Limiti di funzioni di una variabile

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1 Capitolo 6 Limiti di funzioni di una variabile 6.1 Limiti all infinito La definizione di ite data per le successioni si può immediatamente trasportare al caso di una funzione definita in un qualunque insieme E ilitato superiormente, e si parlerà di ite per x + ; nel caso in cui la funzione sia definita su un insieme ilitato inferiormente ha senso considerare il ite per x. Abbiamo le tre seguenti definizioni di ite per x + : 1) Sia una funzione definita in un insieme E ilitato superiormente. Si dice che, per x tendente a +, la funzione è convergente al ite l e si scrive = l [oppure l (x + )], quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ ε (dipendente in generale da ε) tale che, per ogni numero x appartenente all insieme E e maggiore di δ ε, risulti l ε < < l + ε o, ciò che è lo stesso l < ε. 2) Sia una funzione definita in un insieme E ilitato superiormente. Si dice che, per x tendente a +, la funzione è divergente a + e si scrive = + [oppure + (x + )], quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all insieme E e maggiore di δ k, risulti > k. 3) Sia una funzione definita in un insieme E ilitato superiormente. Si dice che, per x tendente a +, la funzione è divergente a e si scrive = [oppure (x + )], quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all insieme E e maggiore di δ k, risulti < k. 45

2 Capitolo 6. Limiti di funzioni di una variabile Diamo ora le tre definizioni di ite per x, che sono del tutto analoghe alle precedenti. 1) Sia una funzione definita in un insieme E ilitato inferiormente. Si dice che, per x tendente a, la funzione è convergente al ite l e si scrive = l x [oppure l (x )], quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ ε (dipendente in generale da ε) tale che, per ogni numero x appartenente all insieme E e minore di δ ε, risulti l ε < < l + ε o, ciò che è lo stesso l < ε. 2) Sia una funzione definita in un insieme E ilitato inferiormente. Si dice che, per x tendente a, la funzione è divergente a + e si scrive = + x [oppure + (x )], quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all insieme E e minore di δ k, risulti > k. 3) Sia una funzione definita in un insieme E ilitato inferiormente. Si dice che, per x tendente a, la funzione è divergente a e si scrive = x [oppure (x )], quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero δ k (dipendente in generale da k) tale che, per ogni numero x appartenente all insieme E e minore di δ k, risulti < k. Aggiungiamo l osservazione che se la funzione è definita in un insieme E ilitato sia superiormente che inferiormente, possono esistere sia il ite per x + sia il ite per x. Illustriamo con alcuni esempi le definizioni date fin qui. La funzione log x è definita nell intervallo (0, + ) ilitato superiormente. Si ha log x = +. 46

3 6.2. Limiti in un punto La funzione e x è definita nell intervallo (, + ) ilitato sia superiormente che inferiormente; si ha e x = +, x e x = 0. La funzione arctan x è definita in (, + ); si ha arctan x = π 2, arctan x = π x 2. La funzione sin x è definita in (, + ), ma non ammette ite né per x + né per x. 6.2 Limiti in un punto Consideriamo ora un punto x 0 al finito. Ricordando quanto detto a proposito dei punti di accumulazione di un insieme, si vede subito che è possibile trasferire il concetto di ite di una funzione al caso in cui si faccia tendere la variabile x al punto x 0. Per operare in modo analogo si dovranno considerare intorni di x 0, anziché intorni di + o ; e si dovrà richiedere che in tali intorni si trovino infiniti punti dell insieme E distinti da x 0, vale a dire che x 0 sia un punto di accumulazione dell insieme E, cioè x 0 DE. Si hanno allora le tre seguenti definizioni di ite nel punto x 0, o per x tendente a x 0 (x x 0 ), di una funzione. 1) Sia una funzione definita in un insieme E e sia x 0 DE. Si dice che, per x tendente a x 0, la funzione è convergente al ite l e si scrive = l [oppure l (x x 0 )], quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un intorno I ε (x 0 ) (dipendente in generale da ε) del punto x 0 tale che, per ogni numero x diverso da x 0 appartenente ad E ed a tale intorno I ε (x 0 ), risulti l ε < < l + ε o, ciò che è lo stesso l < ε. 2) Sia una funzione definita in un insieme E e sia x 0 DE. Si dice che, per x tendente a x 0, la funzione è divergente al ite + e si scrive = + [oppure + (x x )], 0 47

