Corso di Analisi Matematica I numeri reali

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1 Corso di Analisi Matematica I numeri reali Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 57

2 1 Insiemi e logica 2 Campi ordinati 3 Estremo superiore e assioma di continuità 4 Radici, potenze, logaritmi 5 Grandezze trigonometriche ICD (Bari) Analisi Matematica 2 / 57

3 Insiemi I concetti di base di teoria degli insiemi non saranno definiti in modo rigoroso ma informale. Insieme: nozione primitiva, sinonimo di classe, collezione, famiglia L insieme degli iscritti all Università di Bari L insieme delle stelle di una certa galassia Notazione: X Y Z (lettere maiuscole dell alfabeto) Elemento: ogni insieme è determinato dai suoi elementi Appartenenza: se X è un insieme e x è un suo elemento, si scrive simbolo di appartenenza x X ICD (Bari) Analisi Matematica 3 / 57

4 Come si specifica un insieme: Elencandone gli elementi: X = {1, 2, 3} Usando le proprietà verificate dai suoi elementi: X = {x p(x) è vera} ove p(x) è una proprietà che dipende da x. X = {x x è un numero naturale pari} ICD (Bari) Analisi Matematica 4 / 57

5 Osservazioni Non è importante: l ordine in cui si è elencano gli elementi {1, 2, 6} = {1, 6, 2} la molteplicità degli elementi L insieme delle sol. dell eq. x 1 = 0 coincide con l insieme delle sol. dell eq. (x 1) 2 = 0, anche se nel secondo caso x = 1 ha molteplicità algebrica 2. ICD (Bari) Analisi Matematica 5 / 57

6 Relazioni tra insiemi: uguaglianza ed inclusione. Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi. In tal caso si scrive A = B. Ogni elemento di A è elemento di B e ogni elemento di B è elemento di A Formalmente: x (x A x B) e x (x B x A) Quantificatore universale: per ogni Implicazione logica: implica se... allora ICD (Bari) Analisi Matematica 6 / 57

7 Se vale una sola delle due richieste: Ogni elemento di A è elemento di B si dice che A è contenuto in B e si scrive A B. Formalmente: x (x A x B) A è un sottoinsieme di B A B non esclude che A = B. Se A B ma A non è uguale a B si scrive A B e si parla di inclusione stretta. ICD (Bari) Analisi Matematica 7 / 57

8 A B: Ogni elemento di A è elemento di B ed esiste x in B che non appartiene ad A Formalmente: x (x A x B) e x B x / A Quantificatore esistenziale: esiste non appartiene insieme vuoto : indica un insieme che non ha elementi ICD (Bari) Analisi Matematica 8 / 57

9 Insiemi numerici L insieme dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. L insieme dei numeri relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,...}. L insieme dei numeri razionali: { n } Q = m n, m Z, m 0 Due numeri razionali n m e n m si identificano se nm = n m. ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 57

10 Insiemi numerici Rappresentazione decimale dei numeri razionali: ogni numero razionale può essere rappresentato mediante un allineamento decimale limitato (dopo la virgola un numero finito di cifre diverse da 0); 1 2 = 0, 5 3 = 0, 75 4 illimitato, periodico, proprio (dopo la virgola un numero infinito di cifre diverse da 0, che si ripetono in modo periodico con periodo diverso da 9). 1 = 0, = 0, 3 2, = 2, 4 2, = 2, Gli allineamenti decimali di periodo 9 (detti impropri) sono usati come rappresentazione alternativa degli allineamenti decimali finiti. 1 = 0, 9 1, 35 = 1, 349. ICD (Bari) Analisi Matematica 10 / 57

11 Insiemi numerici L insieme dei numeri reali, che si denota con R, è l insieme dei numeri che scritti in forma decimale presentano dopo la virgola una successione qualsiasi di cifre diverse da 0, eventualmente anche infinita e non periodica. 0, π = 3, = 1, Gli elementi di R ma non di Q si chiamano numeri irrazionali (sono gli allineamenti decimali infiniti e non periodici). Inclusioni: N Z Q R ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 57

12 Operazioni su insiemi Sia X un insieme e A, B X. Intersezione A B = {x X x A e x B} Unione A B = {x X x A o x B} Differenza A \ B = {x X x A, x B} Ad esempio, R \ Q è l insieme dei numeri irrazionali. ICD (Bari) Analisi Matematica 12 / 57

13 Operazioni su insiemi coppia ordinata: (a, b) con a A, b B. Il prodotto cartesiano di A e B, che si denota con A B, è l insieme costituito da tutte le coppie ordinate (a, b) con a A, b B. A B = {(a, b) a A, b B} ICD (Bari) Analisi Matematica 13 / 57

