quali assume valori negativi; per questo è sufficiente risolvere la disequazione f ( ) 0. Determinazione del segno Esempio.5. Studiare il segno della funzione La funzione è definita se 0 e =. = (,) (, + ) D. e Studiarne il segno significa risolvere la disequazione 0 N.: e 0 e 0; D.: > 0 >. 44

21 N D N/D La funzione è positiva in (, 0) (, + ) e negativa in (,) annulla per = 0. 0 ; infine si È possibile rappresentare graficamente il dominio e il segno di una funzione, come nel seguente esempio. 3 Esempio.5. Studiare il dominio e il segno della funzione = e rappresentarli graficamente. Dominio: (,0) ( 0 + ) 0 D =,. Segno: Rappresentazione grafica del dominio e del segno di una funzione 3 0 N.: = 0, = ± ; D.: > 0. N D N/D Graficamente: 45

22 3 0 3 Nel grafico si indica con il valore escluso dal dominio e con i valori in cui la funzione si annulla (e dunque interseca l asse delle ascisse). Per rappresentare il segno si cancellano le regioni al di sopra dell asse delle ascisse negli intervalli in cui la funzione è negativa e le regioni al di sotto dell asse delle ascisse in quelli in cui è positiva. 46

23 Esercizi Esercizio.6. Costruire il grafico delle seguenti funzioni esponenziali, a partire dal grafico della funzione a) = e + ; = e : b) c) d) e) f) g) h) = e + ; = e ; = e ; = e ; = e ; = e ; = e ; i) e +. = Esercizio.6. Costruire il grafico delle seguenti funzioni logaritmiche, a partire dal grafico della funzione = log : a) = log ; b) = log( ) ; c) = log ; d) = log ; e) = log ; f) = log( ). Esercizio.6.3 Dall esame della funzione sotto rappresentata si deduce che a) il dominio è.. b) l immagine è.. c) f ( ) =.; f ( KK) = ; d) la funzione è limitata.. ; e) la funzione è illimitata.. ; 47

24 f) la funzione ha un massimo assoluto uguale a. per =.; g) la funzione è crescente negli intervalli aperti..; h) la funzione è decrescente negli intervalli aperti..; i) l estremo inferiore (dei valori) della funzione è..; j) la disequazione f ( ) < 0 è verificata per Esercizio.6.4 Dall esame della funzione sotto rappresentata si deduce che a) il dominio è R {} ; V F b) l immagine è { } R ; V F c) la funzione ammette minimo; d) la funzione è limitata; e) l equazione f ( ) = è impossibile; f) f ( ) 0 per 0 ; g) la funzione è decrescente nell intervallo ( 0,+ ); h) f ( ) <. V V V V V V F F F F F F 48

25 - Esercizio.6.5 Studiare il dominio e il segno della funzione 0 + = e rappresentarli graficamente. 4 49

26 .