ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI

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1 ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI 8 marzo 2010

2 2 0.1 Esercizi sulle successioni di numeri reali Definizione 1 Una successione di numeri reali a n si dice convergente al limite l, e si scrive lim n a n = l se per ogni numero reale ε > 0 esiste un intero positivo N tale che, per ogni n > N si verifica la disuguaglianza a n l < ε. Una successione a n si dice convergente se esiste un numero reale l tale che lim n a n = l. Definizione 2 Sia a n una successione di numeri reali. Un numero reale x si dice punto di accumulazione di a n, se per ogni ε > 0, la disuguaglianza a n x < ε si verifica per infiniti indici della successione. L esercizio che segue ha lo scopo di chiarire un piccolo equivoco terminologico, dovuto al fatto che il termine punto di accumulazione si usa anche, per gli insiemi. Questo stesso esercizio serve anche a chiarire che quando si parla di successioni non si ha solo a mente l insieme {a n : n N}, ma anche e soprattutto la corrispondenza n a n il cui dominio di definizione è l insieme dei numeri naturali, ma la cui immagine potrebbe essere qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri reali. Esercizio 1 Osservare che un punto di accumulazione della successione a n potrebbe non essere un punto di accumulazione dell insieme {a n : n N}, secondo la Definizione 2.18 a pag. 30 del libro di Rudin. Infatti quest ultimo insieme, ad esempio, potrebbe essere finito e non avere punti di accumulazione. Un esempio concreto è la successione a n = ( 1) n che ha due punti di accumulazione. Il corrispondente insieme {a n : n N} = { 1, 1} consiste esattamente dei due punti di accumulazione della successione ed essendo finito non ha punti di accumulazione. Osservare anche che tutti i punti di accumulazione (secondo la Definizione 2.18 del libro di testo) dell insieme {a n : n N} sono anche punti di accumulazione della successione a n Esercizio 2 Dimostrare o confutare: 1. Se lim n a n = l, allora l è un punto di accumulazione di a n 2. Se l è un punto di accumulazione di a n allora lim n a n = l. 3. Se una successione di numeri reali è convergente, il suo limite è unico. 4. Una successione di numeri reali non può avere più di un punto di accumulazione Esercizio 3 Dare un esempio di:

3 0.1. ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI 3 1. Una successione di numeri reali convergente 2. Una successione di numeri reali non convergente 3. Una successione di numeri reali che non ha nessuna sottosuccessione convergente 4. Una successione di numeri reali limitata superiormente, ma non inferiormente 5. Una successione di numeri reali limitata inferiormente ma non superiormente 6. Una successione di numeri reali limitata superiormente ed inferiormente 7. Una successione che non converge a zero, ma per la quale zero è un punto di accumulazione. 8. Una successione di numeri reali che non ha alcun punto di accumulazione 9. Una successione di numeri reali con esattamente due punti di accumulazione distinti 10. Una successione di numeri reali con esattamente tre punti di accumulazione distinti. 11. Una successione di numeri reali con infiniti punti di accumulazione distinti 12. Una successione di numeri reali i cui punti di accumulazione formano un insieme denso 13. Una successione di numeri reali i cui punti di accumulazione costituiscono l intero intervallo chiuso [0, 1]. 14. Una successione di numeri reali monotona non decrescente e limitata superiormente 15. Una successione di numeri reali non decrescente e non limitata superiormente. Esercizio 4 Dimostrare o confutare i seguenti enunciati.

4 4 1. Se una sucessione di numeri reali converge tutte le sue sottosuccessioni convergono allo stesso limite 2. Se una successione di numeri reali non converge allora tutte le sue sottosuccessioni non convergono 3. Se una successione di numeri reali ha un solo punto di accumulazione, allora converge 4. Se una successione di numeri reali ha più di un punto di accumulazione, allora non è convergente. 5. Se una successione di numeri reali non ha alcun punto di accumulazione, allora è convergente. 6. Se l è un punto di accumulazione della successione a n allora esiste una sottosuccessione di a n che converge ad l. 7. Ogni sottosuccessione convergente di a n converge ad un punto di accumulazione di a n. 8. Se una successione di numeri reali non ha alcun punto di accumulazione allora non è convergente. 9. Se una successione di numeri reali è di Cauchy, allora è limitata 10. Esiste una successione di Cauchy con esattamente due punti di accumulazione distinti. 11. Se una successione di numeri reali è limitata, allora è di Cauchy 12. Il prodotto di una successione limitata ed una successione che converge a zero, converge a zero. 13. Il prodotto di una successione limitata ed una successione convergente è convergente. 14. Ogni successione limitata ammette almeno un punto di accumulazione. Definizione 3 Un sottoinsieme E N dei numeri naturali si dice cofinito se è il complemento di un insieme finito (o vuoto). Esercizio 5 Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni concernenti sottoinsiemi dei numeri naturali: 1. Ogni insieme cofinito è infinito

