Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

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1 Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Se diamo il nome f a questa funzione, si scrive f : A B; il valore y B corrispondente di x A tramite f viene indicato con y = f (x). A volte si usa (impropriamente) quest ultima notazione per indicare la funzione, la scrittura: f : x f (x) è quella corretta. L insieme A su cui la funzione f è definita è il dominio (o campo di esistenza) di f, l insieme B in cui f assume valori è il codominio di f, l insieme è l immagine (di A tramite f). Una funzione f : A B si dice f (A) = {f (x) : x A} iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y suriettiva se f (A) = B biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e B. Se f è una funzione (definita in un certo insieme A) ed a valori in B e se g è, a sua volta, una funzione definita in B (a valori in un certo insieme C), è possibile costruire la funzione composta h = g f, h : A C definita dalla regola h (x) = g (f (x)). Se f : A B è una funzione biiettiva si dice che f è invertibile e si può costruire la funzione g : B A che associa ad ogni y B l unico x A tale che f (x) = y. La funzione g viene detta funzione inversa di f e viene di solito indicata con f 1. Ovviamente se g = f 1 allora f = g 1. Si osservi che la funzione composta tra due funzioni inverse tra loro f e g è sempre l identità (la funzione che ad ogni valore fa corrispondere sé stesso), ma g f = I A, f g = I B cioè la prima è l identità su A, la seconda è l identità su B. Sia f : A B e sia A 1 A. La funzione f 1 : A 1 B definita da f 1 (x) = f (x) per ogni x A 1 viene detta restrizione di f ad A 1. Il grafico di una funzione f : A B è il sottoinsieme del prodotto cartesiano A B Γ (f) = {(x, f (x)) : x A} = {(x, y) : x A, y B, y = f (x)}. Se f : A B è invertibile allora il grafico di f 1 Γ ( f 1) = {(f (x), x) : x A} = {(y, x) : x A, y B, y = f (x)}. è costituito dalle stesse coppie del grafico di f con posizioni scambiate: disegnando i due grafici nello stesso riferimento cartesiano si ottengono figure simmetriche rispetto dell identità (bisettrice del primo e del terzo quadrante). 1

2 Proprietà di funzioni - funzioni elementari. Sia f una funzione definita in un qualsiasi insieme A, a valori in R. Si dice che f è limitata (superiormente limitata, inferiormente limitata), che f assume massimo (o minimo) se l immagine di f ha queste caratteristiche. Per esempio dire che f assume (o ammette) massimo significa affermare che esiste almeno un elemento x 0 di A tale che f (x) f (x 0 ) per ogni x A. Se x 0 è unico, cioè se x x 0 = f (x) < f (x 0 ) si dice che x 0 è un punto di massimo assoluto forte, altrimenti si parla di massimo (sempre assoluto) debole. Sia ora A R, si dice che x 0 è un punto di massimo relativo per f (o che f ha in x 0 un massimo relativo) se è possibile trovare un intorno U di x 0 (cioè un intervallo contenuto in A e contenente nel suo interno il punto x 0 ) in modo che x U = f (x) f (x 0 ). La definizione di minimo relativo è analoga. Si noti che ogni funzione costante ha in ogni punto del suo dominio sia un massimo che un minimo (deboli). Se f una funzione reale di variabile reale con dominio A (f : A R R). Si dice che f è non decrescente in A se x, y A, x < y = f (x) f (y) f è strettamente crescente in A se x, y A, x < y = f (x) < f (y) f è non crescente in A se x, y A, x < y = f (x) f (y) f è strettamente decrescente in A se x, y A, x < y = f (x) > f (y) Le funzioni con queste proprietà vengono dette monotòne e a volte, generando un po di confusione i termini non decrescente e non crescente vengono sostituiti con crescente e, rispettivamente, decrescente. Tutte le funzioni strettamente monotone su un insieme sono iniettive e, quindi, invertibili. Se A è simmetrico rispetto all origine si dice che f è pari se per ogni x A risulta f ( x) = f (x) f è dispari se per ogni x A risulta f ( x) = f (x). Elenchiamo ora alcune funzioni di uso comune nell analisi matematica che, salvo avviso contrario, sono definite su tutto R. Funzioni costanti: f (x) = c. Associano ad ogni x sempre lo stesso valore. Il loro grafico è una retta orizzontale. Funzioni lineari: f (x) = mx. angolare m. Il loro grafico è una retta per l origine di coefficiente Funzioni affini: f (x) = mx + q. Il loro grafico è una retta, di coefficiente angolare m, che incontra l asse verticale nel punto di ordinata q. Potenze ad esponente intero positivo: f (x) = x n, n N. dispari a seconda che n sia pari o dispari. Sono funzioni pari o 2