14 Logica elementare In matematica si usano due tipi di affermazioni: enunciati o proposizioni cioè affermazioni di cui è possibile stabilire la verità o la falsità; 2 è un numero pari 2 è un numero dispari predicati o proprietà cioè affermazioni la cui verità o falsità dipende dai valori delle variabili che in essa compaiono. n è un numero naturale dispari ICD (Bari) Analisi Matematica 14 / 57

15 Logica elementare Dai predicati si ottengono enunciati mediante i quantificatori: n N (n dispari n 2 dispari). In generale, se p(x) e q(x) sono predicati, x A (p(x) q(x)) è un enunciato che prende il nome di implicazione universale. La maggior parte dei teoremi è costituita da implicazioni universali. p(x) si chiama ipotesi, q(x) si chiama tesi. ICD (Bari) Analisi Matematica 15 / 57

16 Logica elementare Per provare che x A (p(x) q(x)) è vera, si deve considerare un generico x A che verifica p(x) e mostrare q(x) è vera. Proviamo che il seguente enunciato è vero: n N (n dispari n 2 dispari). Per provare che x A (p(x) q(x)) è falsa, si deve determinare x A tale che p(x) sia vera ma q(x) sia falsa. Tale x si chiama controesempio. Infatti, la negazione di una implicazione universale è x A (p(x) e non q(x)) Il seguente enunciato è falso: n N (n primo n è dispari). Controesempio: n = 2 ICD (Bari) Analisi Matematica 16 / 57

17 Logica elementare L implicazione x A (p(x) q(x)) equivale a x A (non q(x) non p(x)) Quindi, avendo dim. che n N (n dispari n 2 dispari) è vero anche che n N (n 2 pari n pari). ICD (Bari) Analisi Matematica 17 / 57

18 Logica elementare Dimostrazione per assurdo. Consiste nel supporre vera l ipotesi e la negazione della tesi di un teorema e dedurre da questi fatti una contraddizione. Teorema Non esiste x Q soluzione dell equazione x 2 = 2. La negazione di x p(x) è x non p(x) ; la negazione di x p(x) è x non p(x). ICD (Bari) Analisi Matematica 18 / 57

19 Campi ordinati Studiare in dettaglio la struttura degli insiemi numerici. Capire meglio la differenza tra Q ed R. Occorre introdurre le operazioni e la relazione d ordine sia in Q che in R. ICD (Bari) Analisi Matematica 19 / 57

20 Addizione R 1 ): È definita in Q l operazione di addizione + tale che per ogni a, b Q, a + b = b + a; per ogni a, b, c Q, (a + b) + c = a + (b + c); esiste 0 Q tale che a Q a + 0 = a; per ogni a Q esiste un (unico) elemento di Q, indicato con a (opposto di a), tale che a + ( a) = 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 20 / 57

21 Moltiplicazione R 2 ): È definita in Q l operazione di moltiplicazione tale che per ogni a, b Q, a b = b a; per ogni a, b, c Q, (a b) c = a (b c); esiste 1 Q tale che a Q a 1 = a; per ogni a Q, a 0 esiste un (unico) elemento di Q, indicato con a 1 o con 1 a (inverso o reciproco di a), tale che a a 1 = 1 a 1 a = 1. per ogni a, b, c Q, a (b + c) = a b + a c. ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 57

22 Osservazioni in Q + e sono definite nel seguente modo: n m + r ns + mr = s ms n m r s = n r m s. Le proprietà R 1 ) ed R 2 ) permettono di definire tutte le operazioni: per ogni a, b Q a b = a + ( b) per ogni a, b Q, b 0 a : b = a b 1 Rappresentazione geometrica di Q: 5/2 5/ ICD (Bari) Analisi Matematica 22 / 57

23 Relazione d ordine in Q Una relazione d ordine su un insieme X è una relazione tale che per ogni a X a a; per ogni a, b X a b, b a a = b; per ogni a, b, c X a b, b c a c. La relazione si dice di totale ordine se per ogni a, b X a b oppure b a. R 3 ): È definita in Q una relazione di totale ordine minore o uguale ( ) tale che per ogni a, b, c Q a b a + c b + c; per ogni a, b, c Q, 0 c a b a c b c. ICD (Bari) Analisi Matematica 23 / 57

24 Campi ordinati Notazioni: a b b a a < b a b, a b a > b a b, a b Ogni insieme che verifica le proprietà R 1 ) R 2 ) R 3 ) si dice campo ordinato. Q è un campo ordinato; R è un campo ordinato. ICD (Bari) Analisi Matematica 24 / 57

