Istituzioni di Matematiche seconda parte

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1 Istituzioni di Matematiche seconda parte anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 31

2 index Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R 1 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 2 / 31

3 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Ordinamento dei numeri reali Due numeri reali a, b R possono sempre essere confrontati per stabilire se sono uguali o, in caso contrario, quale è il maggiore tra i due. Per confrontare due numeri reali si possono usare le seguenti proprietà: a, b, c R, se a < b, allora anche a + c < b + c; a, b, c R, se c > 0, e a < b, allora anche ac < bc; a, b, c R, se c < 0 e a < b allora ac > bc. ESERCIZIO Usare le proprietà sopra elencate per confrontare tra loro x = con y = 2 19, a = con b = 0, 42, m = 1 17 con n = Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 3 / 31

4 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R OSSERVAZIONE - L insieme dei numeri reali R è denso, cioè dati due qualsiasi numeri reali a, b R, esiste un numero reale c compreso tra i due (in realtà ne esistono infiniti). Ad esempio si può prendere c = a+b 2. Dato un numero reale a, si chiama modulo o valore assoluto di a il numero reale non negativo a = a, se a 0; a = a, se a < 0. Ad esempio 3 = 3, e 5 = 5. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 4 / 31

5 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Sistemi di riferimento sulla retta e sul piano L insieme dei numeri reali può essere visualizzato come insieme dei punti di una retta: per farlo occorre introdurre un sistema di riferimento sulla retta. Un sistema di riferimento cartesiano su una retta r è una terna R = {O, verso, U}, ove O r è un punto detto origine del riferimento), il verso è uno dei due possibili su r, e U è un segmento (che viene utilizzato come unità di misura): O X U r R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l insieme R dei numeri reali: : r R X x, ove x è la misura di OX rispetto a U, o il suo opposto, a seconda che X sia nella semiretta positiva, o negativa. Il numero reale x viene detto coordinata o ascissa di X. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 5 / 31

6 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale su un piano π è dato da una coppia di rette (del piano) ortogonali orientate (come in figura), dette assi, che si intersecano in un punto, detto origine, ed un segmento da considerarsi come unità di misura. asse y Y P O X asse x U Per P: retta parallela all asse x che taglia l asse y in Y e retta parallela all asse y che taglia l asse x in X. È possibile instaurare una corrispondenza biunivoca: π R 2 = R R P (x, y), ove x è la coordinata di X sull asse x (e viene detto ascissa di P), ove y è la coordinata di Y sull asse y (e viene detto ordinata di P). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 6 / 31

7 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Sup, Inf, Max, Min Un sottoinsieme A di R viene detto superiormente limitato se c R tale che x A si abbia x c. Un tale c viene detto maggiorante per A. Si noti che tale c non è unico: ogni numero c è pure un maggiorante. In modo analogo si definisce inferiormente limitato un sottoinsieme B di R che ammetta (almeno) un minorante, ovvero un d R tale che y B si abbia y d. Un insieme che sia tanto superiormente quanto inferiormente limitato viene detto limitato. ESEMPIO - L insieme Z non è né superiormente, né inferiormente limitato, l insieme N, non è superiormente limitato, ma è inferiormente limitato, l insieme Y = { n n N} è superiormente limitato, ma non inferiormente limitato, l insieme W = {1, 2, 3} è limitato. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 7 / 31

8 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Se A R è un insieme superiormente limitato, tra i maggioranti ce ne è uno che è minore di tutti gli altri e che viene detto estremo superiore di A, ovvero esiste un c tale che c è un maggiorante per A se b < c, allora b non è un maggiorante per A. Si scrive c = Sup(A). Analogamente se B R è un insieme inferiormente limitato, tra i minoranti ce ne è uno che è maggiore di tutti gli altri e che viene detto estremo inferiore di B, ovvero esiste un d tale che d è un minorante per B se f > d, allora f non è un minorante per B. Si scrive d = Inf (B). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 8 / 31

9 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Se un insieme H R non è superiormente limitato, si scrive Sup(H) = +, se un insieme K R non è inferiormente limitato, si scrive Inf (K) =. ESEMPI 1 L insieme X = { n n+1 n N} = { 1 2, 2 3, 3 4,... } è limitato; si ha Inf (X) = 1 2, Sup(X) = 1. 2 L insieme Z non è limitato né superiormente, né inferiormente; si ha Inf (Z) = e Sup(Z) = +. 3 L insieme N è inferiormente limitato, non superiormente limitato; si ha Inf (N) = 1, Sup(N) = +. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 9 / 31