3 n Polinomi: f (x) = c k x k = c 0 + c 1 x + c 2 x c n x n. Sono combinazioni lineari di k=0 potenze; oltre ai casi visti sopra per n = 0 e n = 1, se n = 2 si ha una parabola. Funzioni razionali: f (x) = P (x) Q (x) in cui Q (x) 0. con P e Q polinomi. Sono definite in tutti i punti Radici n esime: f (x) = n x. Se n è dispari sono definite su tutto R e sono le funzioni inverse delle funzioni potenza; se n è pari sono definite su R + (l insieme dei numeri reali non negativi) e sono le funzioni inverse della restrizione ad R + delle funzioni potenza. Potenze ad esponente razionale: sia p Z, q N ed x > 0. Si pone f (x) = x p/q = ( q x) p = q x p. Se p/q è positivo allora la funzione viene definita anche per x = 0 ponendo f (0) = 0. Potenze ad esponente reale: f (x) = x α, α R. Se α è positivo e non è razionale } sono funzioni definite solo su R + e, per ogni x > 1 fissato si definisce x a = sup {x p/q : pq < α. Se x (0, 1) allora x = 1 y con y > 1 quindi xα = 1 y. α Se α < 0 allora x α = 1, definita solo per x > 0. x α Funzioni esponenziali: f (x) = a x, a > 0. Sono le funzioni definite nel punto precedente in cui la variabile si trova all esponente. Sono definite su tutto R, assumono valori strettamente positivi e sono strettamente crescenti se a > 1, strettamente decrescenti se a < 1. Funzioni logaritmiche: f (x) = log a x, a > 0, a 1. Sono le funzioni inverse delle funzioni esponenziali: sono definite per x > 0 e sono (ovviamente) strettamente crescenti se a > 1, strettamente decrescenti se a < 1. Le proprietà fondamentali (ben note!!!) delle potenze e dei logaritmisono: Siano a, b, x, y > 0, (a, b 1), u, v R. Allora: a u a v = a u+v, a u b u = (a b) u, (a u ) v = a u v log a (x y) = log a x + log a y, u log a x = log a (x u ), log a x = log b x log b a e, per definizione di logaritmo come funzione inversa dell esponenziale è sempre a log a x = x, log a a x = x. Funzioni trigonometriche: consideriamo, in un piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali, la circonferenza unitaria, cioè il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) verificano l equazione x 2 + y 2 = 1. Sia P un punto sulla circonferenza e sia A il punto di coordinate (1, 0). Detta θ l ampiezza dell angolo (misurato in radianti) P ÔA (o la lunghezza dell arco di estremi A e P si definiscono come cos θ e sin θ rispettivamente l ascissa e l ordinata di P. In effetti i punti A e P non determinano un solo angolo ma infiniti e due di questi differiscono per un numero intero di giri, le loro ampiezze differiscono quindi per un multiplo intero di 2π. 3

4 Le le funzioni seno e coseno sono quindi funzioni periodiche di periodo 2π, cioè sin (θ + 2kπ) = sin θ, cos (θ + 2kπ) = cos θ. Si definisce la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno: tan θ = sin θ/ cos θ è una funzione periodica di periodo π e non è definita dove il coseno si annulla, cioè nei punti di ascissa kπ + π/2, k Z. Proprietà delle funzioni trigonometriche. Oltre alla uguaglianza fondamentale sin 2 θ + cos 2 θ = 1 si vede immediatamente che la funzione coseno è sfasata di π/2 rispetto al seno, cioè sin θ = cos (θ π/2) inoltre la funzione coseno è pari mentre le funzioni seno e tangente sono dispari. Riportiamo qui alcune delle formule di maggior utilizzo cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin 2x = 2 sin x cos x ( x ) sin 2 = 1 cos x 2 2 tan x tan y tan (x y) = 1 + tan x tan y tan 2x = 2 tan x 1 tan 2 x cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y sin (x y) = sin x cos y cos x sin y cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x ( x ) cos 2 = 1 + cos x 2 2 tan x + tan y tan (x + y) = 1 tan x tan y 1 cos 2 x = sin2 x + cos 2 x = 1 + tan 2 x cos 2 x Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. In quanto periodiche le funzioni trigonometriche non possono essere invertibili non essendo iniettive, è però possibile definire la funzione inversa di una loro opportuna restrizione. Vengono chiamate arcoseno, arcocoseno, arcotangente ed indicate con arcsin ( ), arccos ( ), arctan ( ) rispettivamente le funzioni inverse delle restrizioni del seno a [ π/2, π/2] del coseno a [0, π] e della tangente a ( π/2, π/2). Le prime due funzioni sono definite in [ 1, 1] l ultima su tutto R. Altre funzioni (non elementari) di uso comune. { x se x 0 Modulo o valore assoluto: x = max {x, x} = x se x < 0. Parte intera: è la funzione che ad ogni numero reale associa il massimo tra i numeri interi che non superano il numero assegnato: [x] = max {n Z : n x} parte decimale o mantissa: è la funzione differenza tra l identità e la parte intera: mant (x) = x [x]. segno è la funzione che ad ogni numero reale x associa i valori: +1 se x > 0, 1 se x < 0 e 0 se x = 0 : sgn x = x x per x 0, sgn 0 = 0. Funzione caratteristica di un insieme E è la funzione che associa il valore 1 ad ogni elemento di E ed il valore 0 ad ogni elemento del complemento di E. In particolare { la funzione caratteristica di [0, + ] viene detta funzione di Heaviside: H (x) = 0 se x < 0 ; la funzione caratteristica dell intervallo [a, b] si può scrivere come H (x a) 1 se x 0 H (b x). 4

5 Ad ogni funzione f si possono infine associare le funzioni f, f +, f definite da f = max {f, f}, f + = max {f, 0}, f = max { f, 0}. Ovviamente f = f + + f e f = f + f. 5