Punto di accumulazione

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Donato Carbone
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1 Punto di accumulazione Def. Sia A R. Diciamo che x 0 R è un punto di accumulazione per A se in ogni intorno di x 0 cade almeno un replacements punto di A diverso da x 0. replacements replacements A x 0 x 0 è punto di accumulazione per A A x 0 x 0 è punto di accumulazione per A A x 0 NON è punto di accumulazione per A x 0 R R R c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punto di accumulazione cap3-2.pdf 1

2 Punto replacements di accumulazione replacements replacements A x 0 x 0 è punto di accumulazione per A A x 0 x 0 è punto di accumulazione per A A x 0 NON è punto di accumulazione per A x 0 R R R Se A = (a, b) è un intervallo aperto di R, allora tutti i punti di accumulazione per A sono in [a, b]. Se A = [a, b] è un intervallo chiuso di R, allora tutti i punti di accumulazione per A sono in [a, b]. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punto di accumulazione cap3-2.pdf 2

3 Se A R, allora un qualsiasi punto x 0 R (finito o infinito) è di accumulazione per R. Sia A = N. L unico punto di accumulazione per N è + (Def. Sia A R. Diciamo che x 0 R è un punto di accumulazione per A se in ogni intorno di x 0 cade almeno un punto di A diverso da x 0.) replacements Consideriamo n = 4. Possiamo construire molti intorni I r (4) che contengono altri numeri naturali, n = 4 I r (4) con r = 1.5 R replacements ma anche altrettanti intorni I r (4) che non contengono alcun altro numero naturale oltre a n = 4. n = 4 I r (4) con r = 0.5 CONCLUSIONE: n = 4 non è di accumulazione per N. n N, n non può essere di accumulazione per N. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punto di accumulazione cap3-2.pdf 3 R

4 Oss. Quando valutiamo lim n a n, deve essere un punto di accumulazione per N, in quanto nella def. di Limite dobbiamo prendere n I nɛ (+ ) (o n I na (+ )), ovvero molti (infiniti) numeri naturali in un intorno di +. La scrittura lim n 5 a n, NON HA SENSO, in quanto n = 5 non è un punto di accumulazione per N: in un intorno arbitrario di n = 5 possono non esistere altri numeri naturali. Se invece considero una funzione y = f (x) a variabile reale, e x 0 = 5 è di accumulazione per domf, allora lim x 5 f (x), ha senso c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punto di accumulazione cap3-2.pdf 4

5 Def. Sia A R. Un punto di A che non sia un punto di accumulazione per A è detto punto isolato di A. Oss. I punti di N sono tutti punti isolati, l unico punto di accumulazione per N è +. Oss. I punti di Z sono tutti punti isolati, punti di accumulazione per Z sono, +. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Punto di accumulazione cap3-2.pdf 5

6 Limiti di funzioni a + Consideriamo una funzione y = f (x) reale a variabile reale, di dominio D R. Sia f definita in un intorno di +. Def. La funzione f tende al limite l R per x tendente a + e si scrive se (con ε, B R) lim f (x) = l, x + I ε (l), I B (+ ) : x domf, x I B (+ ) f (x) I ε (l), oppure: ε > 0, B 0 : x domf con x > B f (x) l < ε, y x c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 6

7 Sia ancora f definita in un intorno di +. Def. La funzione f tende al limite + per x tendente a + e si scrive se (con A, B R) lim f (x) = +, x + I A (+ ), I B (+ ) : x domf, x I B (+ ) f (x) I A (+ ), oppure A > 0, B 0 : x domf con x > B f (x) > A, y x c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 7

8 Sia ancora f definita in un intorno di +. Def. La funzione f tende al limite per x tendente a + e si scrive se (con A, B R) lim f (x) =, x + I A ( ), I B (+ ) : x domf, x I B (+ ) f (x) I A ( ), oppure: A > 0, B 0 : x domf con x > B f (x) < A, y x c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 8

9 Sia f una funzione definita in un intorno di. lim f (x) = l lim f (x) = + lim x x x f (x) = y y x x c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 9