25 Quali sono allora le proprietà che distinguono Q da R? Perché è stato necessario ampliare Q? Q non è adeguato a misurare le lunghezze: abbiamo già visto che la misura della diagonale di un quadrato non può essere espressa mediante un numero razionale. Dal punto di vista geometrico: dopo aver occupato i punti della retta con tutti i numeri razionali, su di essa rimangono dei posti vuoti. Si è dovuto ampliare Q in modo da avere ancora un campo ordinato i cui elementi siano in corrispondenza biunivoca con i punti della retta: R verifica questa proprietà. ICD (Bari) Analisi Matematica 25 / 57

26 Regole di calcolo Esaminiamo alcune proprietà dei numeri reali, conseguenze di R 1 ) R 2 ) R 3 ). Per ogni a R a 0 = 0. Per ogni a, b R a b = 0 a = 0 oppure b = 0. Dalle precedenti proprietà si ottiene la legge di annullamento del prodotto: per ogni a, b R a b = 0 a = 0 oppure b = 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 26 / 57

27 Regole di calcolo Proprietà degli opposti: Per ogni a R ( a) = a. Per ogni a, b R ( a) b = (a b). Per ogni a, b R a ( b) = (a b). Per ogni a, b R ( a) ( b) = a b. ICD (Bari) Analisi Matematica 27 / 57

28 Regole di calcolo Proprietà dei reciproci: Per ogni a R a a = a. Per ogni a, b R a, b 0 1 a b = 1 a 1 b. Per ogni a R a 0 1 a = 1 a. ICD (Bari) Analisi Matematica 28 / 57

29 Regole di calcolo Proprietà delle uguaglianze: Per ogni a, b, c R Per ogni a, b, c R a 0 a + b = c a = c b. a b = c b = c a. Risoluzione dell equazione di primo grado: per ogni a, b R, a 0 ax + b = 0 ax = b x = b a. ICD (Bari) Analisi Matematica 29 / 57

30 Regole di calcolo Regole di semplificazione: Per ogni a, b, c R a ± c = b ± c a = b. Per ogni a, b, c R, c 0 a c = b c a = b. Per ogni a, b, c R, c 0 a c = b c a = b. ICD (Bari) Analisi Matematica 30 / 57

31 Regole di calcolo Conseguenze delle proprietà della relazione d ordine: Per ogni a, b, c R a + b c a c b; a b + c a c b. È possibile trasportare un addendo da un membro all altro di una disuguaglianza cambiandolo di segno. Si ricava che: Per ogni a, b R a b b a; 0 a a 0; a 0 0 a. ICD (Bari) Analisi Matematica 31 / 57

32 Regole di calcolo Conseguenze delle proprietà della relazione d ordine: Per ogni a, b, c R a < b, c > 0 a c < b c; a b, c 0 a c b c; a < b, c < 0 a c > b c. Moltiplicando ambo i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno se il numero è positivo, di segno opposto se il numero è negativo. ICD (Bari) Analisi Matematica 32 / 57

33 Regole di calcolo Disequazioni di primo grado: per ogni a, b R, a > 0 ax + b 0 ax b x b a ; ax + b > 0 ax > b x > b a ; ax + b 0 ax b x b a ; ax + b < 0 ax < b x < b a. ICD (Bari) Analisi Matematica 33 / 57

34 Regole di calcolo Regola dei segni: per ogni a, b R 0 a, 0 b 0 a b; 0 a, b 0 a b 0; a 0, b 0 0 a b. Il prodotto di due numeri è positivo se i numeri hanno le stesso segno, negativo se i numeri hanno segno opposto. Le proprietà precedenti continuano a valere se si sostituisce ovunque con <. ICD (Bari) Analisi Matematica 34 / 57

35 Regole di calcolo Ricordiamo che per ogni a R si definisce a 2 = a a. Proprietà dei quadrati e dei reciproci: per ogni a R per ogni a R a 2 0 a 2 = 0 a = 0; a > 0 1 a > 0 a < 0 1 a < 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 35 / 57

36 Intervalli Sottoinsiemi di R che sulla retta corrispondono a segmenti: intervalli limitati. Siano a, b R, a b. [a, b] = {x R a x b} (a, b) = {x R a < x < b} (a, b] = {x R a < x b} [a, b) = {x R a x < b} ICD (Bari) Analisi Matematica 36 / 57

