Limite di successioni

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1 Limite di successioni Ricordiamo che: una successione è una funzione a : n N a (n) R si pone a n = a (n) e la successione stessa viene indicata con (a n ) n0 oppure a 0,a 1,a 2,a 3,... è ammesso che sia dom a = {n N : n n 0 }, n 0 N, nel qual caso la successione sarà ovviamente (a n ) nn0 ovvero a n0,a n0 +1,a n0 +2,.... La nozione di ite (finito o infinito) a + ha senso anche per una successione (a n ) nn0 : a n = significa I (), N >0, n > N a n I (). Posso sempre supporre N N ed N>n 0.

2 Vediamo in dettaglio i vari casi, usando l ecace terminologia seguente: diciamo che un predicato p (n) dipendente da una variabile n N vale definitivamente se N N tale che p (n) è vera per ogni n>n (ad esempio 2 n > 100 vale definitivamente, perché equivale a n>log e quindi vale per tutti gli n maggiori di N =[log 2 100] = 6). Una successione (a n ) nn0 è: convergente ad R ( a n = ) se > 0 risulta a n < definitivamente (cioè N N, n >N, a n < ) divergente a + ( a n =+) sem >0 risulta a n >M definitivamente (cioè N N, n >N, a n >M) divergente a ( a n = ) se M >0 risulta a n < M definitivamente (cioè N N, n >N, a n < M) regolare se è convergente o divergente irregolare (o oscillante o indeterminata) se non è regolare.

3 I teoremi sui iti ed i principi di equivalenza e di einazione valgono anche per le successioni (per un compendio testo o dispensa ). Per il carattere locale del ite: se a n = b n definitivamente, allora a n èregolareseesolo se b n è regolare; in tal caso, a n = b n = il carattere di una successione (= il suo essere convergente, divergente o irregolare) ed il valore del suo ite, se esiste, non cambiano alterandone un numero finito di termini. Per questo, l indice iniziale n 0 è spesso irrilevante e si scrive solo (a n ). Teorema (sostituzione). Sia c n = c (finito o infinito) e sia f una funzione definita in un I (c) (anche solo unilaterale se c = x ± 0 ). Supponiamo inoltre che: i) xc f (x) = esista (finito o infinito) ii) f siacontinuainc (anche solo da un lato se c = x ± 0 ) oppure sia c n = c definitivamente. Allora il ite di f (c n ) esiste e risulta f (c n)=. Conseguenza: data a n = a (n), sea (x) ha senso per x variabile in tutto un I (+) e a (x) esiste, allora a n = x+ a (x) [basta applicare il teorema con c n = n] x+ Questo fornisce ad esempio i iti delle successioni n, log a n, a n ( R, a>0, a = 1).

4 Esempio. Provare che n n =1. Non è sempre risolutivo immaginare x al posto di n : a n può esistere anche se x+ a (x) ( sin (x), ma sin (n) =0); x+ ci sono operazioni sui naturali che non hanno senso sui reali qualsiasi: ad esempio (1) n, n!= 1 se n =0 n (n 1) (n 2) 3 2 1=n (n 1)! se n 1. In questi casi si deve ragionare direttamente tramite teoremi e principi sui iti.

5 Esempi. Calcolare n!, 1 (1) n + n! e (1) n n log 1+ (1)n n. È utile la seguente graduatoria di infiniti notevoli: le successioni (log n), (n ), (a n ), (n!), (n n ) con > 0 ed a>1 fissati divergono tutte positivamente e sono elencate in ordine crescente di velocità di divergenza. In altri termini, ciasuna è trascurabile rispetto alla successiva: log n = o (n ), n = o (a n ), a n = o (n!), n!=o (n n ). e n log (n 2 + n) Esempio. Calcolare (1) n. n 3 n!

6 Corollario al teorema di sostituzione (non esistenza del ite). Siano (a n ) e (b n ) due successioni che tendono a c restando definitivamente = c esiaf una funzione definita in un I (c). Allora f (a n) = f (b n ) = xc f (x) non esiste. Dimostrazione. Per contronominale: se f (x) esistesse, allora dovrebbe essere xc f (a n) = f (b n ) = f (x) per il teorema di sostituzione precedente. xc Esempio. cos x non esiste, perché cos (2n) =1e cos + =0. x+ 2 Teorema (successioni monotone). Ogni successione monotona è regolare e si ha a n = sup a n (finito o +) se a n crescente n inf n a n (finito o ) se a n decrescente È molto utile osservare che la crescenza (decrescenza) di una successione (a n ) equivale a n, a n a n+1 (a n a n+1 ) (cioè è suciente confrontare il generico termine con il successivo). Esempio. Verificare che a n = n!, n 1, è strettamente crescente. n +1.

7 Sottosuccessioni Sia n 0 <n 1 <n 2 <...una successione avaloriinn. Data una successione qualsiasi (a n ), a 0,a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,... possiamo considerarne solo i termini di indici n k : a n0,a n1,a n2,... La successione ottenuta è detta sottosuccessione estratta da (a n ). In sostanza, si tratta della successione composta k n k a nk,cioè(a nk ). Esempi. 1) Se n k = k 2 e a n = ne n,alloraa nk = a k 2 = k 2 e k2. 2) Data (a n ) n0, le sottosuccessioni (a 2k ) k0 e (a 2k+1 ) k0 sono a 0,a 2,a 4,... e a 1,a 3,a 5,... Ad esempio, se a n =(1) n, allora a 2k =(1) 2k =1e a 2k+1 =(1) 2k+1 = 1. Teorema (ite di sottosuccessioni). Se (a n ) è regolare, ogni sua sottosuccessione (a nk ) èregolareerisulta a n k = a n. k Corollario (successioni irregolari). Siano (a nk ) e a n k due sottosuccessioni regolari di una successione (a n ). Allora a n k = a n k k k = a n non esiste. Dimostrazione. Per contronominale: se a n esistesse, allora dovrebbe essere a n k = a n k k k = a n per il teorema precedente.

8 Esempi. 1) (1) n non esiste, perché k (1) 2k =1e k (1) 2k+1 = 1. 2) (1) n n non esiste, perché k (1)2k 2k = 2k =+ e k k (1)2k+1 2k + 1 = k 2k +1 =.