10 lim x I ε (l) I B ( ) : x domf I B ( ) f (x) I ε (l) lim f (x) = + x I A (+ ) I B ( ) : x domf I B ( ) f (x) I A (+ ) lim f (x) = x I A ( ) I B ( ) : x domf I B ( ) f (x) I A ( ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 10

11 Limiti di funzione al finito Sia f una funzione definita in un intorno di x 0 R tranne eventualmente nel punto x 0. Def. Si dice che f ha limite finito l R (o tende ad l) per x tendente a x 0 e si scrive se lim f (x) = l x x 0 PSfrag ε replacements > 0, δ > 0 : x domf : 0 < x x 0 < δ f (x) l < ε. y y = f (x) l + ε f (x) l l ε x 0 δ x 0 x x 0 + δ x c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 11

12 N.B. Mi disinteresso del valore di f (x) nel punto x 0. Nel punto x 0 la f potrebbe assumere qualsiasi valore. Sto guardando cosa succede per x molto prossimo a x 0. lim f (x) = l x x 0 se I ε (l) I δ (x 0 ) : x domf I δ (x 0 ) \ {x 0 } f (x) I ε (l) o equivalentemente se ε > 0, δ > 0 : x domf : 0 < x x 0 < δ f (x) l < ε c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 12

13 Limite destro e limite sinistro Sia f (x) = log(x), domf = R + Si vuole calcolare lim log(x) x y = log(x) y ments x Se x 1 (x tende a 1 da sinistra), allora y 0 (ovvero y 0 dal basso) Se x 1 + (x tende a 1 da destra), allora y 0 + (ovvero y 0 dall alto) c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 13

14 Si vuole calcolare lim log(x) x 0 y = log(x) y ments x E più corretto scrivere: lim log(x) perchè x 0 + f (x) = log(x) è definita solo in (0, + ). Non ha senso calcolare lim log(x) in quanto f (x) = log(x) non è x 0 definita a sinistra di 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 14

15 Limite destro e limite sinistro y Consideriamo funzione: un altra f f (x) = { x se x 0 x + 1 se x > 0 1 domf = R x Per x 0 le ordinate y = f (x) tendono a 0, per x 0 + le ordinate y = f (x) tendono a 1 cosa è lim x 0 f (x)? Non si può parlare di lim x 0 f (x). Bisogna specificare se x 0 (da sinistra) o x 0 + (da destra). c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 15

16 Intorni destri e sinistri Def. Intorno sinistro di x 0 e raggio r > 0 è l intervallo semiaperto a sinistra e limitato frag replacements I r (x 0) = (x 0 r, x 0 ] r x 0 r x 0 Def. Intorno destro di x 0 e raggio r > 0 è l intervallo semiaperto a destra e limitato frag replacements I + r (x 0 ) = [x 0, x 0 + r) r x 0 x 0 + r c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 16

17 Def. Sia f una funzione definita in un intorno sinistro di x 0, tranne eventualmente in x 0. f ha limite sinistro in x 0 uguale a l se lim x x 0 f (x) = l I ε (l) I δ (x 0) : x domf, x I δ (x 0)\{x 0 } f (x) I ε (l) oppure ε > 0 δ > 0 : x domf, 0 < x 0 x < δ f (x) l < ε c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 17

18 Def. Sia f una funzione definita in un intorno destro di x 0, tranne eventualmente in x 0. f ha limite destro in x 0 uguale a l se lim x x + 0 f (x) = l I ε (l) I + δ (x 0) : x domf, x I + δ (x 0)\{x 0 } f (x) I ε (l) oppure ε > 0 δ > 0 : x domf, 0 < x x 0 < δ f (x) l < ε c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 18

19 Proposizione Sia f una funzione definita in un intorno di x 0 R, tranne eventualmente nel punto x 0. La funzione f ha limite l R per x x 0 se e solo se esistono e sono uguali ad l il limite destro ed il limite sinistro di f in x 0, ovvero: lim x x 0 f (x), lim x x + 0 lim f (x) = l x x 0 f (x) e lim x x 0 f (x) = lim x x + 0 f (x) = l c Paola Gervasio - Analisi Matematica A - A.A. 07/08 Limiti di funzioni cap3-2.pdf 19

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