10 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Sia A R, se A è superiormente limitato e Sup(A) A, si dice che A ammette massimo e si scrive Sup(A) = Max(A). Analogamente se A è inferiormente limitato e Inf (A) A, si dice che A ammette minimo e si scrive Inf (A) = Min(A). ESEMPI - L insieme dei numeri naturali N è inferiormente limitato ed ammette minimo: Min(N) = 1. L insieme A = {1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... } è inferiormente limitato, ma Inf (A) = 0 / A, per cui A non ammette minimo. ESERCIZIO - Trovare Sup, Inf, ed eventuali Max e Min, per ciascuno dei seguenti insiemi 1 A = {x R 1 < x < 2} {3} 2 B = {x R x 2} {3} 3 C = {1, 2, 3} {x R x 4} 4 D = {x R x 2 < 1} Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 10 / 31

11 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Intervalli sulla retta Si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R : i1 (a, b) = {x R a < x < b} i2 [a, b] = {x R a x b} i3 [a, b) = {x R a x < b} i4 (a, b] = {x R a < x b} j1 (, b] = {x R x b} j2 (, b) = {x R x < b} j3 [a, + ) = {x R x a} j4 (a, + ) = {x R x > a} j5 (, + ) = R Gli intervalli i1,..., i4 si dicono limitati, gli intervalli j1,..., j5 si dicono illimitati. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 11 / 31

12 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Intorni di numeri reali; intorni di + e di Dati due numeri reali a, b R si dice distanza tra a e b il valore assoluto della loro differenza, cioè il numero reale (non negativo) a b. ESEMPIO - La distanza tra 2 e 5 vale 7, poichè 2 5 = 7 = 7. La distanza tra 24 e 15 vale 9, poichè 24 ( 15) = 9 = 9. L insieme dei numeri reali la cui distanza dal numero 2 è minore di 5 è {x R 5 < x 2 < 5} ovvero l intervallo (2 5, 2 + 5) = ( 3, 7). Si dice intorno di raggio r del numero reale a l insieme di tutti e soli i numeri che distano da a meno di r, ovvero l intervallo U(a, r) = {x R a x < r} = {x R r < a x < r} = (a r, a + r). Si dice intorno destro di raggio r del numero reale a l insieme di tutti e soli i numeri maggiori o uguali ad a e che distano da a meno di r, ovvero l intervallo U + (a, r) = {x R x a, a x < r} = [a, a + r). Si dice intorno sinistro di raggio r del numero reale a l insieme di tutti e soli i numeri minori o uguali ad a e che distano da a meno di r, ovvero l intervallo U (a, r) = {x R x a, a x < r} = (a r, a]. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 12 / 31

13 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Si dice intorno di + di estremo sinistro h l intervallo U(+, h) = {x R x > h} = (h, + ). Si dice intorno di di estremo destro k l intervallo U(, k) = {x R x < k} = (, k). Dato un sottoinsieme A R si dice che un punto a A è interno se esiste un intorno di a interamente contenuto in A. ESEMPIO - In A = (1, 3], 3/2 e 2 sono punti interni, mentre 3 non lo è. In Z nessun punto è interno. ESERCIZIO - Stabilire in quali dei seguenti insiemi a = 2 è punto interno: A = [2, + ), B = (, 0) (1, 5), C = (0, 2) (2, 3), D = {1, 2, 3}. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 13 / 31

14 index 1 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 14 / 31

15 Il concetto di funzione Siamo A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) da A a B è una legge che ad ogni elemento dell insieme A associa uno ed un solo elemento dell insieme B. ESEMPIO - Indicato con R l insieme delle regioni italiane e con C l insieme dei comuni italiani, la legge che associa a ciascuna regione il suo capoluogo è una funzione da R a C, così come la legge che associa ad ogni comune la sua regione è una funzione da C ad R, mentre la legge che associa ad ogni regione i suoi comuni, non lo è. Perché? ESEMPIO - Indicato con K l insieme degli esseri umani viventi o vissuti, la legge che associa a ciascun individuo la propria madre (naturale) è una funzione da K a K, mentre la legge che associa ad ogni individuo i suoi figli, non lo è, e non lo è nemmeno quella che associa ad ogni individuo il proprio consorte. Perché? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 15 / 31

16 Se f è una funzione da A a B si scrive f : A B. L insieme A viene detto dominio di f, B codominio. Dato un x A, l elemento y B che si associa ad x viene detto immagine di x tramite f e si scrive y = f (x). Il sottoinsieme di B costituito dalle immagini degli elementi di A viene detto immagine di A tramite f e denotato con f (A) (o con Im(f )). Siamo interessati al caso in cui sia A R e B = R (funzioni reali di variabili reali). In questo caso spesso le funzioni sono assegnate in forma analitica. ESEMPI 1 f (x) = x 3 ; 2 f (x) = 3 x 2 ; 3 f (x) = x 2 + 3x; 4 f (x) = 5 3 x Nei casi scritti sopra si è specificata solo la legge che permette di determinare l immagine di un x. Non si è specificato il dominio A. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 16 / 31