37 Intervalli Sottoinsiemi di R che sulla retta corrispondono a semirette: intervalli illimitati. Sia a R. [a, + ) = {x R x a} (a, + ) = {x R x > a} (, a] = {x R x a} (, a) = {x R x < a} Semiretta positiva: R + = (0, + ) Semiretta negativa: R = (, 0) R = R \ {0} = R + R ICD (Bari) Analisi Matematica 37 / 57

38 Insiemi limitati Definizione Sia E R, E. E si dice limitato superiormente se esiste M R tale che per ogni x E x M; limitato inferiormente se esiste m R tale che per ogni x E m x; limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente cioè se esistono m, M R tali che per ogni x E m x M. ICD (Bari) Analisi Matematica 38 / 57

39 Massimo e minimo Definizione Sia E R, E. Un numero reale x è il massimo di E (e si denota con max E) se x E; per ogni x E x x; Un numero reale x è il minimo di E (e si denota con min E) se x E; per ogni x E x x; Quindi E ammette massimo E è limitato superiormente E ammette minimo E è limitato inferiormente ICD (Bari) Analisi Matematica 39 / 57

40 Estremo superiore e inferiore Esistono insiemi limitati che non ammettono massimo e/o minimo. Definizione Sia E R, E. Un numero reale K è un maggiorante di E se per ogni x E x K. Un numero reale K è un minorante di E se per ogni x E K x. ICD (Bari) Analisi Matematica 40 / 57

41 Estremo superiore e inferiore Definizione Sia E R, E. Se esiste il minimo dell insieme dei maggioranti di E, esso si chiama estremo superiore di E e si denota con sup E. sup E = min {K R K è un maggiorante di E} Se esiste il massimo dell insieme dei minoranti di E, esso si chiama estremo inferiore di E e si denota con inf E. inf E = max {K R K è un minorante di E} Se x = max E allora x = sup E. Se x = min E allora x = inf E. ICD (Bari) Analisi Matematica 41 / 57

42 Completezza di R Esempi Esempio importante: E = {x Q x 0, x 2 < 2} E è limitato superiormente, se sup E esiste allora verifica x 2 = 2. Quindi sup E non esiste in Q ma esiste in R (ed è 2). Un insieme X (totalmente ordinato) verifica la proprietà dell estremo superiore se R 4 ): ogni E X non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore sup E X. ICD (Bari) Analisi Matematica 42 / 57

43 Definizione assiomatica di R Teorema Esiste un insieme che verifica le proprietà R 1 ), R 2 ), R 3 ), R 4 ), ossia un campo ordinato che ha la proprietà dell estremo superiore. Tale insieme si denota con R. R è una rappresentazione adeguata dell idea di retta. Usando R 4 ) (in una forma equivalente) si prova che R e la retta r sono in corrispondenza biunivoca cioè ad ogni punto di r corrisponde un unico numero reale e viceversa. Ciò permette di identificare r e R e di parlare di retta reale. ICD (Bari) Analisi Matematica 43 / 57

44 Valore assoluto Definizione Si chiama valore assoluto di un numero reale a, e si indica con il simbolo a, il numero reale non negativo definito come a = { a se a 0 a se a < 0. Se a, b R, a b rappresenta la distanza dei due punti a e b sulla retta reale. Sia a R +. Allora x a a x a x [ a, a]; x a x a oppure x a x (, a] [a, + ). ICD (Bari) Analisi Matematica 44 / 57

45 Radice n esima Una conseguenza della proprietà R 4 ). Ricordiamo che per ogni x R ed n N \ {0} x n = x } {{ x}. n volte Teorema (esistenza della radice n-esima) Sia y R, y > 0 e n N, n 1. Esiste uno ed un solo numero reale x > 0 tale che x n = y. Tale numero x si chiama radice n esima di y e si denota con il simbolo n y oppure y 1 n. Si noti che per ogni y R y 2 = y. ICD (Bari) Analisi Matematica 45 / 57

46 Radice n esima Cosa accade se y 0? Se y = 0 e n N \ {0}, l eq. x n = 0 ammette come unica sol. x = 0. Dato y R, y < 0 e n pari, l eq. x n = y non ammette sol. Dato y R, y < 0 e n dispari, osserviamo che ( n n ( ) n ( y)) = n ( 1)n ( y) = ( y) = y cioè x = n ( y) risolve l eq. x n = y. Quindi ha senso definire la radice n esima di y come n y = n ( y). ICD (Bari) Analisi Matematica 46 / 57