5 0.1. ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI 5 2. Ogni insieme infinito è cofinito 3. L unione di due insiemi cofiniti è un insieme cofinito 4. L intersezione di due insiemi cofiniti è un insieme cofinito 5. L unione di due insiemi infiniti è un insieme infinito 6. L intersezione di due insiemi infiniti è un insieme infinito Esercizio 6 Dimostrare che lim n a n = l se e solo se per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme cofinito E N tale che la disuguaglianza a n l < ɛ si verifica per tutti gli elementi n E. Esercizio 7 Osservare che l è un punto di accumulazione di a n se e solo se per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme infinito E N tale che la disuguaglianza a n l < ε si verifica per tutti gli elementi n E. I precedenti due esercizi mostrano che la distinzione tra punti di accumulazione e limiti di una successione può essere basata sulla distinzione tra sottoinsiemi infiniti e sottoinsiemi cofiniti dei numeri naturali. Definizione 4 Se a n è una successione limitata superiormente, l estremo superiore della successione, indicato con sup n a n è il più piccolo numero reale che è un maggiorante di tutti i termini della successione. Se a n è limitata inferiormente, l estremo inferiore della successione, indicato con inf n a n è il più grande numero reale che è un minorante di tutti i termini della successsione. Osservare che l esistenza di sup n a n per le successioni limitate superiormente e di inf n a n per le successioni limitate inferiormente è assicurata dall assioma dell estremo superiore. Osservare che in questo caso l estremo superiore della successione a n è esattamente l estremo superiore dell insieme {a n : n N}, e analogamente l estremo inferiore della successione è l estremo inferiore dello stesso insieme. Esercizio 8 Dimostrare che sup n a n = inf n ( a n ). Esercizio 9 Dimostrare che se a n è una successione non decrescente e limitata superiormente allora lim n a n = sup n a n, e che se a n è una successione non crescente e limitata inferiormente allora lim n a n = inf n a n. Concludere che le successioni monotone e limitate sono sempre convergenti.

6 6 Esercizio 10. Sia a n una successione limitata superiormente ed inferiormente e sia b n = sup{a k : k n}. Dimostrare che b n è una successione non crescente e limitata inferiormente. Definizione 5 Sia a n una successione limitata superiormente ed inferiormente e sia b n la successione definita in relazione ad a n nell esercizio precedente. Il massimo limite della successione a n è definito come lim sup n a n = lim n b n. Esercizio 11 Sia a n una successione limitata superiormente e inferiormente e sia c n = inf{a k : k n}. Dimostrare che c n è una successione non decrescente e limitata superiormente. Utilizzare c n per definire il minimo limite della successione a n che si indica con lim inf n a n. Esercizio 12 Sia a n = 1/n. In relazione ad a n determinare le successioni b n e c n definite nella definizione e nell esercizio che precede e calcolare lim sup n a n e lim inf n a n. Esercizio 13 Dimostrare che se a n è una successione limitata superiormente ed inferiormente, allora lim sup n a n è il più grande dei suoi punti di accumulazione, e che, con le stesse ipotesi su a n, lim inf n a n è il più piccolo dei suoi punti di accumulazione. Esercizio 14 Dimostrare che una successione limitata (superiormente ed inferiormente) è convergente se e solo se lim sup n a n = lim inf n a n, ed il limite è il comune valore. Esercizio 15 Trovare il massimo e minimo limite delle seguenti successioni: a n = ( 1) n, a n = ( 1) n (1 1 ), a n n = ( 1) n n, a n+1 n = n+1, a n 2 n = n+1. n+3 Esercizio 16 Sia r n una numerazione dei numeri razionali contenuti nell intervallo [0, 1]. Calcolare il massimo e minimo limite della successione r n. Esercizio 17. Dimostrare che se a n è una successione limitata (superiormente e inferiormente), e E = {λ R : λ > a n, per un insieme cofinito di indici n}, allora lim sup n a n = inf E. Formulare e dimostrare un enunciato analogo per lim inf n a n. Esercizio 18 Dimostrare che un sottoinsieme U R è aperto se e solo per ogni successione a n che converge ad un elemento di U, esiste un intero positivo N tale che a n U, per ogni n N. Esercizio 19 Dimostrare che un sottoinsieme F R è chiuso se per ogni successione convergente e tale che a n F, risulta lim n a n F.