17 La funzione dell esempio 1 è definita per qualsiasi valore della variabile x, ovvero può avere come insieme di definizione A = R, mentre le altre hanno significato solo per alcuni valori della variabile x. La funzione dell esempio 4 non è definita, ad esempio, per x = 5. In generale, quando non specificato, si assume che l insieme di definizione sia il più grande sottoinsieme di D di R tale che x D esista un y = f (x) R. Questo sottoinsieme D viene detto insieme di definizione o campo di esistenza di f. L insieme Γ f = {(x, y) R 2 y = f (x)} si dice grafico di f. Quello in figura non è il grafico di una funzione. Perché? Nella pagina seguente sono rappresentati i grafici delle funzioni degli esempi 1, 2, 3 e 4, citati prima. Si utilizzino i grafici per dedurre dominio e immagine di ciascuna delle suddette funzioni. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 17 / 31

18 Figure: esempio 1 Figure: esempio 2 Figure: esempio 3 Figure: esempio 4 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 18 / 31

19 Funzioni iniettive Una funzione f : A B si dice iniettiva se a elementi di A distinti tra loro associa elementi di B distinti tra loro. In altri termini, f è iniettiva se, s, t A, si ha o, equivalentemente, s t f (s) f (t) f (s) = f (t) s = t. Ad esempio la funzione che associa ad un individuo la propria madre non è iniettiva, dal momento che individui diversi possono avere la stessa madre. Nel caso di funzioni reali di variabile reale, l iniettività può essere "letta" dal grafico: f è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il grafico Γ f di f in al più un punto. Stabilire quali tra le funzioni degli esempi 1, 2, 3 e 4 siano iniettive. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 19 / 31

20 ESERCIZIO - Data la funzione definita da f (x) = 3 x2 x 2 +1 determinare l insieme di definizione di f stabilire se 0, 2, 1 sono valori assunti da f e, in caso affermativo, quante volte stabilire se f è iniettiva ESERCIZIO - Stabilire quali tra le seguenti funzioni sono iniettive (dopo averne determinato l insieme di definizione) f (x) = 5 3x f (x) = 5 3x f (x) = 2 x 3 f (x) = x 2 4 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 20 / 31

21 Composizione di funzioni In alcuni casi due funzioni si possono applicare una dopo l altra per ottenere una nuova funzione. Ad esempio se dapprima si applica la funzione che ad un individuo associa la propria madre e dopo la funzione che ad un individuo associa il proprio padre, si ottiene la funzione che a ciascun individuo associa il proprio nonno materno (il padre della madre). Potremmo dire che la funzione "nonno materno" è ottenuta componendo la funzione "madre" con la funzione "padre". Invece componendo prima la funzione "padre" e dopo la funzione "madre" si ottiene la funzione "nonna paterna". Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale, f : A R R e g : B R R. Se f (A) B, preso x A, si può considerare f (x) f (A) B ed applicare a questo la funzione g ottenendo g(f (x)). Si definisce funzione composta g f : A R la funzione che ad ogni x A associa y = g(f (x)). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 21 / 31

22 Come si è già visto nel caso delle funzioni "madre" e "padre" nella composizione di funzioni è importante l ordine in cui si considerano le due funzioni. Ad esempio, componendo la funzione f (x) = x 2 + 1, con la funzione g(x) = 3x, si ottiene la funzione h(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 1) = 3(x 2 + 1) = 3x Invece componendo prima g e poi f si ottiene k(x) = f (g(x)) = f (3x) = (3x) = 9x ESERCIZIO - Date f (x) = x, g(x) = x 3 determinare gli insiemi di definizione di f e di g si possono costruire le funzioni f g, g f, f f e g g? In caso affermativo scriverne la rispettiva espressione analitica. ESERCIZIO - Date f (x) = x + 3, g(x) = 1 (g è la funzione costante di valore 1) determinare dominio ed immagine di f e di g determinare f g, g f. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 22 / 31

23 Funzione inversa Quando una funzione f : A R è iniettiva, ogni y f (A) proviene da un solo x A, ovvero y f (A), uno ed un solo (in simboli!) x A tale che f (x) = y. Si può allora costruire una funzione : f (A) R (che viene detta inversa di f e denotata con f 1 ) nel seguente modo: f 1 (y) = x f (x) = y. Ad esempio, se f : R R è la funzione definita da f (x) = x 3, allora f è iniettiva e si può definire la funzione inversa f 1 (y) = 3 y : la funzione "radice cubica" è l inversa della funzione "cubo." Potremmo altrettanto dire che la funzione "radice quadrata" è l inversa della funzione "quadrato"? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 23 / 31