4 Capitolo 6. Limiti di funzioni di una variabile quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un intorno I k (x 0 ) (dipendente in generale da ε) del punto x 0 tale che, per ogni numero x diverso da x 0 appartenente ad E ed a tale intorno I k (x 0 ), risulti > k. 3) Sia una funzione definita in un insieme E e sia x 0 DE. Si dice che, per x tendente a x 0, la funzione è divergente al ite e si scrive = [oppure (x x )], 0 quando, comunque si fissi un numero k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un intorno I k (x 0 ) (dipendente in generale da ε) del punto x 0 tale che, per ogni numero x diverso da x 0 appartenente ad E ed a tale intorno I k (x 0 ), risulti < k. Vediamo alcuni esempi relativi ai iti in un punto. La funzione 1/x 2 è definita nell insieme E = (, 0) (0, + ) ed il punto x = 0 è un punto di accumulazione per E; si ha x 0 1 x 2 = +. La funzione cos x è definita nell intervallo (, + ) per il quale il punto x = 0 è di accumulazione; si ha cos x = 1. x 0 La funzione log x è definita nell intervallo (0, + ) che ha il punto x = 0 come punto di accumulazione; si ha log x =. x 0 La funzione 1/x è definita nell insieme E = (, 0) (0, + ) ed il punto x = 0 è un punto di accumulazione per E. Tuttavia, poiché in ogni intorno di x = 0 la funzione assume valori positivi e negativi con valore assoluto arbitrariamente grande, non esiste il ite per x 0. Va sempre tenuto presente che l esistenza o meno del ite è strettamente legata all insieme E in cui si considera definita la funzione. Sussiste, poi, il seguente risultato. Se si considera qualsiasi insieme G E che, al pari di E, sia ilitato superiormente, oppure ilitato inferiormente, oppure abbia x 0 come punto di accumulazione, dall esistenza del (x E) segue quella del (x G) con lo stesso valore del primo. 48

5 6.3. Limiti a sinistra e iti a destra Di questo risultato non esiste l inverso. Per esempio, se si considera la funzione sin x in E = (, + ) e si prende come insieme G quello costituito dai punti nπ (n = 1, 2, 3,...), si vede che, essendo sin nπ = 0, esiste il mentre sappiamo che non esiste il sin x (x G) = 0, sin x (x E). Questo risultato può essere applicato prendendo come insieme G E l intersezione di E con un intorno di +, oppure di, oppure di x 0 ; in questo caso sussiste anche il risultato inverso. 6.3 Limiti a sinistra e iti a destra Come si è visto, può darsi che esista il (x G) senza che esista il (x E). Questa circostanza può essere utilizzata, nel caso del ite per x x 0, nel modo seguente. Sia definita nell insieme E avente il punto di accumulazione x 0. Supponiamo che in E esistano sia punti x < x 0 (cioè a sinistra di x 0 ), sia punti x > x 0 (cioè a destra di x 0 ) e diciamo E l insieme formato dai primi, E quello formato dai secondi. Supponiamo inoltre che sia E che E abbiano ancora x 0 come punto di accumulazione. In queste condizioni può darsi benissimo che non esista il ed esistano invece i due iti (x E) (x E ), (x E ), o almeno uno di essi. Le notazioni di solito utilizzate per questi iti sono: per (x E ), per (x E ). + Le definizioni relative a questi iti sono naturalmente quelle solite, con E o E in luogo di E a seconda che si considerino solo punti di x in E con x < x 0 oppure con x > x 0. Diamo due esempi relativi a questi casi. 49

