Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti

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1 Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30

2 1 Definizione di successione e di limite di una successione 2 Successioni monotone 3 Il calcolo dei limiti 4 Confronti e stime asintotiche ICD (Bari) Analisi Matematica 2 / 30

3 Successioni Funzioni di particolare importanza: Definizione Una successione è una legge che associa ad ogni elemento di N un numero reale cioè una funzione reale definita su N: f : N R f(n) = a n n a n. Si denota con {a n } n N {a n } a n n a n. Spesso le successioni sono definite da un certo intero n 0 in poi, cioè il loro dominio è del tipo {n N n n 0 }. In tal caso si scrive {a n } n n0. ICD (Bari) Analisi Matematica 3 / 30

4 Grafici di successioni: a n = 1/n a n = ( 1) n ICD (Bari) Analisi Matematica 4 / 30

5 Successioni limitate Definizione Una successione {a n } si dice limitata inferiormente se esiste m R tale che, per ogni n, a n m; limitata superiormente se esiste M R tale che, per ogni n, a n M; limitata se esistono m, M R tale che, per ogni n, m a n M. L operazione di limite consente di studiare il comportamento dei numeri a n quando n diventa sempre più grande. ICD (Bari) Analisi Matematica 5 / 30

6 Limiti di successioni Definizione Una successione {a n } possiede definitivamente un proprietà se esiste N N tale che a n soddisfa quella proprietà per ogni n N. Esempi ICD (Bari) Analisi Matematica 6 / 30

7 Successioni convergenti Definizione Una successione {a n } si dice convergente se esiste un numero l R con questa proprietà: qualunque sia ε > 0 risulta definitivamente a n l < ε. In altre parole: per ogni ε > 0 esiste N N tale che a n l < ε n N. ICD (Bari) Analisi Matematica 7 / 30

8 Limite di una successione Quindi, se una successione è convergente ad essa è associato un numero l. Si prova che l è unico. Definizione Sia {a n } una successione convergente. Il numero reale l che compare nella definizione precedente si chiama limite della successione {a n }. Si scrive lim a n = l n + oppure a n l per n +. ICD (Bari) Analisi Matematica 8 / 30

9 Si noti che, dalle proprietà del valore assoluto, la disuguaglianza a n l < ε equivale a l ε < a n < l + ε. Dunque la condizione di convergenza significa che, fissata una striscia orizzontale [l ε, l + ε] comunque stretta, da un certo indice in poi i punti della successione non escono più da questa striscia. Da questa osservazione risulta che: Esempi Ogni successione convergente è limitata. ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 30

10 Successioni divergenti Definizione Sia {a n } una successione. Si dice che {a n } diverge a + se per ogni M > 0 si ha a n > M definitivamente e si scrive lim a n = + ; n + si dice che {a n } diverge a se per ogni M > 0 si ha a n < M definitivamente e si scrive lim a n =. n + Esempi ICD (Bari) Analisi Matematica 10 / 30

11 I simboli + e non sono numeri. L insieme dei numeri reali R con l aggiunta dei due elementi + e si indica con R : R = R { } {+ }. L operazione di limite ha completamente significato se ambientata in R : il limite di una successione, se esiste, è un elemento di R. Esistono successioni che non sono né convergenti né divergenti (per esempio {( 1) n }). Tali successioni si dicono irregolari o indeterminate. Per esse l operazione di limite non è definita. ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 30

12 Insiemi non limitati È comodo adottare la convenzione usata per i limiti anche per il sup e l inf di insiemi. Definizione Sia E R. Se E non è limitato superiormente si dice che sup E = + ; se E non è limitato inferiormente si dice che inf E =. ICD (Bari) Analisi Matematica 12 / 30

13 Infinitesimi e infiniti Definizione Una successione {a n } si dice infinitesima se lim a n = 0. n + Una successione {a n } si dice infinita se lim a n = ±. n + Gli infinitesimi (infiniti) non sono numeri ma quantità variabili che tendono a diventare indefinitamente piccole (grandi). ICD (Bari) Analisi Matematica 13 / 30

14 Successioni monotone Definizione Una successione {a n } si dice monotona crescente se per ogni n a n a n+1 ; strettamente crescente se per ogni n a n < a n+1 ; monotona decrescente se per ogni n a n a n+1 ; strettamente decrescente se per ogni n a n > a n+1. Esempi Le successioni monotone non sono mai irregolari. ICD (Bari) Analisi Matematica 14 / 30

15 Limiti di successioni monotone Teorema Sia {a n } una successione monotona. Se {a n } è monotona crescente e superiormente limitata allora {a n } è convergente e lim n + a n = sup{a n n N}. Se {a n } è monotona decrescente e inferiormente limitata, allora {a n } è convergente e lim n + a n = inf{a n n N}. ICD (Bari) Analisi Matematica 15 / 30

16 Limiti di successioni monotone Corollario Sia {a n } una successione monotona. Se {a n } è monotona crescente allora lim a n = sup{a n n N}. n + Se {a n } è monotona decrescente, allora lim a n = inf{a n n N}. n + ICD (Bari) Analisi Matematica 16 / 30