24 ESERCIZIO - Determinare, se esiste, la funzione inversa di ciascuna delle seguenti funzioni f (x) = 5x 4 f (x) = x 3 3 f (x) = x f (x) = (x 2) 2. Si noti che il grafico di f 1 si può ottenere dal grafico di f per riflessione (simmetria) rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 24 / 31

25 Funzioni monotone Una funzione f : A R R si dice monotona crescente (rispett. monotona strettamente crescente) se a, b A con a < b si ha f (a) f (b) (rispett. f (a) < f (b)) monotona decrescente (rispett. monotona strettamente decrescente) se a, b A con a < b si ha f (a) f (b) (rispett. f (a) > f (b)) Una funzione si dice monotona (rispett. strettamente monotona) se è monotona crescente oppure decrescente (rispett. strettamente monotona crescente oppure decrescente). Una funzione strettamente monotona è iniettiva (e quindi ammette inversa). ESERCIZIO - Mostrare un esempio di funzione monotona non iniettiva. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 25 / 31

26 Concavità Una funzione f : A R R si dice concava verso l alto (rispett. concava verso il basso) nell intervallo (a, b) A se s, t con a < s < t < b il segmento che unisce i punti (s, f (s)) e (t, f (t)) sta tutto sopra (rispett. sotto) il grafico di f. Una funzione concava verso l alto viene anche detta convessa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 26 / 31

27 Funzioni limitate, massimo e minimo assoluto Una funzione f : A R R si dice superiormente limitata se la sua immagine f (A) è un insieme superiormente limitato, ovvero se H R tali che x A sia f (x) H. Se Sup(f (A)) = k, si scrive anche Sup(f ) = k Si dice che f ha massimo assoluto M se M è il massimo di f (A). Un punto x 0 tale che f (x 0 ) = M viene detto punto di massimo (assoluto) per f. Una funzione f : A R R si dice inferiormente limitata se la sua immagine f (A) è un insieme inferiormente limitato, ovvero se h R tali che x A sia f (x) h. Se Inf (f (A)) = k, si scrive anche Inf (f ) = k. Si dice che f ha minimo assoluto m se m è il minimo di f (A). Un punto x 0 tale che f (x 0 ) = m viene detto punto di minimo (assoluto) per f. Funzione limitata, con massimo, senza minimo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 27 / 31

28 ESERCIZIO - Stabilire se g, h e k siano iniettive. Stabilire se g, h e k siano monotone (crescenti o decrescenti). Stabilire se g, h e k siano strettamente monotone (crescenti o decrescenti). Stabilire se g, h e k siano concave verso l alto o verso il basso. Determinare h(g(2)) Determinare k 1 (3) Disegnare il grafico di k 1. Figure: g Figure: h Figure: k Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 28 / 31

29 ESERCIZIO 1 Disegnare il grafico di una funzione che abbia 2 punti di massimo assoluto e nessun punto di minimo assoluto. 2 Disegnare il grafico di una funzione che abbia 2 punti di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto. 3 Disegnare il grafico di una funzione che abbia infiniti punti di massimo assoluto e nessun punto di minimo assoluto. 4 Disegnare il grafico di una funzione concava verso l alto e con un punto di minimo assoluto. 5 Disegnare il grafico di una funzione concava verso l alto e priva di punti di minimo assoluto. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 29 / 31

30 Zeri e segno di una funzione Sia f : A R R. Un punto a A si dice zero di f se f (a) = 0. Si dice che f è positiva in B A se x B si ha f (x) > 0. Si dice che f è negativa in B A se x B si ha f (x) < 0. ESERCIZIO Data la funzione f (x) = x 2 x+3, trovare gli zeri di f, il più grande sottoinsieme di A in cui f è positiva, il più grande sottoinsieme di A in cui f è negativa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 30 / 31

31 ESERCIZIO - In figura è il grafico della funzione f (x) = x2 +1 x. 1. Per quali valori di h l equazione x2 +1 x = h non ha soluzioni? 2. Per quali valori di h l equazione x2 +1 x = h ha una sola soluzione? 3. Per quali valori di h il numero 1 è soluzione dell equazione x2 +1 x = h? 4. Quante soluzioni ha l equazione x2 +1 x = 3? 5. Quante soluzioni ha la disequazione x2 +1 x < 1? 6. Quante soluzioni ha la disequazione x2 +1 x < 1? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 31 / 31

32 ESERCIZIO - Disegnare il grafico della funzione definita (a pezzi) da: f (x) = (x + 4) 2, per 5 x 0 f (x) = x 2, per 2 x < 4 f (x) = x, per x determinare l insieme di definizione di f, 2. determinare gli intervalli in cui è crescente o decrescente, 3. stabilire se f è o meno limitata e determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo assoluti, 4. determinare gli zeri di f, 5. determinare gli intervalli in cui f è positiva e quelli in cui f è negativa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 31 / 31