6 Capitolo 6. Limiti di funzioni di una variabile La funzione 1/x, come si è visto, non ammette ite per x 0; tuttavia si ha 1 x 0 x =, 1 x 0 + x = +. Analogamente, è facile verificare che e 1/x = 0, x 0 e 1/x = +. x Operazioni sui iti. Forme indeterminate Enunceremo ora una serie di risultati che mostrano proprietà dei iti di funzioni, analoghi a quelli mostrati per i iti di successioni. Per abbreviare l esposizione ed evitare una lunga distinzione di casi, useremo, per l indicazione di un ite, sempre la scrittura = λ, con l intesa che ξ possa essere finito, o +, o ed analogamente per λ. Inoltre sarà sempre sottinteso che le varie funzioni prese in considerazione siano tutte definite in un medesimo insieme E, tale che ξ DE. Diremo sempre che si considerano punti x diversi da ξ, anche se questa precisazione andrebbe fatta solo nel caso di ξ finito. Ciò premesso, elenchiamo di seguito i risultati annunciati. 6.4.I (Permanenza del segno) Sia = λ con λ 0; esiste allora un intorno I(ξ) di ξ tale che, per ogni x E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, la ha lo stesso segno del ite λ. 6.4.II Le funzioni, g(x) siano tali che, per ogni x E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, riesca g(x) oppure < g(x). Allora, se entrambe le funzioni ammettono ite per x ξ, si ha g(x). 6.4.III La funzione sia tale che, per ogni x E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, riesca b oppure < b. Allora, se la ammette ite per x ξ, si ha b. Analogamente con le disuguaglianze opposte. 50

7 6.4. Operazioni sui iti. Forme indeterminate 6.4.IV Le tre funzioni, g(x), h(x) siano tali che, per ogni x E appartenente ad un certo intorno di ξ e diverso da ξ, riesca h(x) g(x) oppure < h(x) < g(x). Allora, se le due funzioni, g(x) ammettono per x ξ il medesimo ite, anche la h(x) ammette per x ξ quello stesso ite. Per enunciare in modo conciso un risultato analogo a quello sul ite delle successioni monotone, è opportuno convenire di far rientrare i iti per x + fra i iti a sinistra ed i iti per x fra i iti a destra. Si ha allora: 6.4.V La funzione sia crescente o non decrescente [oppure decrescente o non crescente]. Allora per x ξ essa ammette ite a sinistra uguale all estremo superiore [oppure inferiore] dell insieme dei valori che essa assume nei punti di E situati a sinistra di ξ; essa ammette pure ite a destra uguale all estremo inferiore [oppure superiore] dell insieme dei valori che essa assume nei punti di E a destra di ξ. I due iti a destra e a sinistra possono essere disuguali; se invece risultano uguali, allora il valore comune è il. 6.4.VI Diamo ora alcuni risultati analoghi a quelli visti per i iti delle successioni. Dalle ipotesi = λ, segue, con le convenzioni adottate per le successioni: g(x) = λ [ + g(x)] = λ + λ, (6.1) [g(x)] = λλ, (6.2) g(x) = λ, [supposto g(x) 0] (6.3) λ log = log λ, [supposto > 0] (6.4) e = e λ, (6.5) a meno che si presenti una delle forme indeterminate [nel caso della (6.1)]; 0 [nel caso della (6.2)]; /, 0/0 [nel caso della (6.3)]. Inoltre, se è > 0, e = l > 0 allora, qualunque sia il numero reale α: [] α = l α. (6.6) 51

8 Capitolo 6. Limiti di funzioni di una variabile Osserviamo infine che il criterio di convergenza di Cauchy, enunciato nel caso delle successioni, per le funzioni assume la forma: 6.4.VII Condizione necessaria e sufficiente perché esista finito il è che, dato ε > 0, esista corrispondentemente un intorno I ε (ξ) tale che, presi comunque due punti x, x E I ε (ξ) {ξ}, risulti sempre f(x ) f(x ) < ε. 6.5 Due iti fondamentali Mostriamo due importanti applicazioni di quanto è stato detto nelle pagine precedenti. Consideriamo la funzione y = sin x x che è definita per x 0; vogliamo dimostrare che si ha sin x = 1. (6.7) x 0 x Possiamo itarci a considerare la funzione per 0 < x < π/2. In tali condizioni si ha: sin x < x < sin x cos x, come è ben comprensibile da semplici considerazioni geometriche: inoltre è evidentemente sin x x > 0, cioè sin x sin x = x x e cos x > 0. Ne segue cos x < sin x x < 1. Poiché cos x = 1, x 0 applicando il 6.4.IV la (6.7) risulta dimostrata. 1 = 1, x 0 L altro importante risultato riguarda il numero e, che abbiamo già definito come ( 1 + n) 1 n. n 52

