Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte

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Saverio Zani
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1 Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte Questo teorema serve per calcolare il limite di funzioni composte sfruttando limiti fondamentali o altri limiti già noti. TEOREMA. Se esiste lim f() = l = ± e esiste lim g(), 0 l oppure se esiste lim 0 f() = l R e g è continua in = l, oppure se esiste lim 0 f() = l R, esiste un intorno I( 0 ) tale che f() l per ogni I( 0 ), ed esiste lim l g(), ALLORA esiste lim 0 g(f()) e si ha lim 0 g(f()) = lim l g() (1) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 1

2 Esempio 1. lim e = f() = 1 2 g() = e Abbiamo: 0 = +, 1 2 l = lim f() = lim =, 0 + lim g() = lim l e = 0. (Siamo nel primo caso delle ipotesi) Valgono le ipotesi del teorema, quindi possiamo concludere la tesi Allora lim 0 g(f()) = lim l g(), cioè: lim e = lim e = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 2

3 sin( 1) Esempio 2. lim. 1 1 = f() = 1 g() = { sin se 0 1 se = 0 Abbiamo 0 = 1, l = lim f() = lim( 1) = 0, 0 1 g è continua in l = 0 e g(0) = 1. (Siamo nel secondo caso delle ipotesi) Valgono le ipotesi del teorema, quindi possiamo concludere la tesi Allora lim g(f()) = lim g(), cioè 0 l sin( 1) sin lim = lim = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 3

4 Esempio 3. lim 0 + sin(1/). sin(1/) Anzitutto riscrivo lim 0 + sin(1/) = lim 0 + 1/ = f() = 1/ Abbiamo 0 = 0 +, l = lim + 0 g() = 1 f() = lim 0 + = +, { sin se 0 1 se = 0 sin lim g() = lim = 0. (Siamo nel primo caso delle ipotesi) l + Valgono le ipotesi del teorema, quindi possiamo concludere la tesi Allora lim 0 g(f()) = lim l g(), cioè: lim 0 + sin(1/) = lim + sin = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 4

5 Approfondimento. Un esempio a cui non è possibile applicare il teorema di sostituzione. lim sign( sin(1/)). ( 0 = 0). 0 { 1 se 0 = f() = sin(1/), g() = sign() = 0 se = 0 l = lim 0 f() = 0, f() = l = 0 in infiniti punti in I( 0 ); esiste lim 0 g() = 1, ma g(0) = 0 g NON è continua in l = 0; le ipotesi del teorema non sono soddisfatte, cosa succede? =f() In un intorno, anche molto piccolo di 0, f assume valore nullo in infiniti punti, tutti quelli del tipo = 1/(kπ) con k Z e non nullo. In tutti i punti in cui f si annulla, la funzione g ha valore zero, in tutti gli altri punti g ha valore 1. La funzione g(f()) continua ad oscillare tra i valori 0 e 1. lim g(f()) = lim sign( sin(1/)), anche se lim g() = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 5

6 Conseguenza del teorema di sostituzione Se esiste lim f() = l R e se g è una funzione definita in un 0 intorno di l e g è continua in l, allora ( ) lim g(f()) = lim g() = g(l) = g lim f() 0 l 0 cioè il limite commuta con la fuzione continua Esempio. La funzione g() = e è continua su tutto R, quindi, per ogni 0 R per cui esiste lim 0 f() si ha: lim e f() = e lim f() 0 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 6

7 Teorema (composizione di funzioni continue) Sia f una funzione definita e continua in un intorno di 0 e sia 0 = f( 0 ). Sia poi g una funzione definita e continua in un intorno di 0, allora anche h() = g(f()) è continua in 0. Dim. Dobbiamo dimostrare che lim g(f()) = g(f( 0 )) 0 Se f è continua in 0 si ha lim f() = l = f( 0 ) = 0. 0 Inoltre = f(). Quindi: lim g(f()) = lim g() = lim g() = g( 0 ) = g(f( 0 )). 0 l 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 7

8 Alcuni limiti molto importanti ( lim 1+ 1 = e + ) Si dimostra grazie al teorema del ( limite di funzioni monotone. Si riesce a provare che f() = 1+ ) 1 è monotona crescente in (0,+ ), e che il sup del suo insieme immagine è sup(im(f)) = e. Per il teorema del limite di funzioni monotone (vedere cap3b.pdf) si ha lim f() = sup(im(f)) = e + c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 8

9 =log() = log lim = =log()/ Per +, Sia log che vanno a +, ma il logaritmo cresce meno velocemente di, per cui prevale il comportamento della funzione +, e 1/ 0. Una dimostrazione molto semplice di questo limite verrà svolta dopo aver introdotto il teorema di de l Hôptal. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 9