17 Il numero di Nepero Teorema La successione definita da è convergente. a n = ( n) n n 1 Si prova che {a n } è strettamente crescente e limitata (2 a n 4). Si scrive ( lim n = e. n + n) Il numero di Nepero e è irrazionale e la sua rappresentazione decimale inizia così: ICD (Bari) Analisi Matematica 17 / 30

18 Successione geometrica (di ragione q) È la successione {q n }, per un fissato q R. Si ha lim n + qn = + se q > 1; 1 se q = 1; 0 se q < 1; non esiste se q 1. Se q > 1, {q n } è monotona crescente, illimitata superiormente. Se q = 1, {q n } è costante. Se 0 < q < 1, {q n } è monotona decrescente. Se q < 0, {q n } non è monotona. ICD (Bari) Analisi Matematica 18 / 30

19 Limiti e operazioni Teorema (Algebra dei limiti) Se a n a, b n b, con a, b R allora a n ± b n a ± b Ka n Ka a n b n a b a n b n a b per ogni K R (b n, b 0). ICD (Bari) Analisi Matematica 19 / 30

20 Limiti e ordinamento Teorema (Permanenza del segno, prima forma) Se a n a e a > 0 allora a n > 0 definitivamente. Se a n a e a < 0 allora a n < 0 definitivamente. ICD (Bari) Analisi Matematica 20 / 30

21 Limiti e ordinamento Teorema (Permanenza del segno, seconda forma) Se a n a e a n 0 definitivamente allora risulta a 0. Se a n a, b n b e a n b n definitivamente allora risulta a b. ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 30

22 Limiti e ordinamento Teorema (del confronto) Se a n b n c n definitivamente ed esiste l R tale che a n l, c n l allora anche b n l. Corollario Se b n c n definitivamente e c n 0 allora anche b n 0. Se c n 0 e b n è limitata b n c n 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 22 / 30

23 Esempi Si dimostra che: lim n + nα = + se α > 0; 1 se α = 0; 0 se α < 0. Applicazione: limiti di successioni che sono scritte come rapporto tra due successioni, ciascuna costituita da somme di potenze di n. ICD (Bari) Analisi Matematica 23 / 30

24 Estensione delle operazioni con i limiti Casi in cui i limiti sono + o. a + = + a = + + = + = Se a 0, a a = 0 = (ove il segno di va determinato con la usuale regola dei segni) a = 0 Si noti che mancano le regole relative alle espressioni + 0 che, per tale motivo, prendono il nome di forme di indecisione. 0 0 ICD (Bari) Analisi Matematica 24 / 30

25 Confronti e stime asintotiche È utile saper confrontare due successioni entrambe infinite o entrambe infinitesime per capire quale delle due tenda più rapidamente all infinito o a 0. Siano {a n } e {b n } due successioni. Consideriamo il limite del loro rapporto. Si hanno le seguenti possibilità: 0 a n l R \ {0} lim = n + b n ± non esiste ICD (Bari) Analisi Matematica 25 / 30

26 Confronto tra infiniti Se {a n } e {b n } sono due infiniti, si dice che {a n } è un infinito di ordine inferiore a {b n } se a n lim = 0; n + b n {a n } e {b n } sono infiniti dello stesso ordine se a n lim = l R \ {0}; n + b n {a n } è un infinito di ordine superiore a {b n } se a n lim = ± ; n + b n {a n } e {b n } non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non esiste. ICD (Bari) Analisi Matematica 26 / 30

27 Confronto tra infinitesimi Se {a n } e {b n } sono due infinitesimi, si dice che {a n } è un infinitesimo di ordine superiore a {b n } se a n lim = 0; n + b n {a n } e {b n } sono infinitesimi dello stesso ordine se a n lim = l R \ {0}; n + b n {a n } è un infinitesimo di ordine inferiore a {b n } se a n lim = ± ; n + b n {a n } e {b n } non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non esiste. ICD (Bari) Analisi Matematica 27 / 30

28 Successioni asintotiche Definizione Siano {a n } e {b n } due successioni. Se a n lim = 1 n + b n si dice che {a n } e {b n } sono asintotiche e si scrive a n b n. ICD (Bari) Analisi Matematica 28 / 30

29 Proprietà delle successioni asintotiche Proposizione Se a n b n allora {a n } e {b n } hanno lo stesso comportamento: o convergono allo stesso limite o divergono o entrambe non hanno limite. Se a n b n... c n allora a n c n. Se a n a n, b n b n, c n c n allora a n b n c n a nb n c. n Osserviamo inoltre che a n b n a n = b n c n con c n 1 ICD (Bari) Analisi Matematica 29 / 30

30 Esempio di successioni che non sono asintotiche a {n α } per nessun α > 0: Proposizione Per ogni a > 1, α > 0 si ha log lim a n n α n + n α = 0 lim n + a n = 0. Questi limiti descrivono la velocità con cui i logaritmi (con base > 1), le potenze, gli esponenziali (con base > 1) vanno all : i logaritmi più lentamente di qualsiasi potenza; le potenze più lentamente di qualsiasi esponenziale. ICD (Bari) Analisi Matematica 30 / 30