47 Rappresentazione decimale della radice n-esima Cerchiamo l allineamento decimale di 2: 2 = a 0, a 1 a 2 a = = 4 a 0 = 1 (1, 4) 2 = 1, 96 (1, 5) 2 = 2, 25 a 1 = 4 (1, 41) 2 = 1, 9881 (1, 42) 2 = 2, 0164 a 2 = Sia E = {1, 1, 4, 1, 41,...}. E è limitato superiormente (2 è un maggiorante) quindi ammette estremo superiore. Si prova che 2 = sup E. ICD (Bari) Analisi Matematica 47 / 57

48 Se a R \ {0} si definisce a 0 = 1. Potenze Dati a, r R si definisce la potenza di base a ed esponente r e si scrive a r. Caso in cui r è un numero intero. Se a R e r Z, r > 0 a r = a } {{ a }. r volte Se a R \ {0} e r Z, r < 0 (in tal caso r > 0) a r = 1 a r. ICD (Bari) Analisi Matematica 48 / 57

49 Potenze Caso in cui r è un numero razionale. Se a R + e r Q, r = m n, m Z, n N \ {0} a r = a m n = (a m ) 1 n = n a m. La base a può essere negativa solo in certi casi: sia a R e r Q, r = m n, m Z, n N \ {0}, n dispari a r = a m n = n (a m ). ICD (Bari) Analisi Matematica 49 / 57

50 Potenze Caso in cui l esponente è un numero reale. Se a > 1 e b R +, b = b 0, b 1 b 2 b n, allora a b = sup { a b0,b1b2 bn n N }. Se 0 < a < 1 (in tal caso 1/a > 1) e b > 0, allora a b = ( 1 ) b. 1 a Se a > 0, a 1 e b < 0 (in tal caso b > 0) a b = 1 a b. ICD (Bari) Analisi Matematica 50 / 57

51 Proprietà algebriche delle potenze Siano a, b reali positivi, c, d reali qualsiasi a 0 = 1 per ogni a 0; 1 c = 1 per ogni c; a c > 0 per ogni c; a c+d = a c a d ; a c d = a c /a d ; (a b ) c = a b c ; (a b) c = a c b c ; (a/b) c = a c /b c. ICD (Bari) Analisi Matematica 51 / 57

52 Logaritmo I logaritmi sono legati alle soluzioni delle eq. del tipo a x = y (ove l incognita è x). Teorema Siano a, y R +, a 1. Allora esiste uno ed un solo x R tale che a x = y. La soluzione di tale equazione si chiama logaritmo in base a di y e si indica con il simbolo log a y. ICD (Bari) Analisi Matematica 52 / 57

53 Se y 0 l eq. a x = y non ha soluzione. Se a = 1 l eq. a x = y non ha soluzione se y 1, ha infinite soluzioni se y = 1. Proprietà algebriche dei logaritmi: per ogni a, b > 0, x, y > 0 a log a x = x; log a (x y) = log a x + log a y; loga (x/y) = log a x log a y; loga x y = y log a x y R; log b x = log a x/ log a b; log a a = 1; loga 1 = 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 53 / 57

54 Seno, coseno, tangente In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, si consideri la circonferenza goniometrica (indicata con C), cioè la circonferenza avente centro nell origine e raggio 1 (di equazione x 2 + y 2 = 1). Un numero x [0, 2π[ si dice ampiezza dell angolo AOP se x è la lunghezza dell arco AP, ove A = (1, 0). P O A ICD (Bari) Analisi Matematica 54 / 57

55 Seno, coseno, tangente Si definiscono coseno e seno di x (e si scrive cos x e sen x) come le coordinate del punto P : P = (cos x, sen x). Si possono definire sen x e cos x per ogni x R, nel seguente modo: { cos(x + 2kπ) = cos x x [0, 2π[, k Z sen(x + 2kπ) = sen x x [0, 2π[, k Z. Si definisce la tangente di x (e si scrive tg x) come tg x = sen x cos x x π + kπ, k Z. 2 ICD (Bari) Analisi Matematica 55 / 57

56 Alcuni valori da ricordare gradi radianti 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π 2π radianti 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π 2π seno 0 1/2 2/2 3/ coseno 1 3/2 2/2 1/ ICD (Bari) Analisi Matematica 56 / 57

57 Proprietà di seno e coseno Per ogni x, y R cos x 1, sen x 1; sen 2 x + cos 2 x = 1; cos(x ± y) = cos x cos y sen x sen y; sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y; sen 2 x = (1 cos(2x))/2; cos 2 x = (1 + cos(2x))/2; sen(2x) = 2 sen x cos x; cos(2x) = cos 2 x sen 2 x = 1 2 sen 2 x = 2 cos 2 x 1. ICD (Bari) Analisi Matematica 57 / 57