10 Es.: Calcolare l = lim (log() ) = + Si ha l =. Quale infinito prevale? Quello del monomio, il logaritmo va ad infinito meno velocemente di, allora l = =log() = I conti precisi sono: l = lim + ( log() = lim lim + = lim + ) 1 ( log() ) 1 + (0 1) = lim =. + c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 10

11 Es. lim 0 +( log) = 0. forma indeterminata Anzitutti riscrivo log(1/) 1 log(1/) lim 0 +( log) = lim = lim 0 + 1/ 0 + 1/ Applico il teorema di sostituzione con = f() = 1, 0 = 0 +, g() = log (verificare che le ipotesi siano soddisfatte) log(1/) log lim 0 +( log) = lim = lim 0 + 1/ + lim log) = 0 0 +( = 0 + = 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 11

12 Applicazione del thm di sostituzione Si vuole calcolare Si utilizza l identità lim f() g(). 0 (f()) g() = e log(f())g() = e g() logf() Quindi: lim f() g() = lim ep(g() logf()) = ( 0 ) 0 ep lim (g() logf()). 0 Es. Calcolare lim 0 + = ( lim = lim ep( log) = ep Si ricorda che lim 0 +( log) = 0 lim 0 +( log) ) = e 0 = 1. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 12

13 ( Partendo da lim 1+ 1 = e + ) e applicando il Teorema di sostituzione si può dimostrare che: log(1+) lim 0 lim 0 e 1 = 1 = 1 lim 0 (1+)1/ = e... pag c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Teorema di sostituzione cap4c.pdf 13

14 Proprietà delle funzioni continue Def. Data una funzione reale f, si chiama zero (o radice) di f ogni punto 0 dom(f) in cui f si annulla. Teorema (degli zeri di una funzione continua). Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b] e tale che f(a) f(b) < 0. Allora esiste almeno uno zero di f nell intervallo aperto (a, b). f(a) zeri f(a) f(a) f(b) a b f(b) a b f(b) a b Ip. SI, Tesi. SI Ip. NO, Tesi. NO Ip. NO, Tesi. NO c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 14

15 Teorema (dei valori intermedi) Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). f(b) f() f(a) a b c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 15

16 L immagine di un insieme A dom(f) tramite f è: f(a) = { = f() : A} Corollario. Sia f una funzione continua su un intervallo A. Allora l immagine f(a) dell intervallo A tramite f è ancora un intervallo. f(a) f(a) f(a) A A A A intervallo A non intervallo A intervallo f continua su A f continua su A f discontinua su A Ip. SI, Tesi. SI Ip. NO, Tesi. NO Ip. NO, Tesi. NO c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 16

17 Massimo e minimo di una funzione Def. Si chiamano massimo e minimo di una funzione f su un intervallo [a, b] i numeri reali M = ma{f() : a b} = ma [a,b] f e m = min{f() : a b} = min [a,b] f. M m a M m b M e m sono detti rispettivamente punto di massimo e punto di minimo. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 17

18 Teorema (di Weierstrass). Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora f è limitata ed ivi assume valori massimo e minimo. M m a m M b a b f continua: m, M f discontinua: m, M c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 18

19 Il seguente teorema è una conseguenza del teorema di Weierstrass e del teorema dei valori intermedi. Torema Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora f assume tutti i valori compresi tra m = min [a,b] f() e M = ma [a,b] f(). M m a M m b c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 19

20 Teorema. Sia f una funzione continua su un intervallo I. Allora f è iniettiva se e solo se è strettamente monotona su I. I I f continua sull intervallo I: NON monotona e NON iniettiva su I. f continua sull intervallo I: iniettiva e monotona su I L equivalenza cade se f non è continua o se I non è un intervallo. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 20

21 Teorema. Sia f una funzione continua e invertibile su un intervallo I. Allora la funzione inversa f 1 è continua sull intervallo J = f(i). Es. f() = sin() con I = [ π/2,π/2]. f è continua strettamente monotona sull intervallo I e J = f(i) = { = sin(), [ π/2,π/2]} = [ 1,1] è un intervallo. Allora f 1 () = arcsin() è continua su J J I I J = f() = sin() = f 1 () = arcsin() N.B. sin() non è invertibile sul suo dominio (perché non è strettamente monotona su tutto R). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 21

22 Riferimenti bibliografici: Canuto-Tabacco: Cap 4 Esercizi Canuto-Tabacco: es. n.2, 3, 4, 5 del cap. 4. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Proprietà delle funzioni continue cap4c.pdf 22

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