9 6.6. Infinitesimi ed infiniti Considerata la funzione ( ) x x nell insieme (, 1) (1, + ), dove la base è sempre positiva, si può dimostrare che si ha ( 1 + x) 1 x ( = e, x = e. (6.8) x x) Quando una funzione, definita in un insieme ilitato sia superiormente che inferiormente, ammette iti per x + e per x ed i due iti risultano uguali, è consuetudine considerare il comune valore dei due iti semplicemente come il ite per x. In conformità con questo criterio, le (6.8) possono riunirsi nella x ( x) x = e. (6.9) La (6.9) può essere generalizzata nella seguente formula: ( 1 + α ) x = e α. (6.10) x x 6.6 Infinitesimi ed infiniti Quanto visto per le successioni riguardo agli infinitesimi e agli infiniti può essere esteso immediatamente al caso delle funzioni. Come in precedenza, parleremo in generale di ite per x ξ con l intesa che ξ può essere finito, + o. Si dice che è un infinitesimo per x ξ se si dice che è un infinito per x ξ se = 0; = I Supposto che sia sempre 0, se è un infinitesimo allora 1/ è un infinito. Se è un infinito allora 1/ è un infinitesimo. 6.6.II Se, g(x) sono infinitesimi [infiniti], anche il prodotto g(x) è un infinitesimo [un infinito]. Invece il prodotto di un infinitesimo per un infinito dà luogo alla forma indeterminata 0 e nulla si può dire in generale sul ite di esso. 53

10 Capitolo 6. Limiti di funzioni di una variabile 6.6.III Se è un infinitesimo e g(x) è itata, allora il prodotto g(x) è un infinitesimo. 6.6.IV Se la successione è un infinito e g(x) è tale che esiste una costante positiva h in modo da aversi g(x) h per x ξ, allora il prodotto g(x) è un infinito. Circa il quoziente di due infinitesimi o di due infiniti, nulla si può dire in generale perché ci si imbatte nelle forme indeterminate 0/0, /. Vanno però introdotte alcune locuzioni. Se, g(x) sono infinitesimi per x ξ e supposto che sia sempre g(x) 0, possono aversi le tre seguenti situazioni: g(x) = 0, g(x) = l > 0, g(x) = +. Nel primo caso si dice che è un infinitesimo di ordine superiore a g(x); nel secondo caso si dice che e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine; nel terzo caso si dice che è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x). Analogamente, se, g(x) sono infiniti per x ξ e supposto che sia sempre g(x) 0, possono aversi le tre seguenti situazioni: g(x) = +. g(x) = l > 0, g(x) = 0, Nel primo caso si dice che è un infinito di ordine superiore a g(x); nel secondo caso si dice che e g(x) sono infiniti dello stesso ordine; nel terzo caso si dice che è un infinito di ordine inferiore a g(x). Se, g(x) sono, per x ξ due infinitesimi [infiniti], può darsi che esista un numero reale α > 0 tale che e g(x) α siano infinitesimi [infiniti] dello stesso ordine, cioè tali da aversi g(x) α = l > 0. in tal caso si dice che è un infinitesimo [infinito] di ordine α rispetto all infinitesimo [infinito] principale g(x). 54

11 6.6. Infinitesimi ed infiniti Quando si tratta di ite per x x 0, di solito si assume come infinitesimo principale la funzione x x 0 e come infinito principale 1/(x x 0 ). Allora, dire che, per x x 0, è un infinitesimo di ordine α significa che x x 0 α = l > 0; dire che, per x x 0, è un infinito di ordine α significa che 1/(x x 0 ) α = x x α = l > 0. 0 Quando si tratta di ite per x, di solito si assume come infinitesimo principale la funzione 1/x e come infinito principale x. Allora, dire che, per x, è un infinitesimo di ordine α significa che x 1/x α = x x α = l > 0; dire che, per x, è un infinito di ordine α significa che x x α = l > 0. Come nel caso delle successioni, si vede immediatamente che nello studio del ite del rapporto /g(x) di due infinitesimi [infiniti], ognuno dei quali sia espresso da una somma di termini infinitesimi [infiniti], basta tener conto sia a numeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di infinitesimo più basso [ordine di infinito più alto]. Diciamo infine che, anche nel caso delle funzioni, sono usati i simboli o, O e con significati analoghi a quelli descritti per le successioni. 55

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