7 0.2. ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI DI NUMERI COMPLESSI Esercizi sulle successioni di numeri complessi Definizione 6 Una successione di numeri complessi a n si dice convergente al limite l C, e si scrive lim n a n = l se per ogni numero reale ε > 0 esiste un intero positivo N tale che, per ogni n > N si verifica la disuguaglianza a n l < ε. Una successione a n si dice convergente se esiste un numero complesso l tale che lim n a n = l. Definizione 7 Sia a n una successione di numeri complessi. Un numero complesso z si dice punto di accumulazione di a n, se per ogni ε > 0, la disuguaglianza a n z < ε si verifica per infiniti indici della successione. Esercizio 20 Dimostrare o confutare: 1. Se lim n a n = l, allora l è un punto di accumulazione di a n 2. Se l è un punto di accumulazione di a n allora lim n a n = l. 3. Se una successione di numeri complessi è convergente, il suo limite è unico. 4. Una successione di numeri complessi non può avere più di un punto di accumulazione Esercizio 21 Dare un esempio di successioni di numeri complessi non contenute nella retta reale che soddisfano le proprietà seguenti: 1. Una successione di numeri complessi convergente 2. Una successione di numeri complessi non convergente 3. Una successione di numeri complessi che non ha nessuna sottosuccessione convergente 4. Una successione di numeri complessi limitata. 5. Una successione di numeri complessi non limitata. 6. Una successione di numeri complessi che non converge a zero, ma per la quale zero è un punto di accumulazione. 7. Una successione di numeri complessi che non ha alcun punto di accumulazione

8 8 8. Una successione di numeri complessi con esattamente due punti di accumulazione distinti 9. Una successione di numeri complessi con esattamente tre punti di accumulazione distinti. 10. Una successione di numeri complessi con infiniti punti di accumulazione distinti 11. Una successione di numeri complessi i cui punti di accumulazione formano un insieme denso in C 12. Una successione di numeri complessi i cui punti di accumulazione costituiscono l intero disco chiuso D = {z C : z 1}. Esercizio 22 Dimostrare che la successione di numeri complessi z n = e i2πnα con α R e 0 α 1 ha un numero finito di punti di accumulazione se e solo se α è razionale. Dimostrare che se α = 1/k, allora z n descrive le radici k-esime dell unità. Esercizio 23 Sia z C un numero complesso dimostrare che se z < 1 la successione z n converge a zero, se z > 1 la successione z n è illimitata. Discutere la convergenza ed i punti di accumulazione della successione z n nel caso in cui z = 1. Esercizio 24 Dimostrare o confutare i seguenti enunciati. 1. Se una sucessione di numeri complessi converge tutte le sue sottosuccessioni convergono allo stesso limite 2. Se una successione di numeri complessi non converge allora tutte le sue sottosuccessioni non convergono 3. Se una successione di numeri complessi ha un solo punto di accumulazione, allora converge 4. Se una successione di numeri complessi ha più di un punto di accumulazione, allora non è convergente. 5. Se una successione di numeri complessi non ha alcun punto di accumulazione, allora è convergente. 6. Se l è un punto di accumulazione della successione a n allora esiste una sottosuccessione di a n che converge ad l.

9 0.2. ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI DI NUMERI COMPLESSI 9 7. Ogni sottosuccessione convergente di a n converge ad un punto di accumulazione di a n. 8. Se una successione di numeri complessi non ha alcun punto di accumulazione allora non è convergente. 9. Se una successione di numeri complessi è di Cauchy, allora è limitata 10. Esiste una successione di Cauchy con esattamente due punti di accumulazione distinti. 11. Se una successione di numeri complessi è limitata, allora è di Cauchy 12. Il prodotto di una successione di numeri complessi limitata ed una successione che converge a zero, converge a zero. 13. Il prodotto di una successione limitata ed una successione convergente è convergente. 14. Ogni successione limitata ammette almeno un punto di accumulazione. Esercizio 25 Quali delle questioni poste nel precedente esercizio possono essere riformulate e trovare risposta per successioni in uno spazio metrico? Esercizio 26 Sia z n una successione di numeri complessi. Dimostrare che se w è un punto di accumulazione di z n, allora w lim sup z n. Esercizio 27 Sia P n una successione di punti in uno spazio metrico. Dimostrare che lim n P n = P se e solo se per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme cofinito E N tale che la disuguaglianza d(p n, P ) < ε si verifica per tutti gli elementi n E. Esercizio 28 Osservare che in uno spazio metrico P è un punto di accumulazione di P n se e solo se per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme infinito E N tale che la disuguaglianza d(p n, P ) < ε si verifica per tutti gli elementi n E. I precedenti due esercizi mostrano che la distinzione tra punti di accumulazione e limiti di una successione in uno spazio metrico può essere basata sulla distinzione tra sottoinsiemi infiniti e sottoinsiemi cofiniti dei numeri naturali.