ANALISI MATEMATICA I per Ingegneria Aerospaziale - A.A Diario delle lezioni. Mercoledì 2 ottobre 2013 (2 ore)

Transcript

1 c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 ANALISI MATEMATICA I per Ingegneria Aerospaziale - A.A Diario delle lezioni Questo è un indice degli argomenti trattati a lezione, che ha anche funzione di programma del corso. Prego gli studenti di segnalarmi eventuali errori. Le date in cui sono stati affrontati i vari argomenti sono indicative. I risultati si intendono con dimostrazione, tranne ove diversamente indicato (s.d.). Tutte le definizioni e i teoremi sono accompagnati da esempi ed esercizi, di cui sono riportati qui solo i più elaborati. Tutti gli argomenti possono essere studiati sul libro di testo [] (oppure su []), eccetto dove indicato. Questo diario delle lezioni è curato dal docente Andrea Dall Aglio. Lunedì 0 settembre 0 ( ore) Presentazione del corso di Analisi Matematica I. Cenni sui numeri naturali, interi relativi, razionali N, Z, Q. Definizione assiomatica dei numeri reali. Proprietà delle operazioni, dell ordinamento. Assioma di completezza. (vedere []) Se un insieme ammette massimo (minimo), questo è anche estremo superiore (inferiore). Teorema: Esistenza (e unicità) dell estremo superiore e dell estremo inferiore Osservazione importante: Caratterizzazione dell estremo superiore e dell estremo inferiore. Applicazione agli esempi precedenti. Mercoledì ottobre 0 ( ore) Trovare estremo superiore e inferiore dell insieme E = x = 6n 5 n, n N }. Trovare estremo superiore e inferiore dell insieme E = x = ( ) n 6n 5 n, n N }. Trovare estremo superiore e inferiore dell insieme E = x = m n, m, n N}. Intorni di un numero reale. Martedì ottobre 0 ( ore) Maggioranti, minoranti di un insieme di numeri reali. Insiemi itati superiormente, itati inferiormente, itati. Esempi di insiemi itati e non itati: } E =,, 5, 8. E 8 = E = N. E = Z. E 4 = (0, ). E 5 = [0, ). E 6 = x = n } : n N. n E 7 = x = 5 } n : n N. } x = n n : n =,,.... Massimo e minimo di un insieme. massimo e del minimo. Unicità del Non sempre un insieme itato superiormente (inferiormente) ammette massimo (minimo). Estremo superiore ed estremo inferiore. Retta reale estesa R. Intorni di + e. Punti di accumulazione (in R ) di un insieme di numeri reali. Esempi. Giovedì ottobre 0 ( ore) Se si lavora solo nell insieme Q dei numeri razionali, non tutti gli insiemi itati superiormente ammettono estremo superiore in Q (ovviamente lo ammettono se li consideriamo come sottoinsiemi di R). E questa una delle principali differenze tra Q e R. Per esempio, l insieme E = x Q : x 0, x < }. non ammette estremo superiore in Q. Punti di accumulazione: trovare i punti di accumulazione dei seguenti insiemi: } E =,, 5, 8. E = N. E = Z. E 4 = (0, ). E 5 = [0, ]. E 6 = x = } n : n N. E 7 = Q

2 c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 Punti isolati di un insieme. Proposizione: In ogni intorno di un punto di accumulazione di E esistono infiniti punti di E. Un insieme finito (cioè costituito da un numero finito di punti) è privo di punti di accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass (s.d). Proprietà di una funzione verificate definitivamente per x x 0 R. Esempi. Definizione generale di ite di una funzione (con gli intorni), e suo significato. Lunedì 7 ottobre 0 ( ore) Come si scrive esplicitamente la definizione di ite a seconda che x 0 R, x 0 = ±, l R, l = ± (inizio). verificare che (x x ) =. Il ite x 0 x non esiste. Punti di accumulazione da destra e da sinistra. Limite destro e ite sinistro. x 0 + x = +. x 0 x =. Se x 0 R, e se x 0 è punto di accumulazione sia da destra che da sinistra per il dominio di f, si ha f(x) = l se e solo se f(x) = f(x) = l x x + 0 x x 0 (dim. per esercizio). Il ite sen x non esiste. Il ite x sen x non esiste. verificare che x 0 x = 0. verificare che x 0 f(x) = 0, dove Il ite x 0 + sen x non esiste. f(x) = x se x 0 se x = 0 Il ite di f(x) per x x 0 non dipende dall eventuale valore di f(x 0 ). verificare che x = 4. x verificare che x = 5. x 5 Martedì 8 ottobre 0 ( ore) Come si scrive esplicitamente la definizione di ite a seconda che x 0 R, x 0 = ±, l R, l = ± (conclusione). verificare che x 0 x = +. verificare che x + 5 = 0. Dati due elementi diversi x, x R, esistono un intorno I di x e un intorno I di x tra loro disgiunti. L intersezione di due intorni di x 0 R è ancora un intorno di x 0. Teorema: Unicità del ite. x verificare che x x + =. Mercoledì 9 ottobre 0 ( ore) Teorema della permanenza del segno (e conseguenze). Teorema (aritmetica dei iti): ite della somma, del prodotto, del rapporto di due funzioni, ite del prodotto di una funzione per una costante (dim. solo per la somma e il prodotto). 0. x 7x + 5 x x + x 4 7 =. Se l R, f(x) l = 0. f(x) = 0 se e solo se f(x) = f(x) = l se e solo se Teorema dei carabinieri (del confronto) sen x = 0. x x ( + sen x) = +.

3 c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 Giovedì 0 ottobre 0 ( ore) Calcolare Funzioni itate superiormente, itate inferiormente, itate. Il prodotto di una funzione infinitesima per una funzione definitivamente itata è infinitesimo. cos 4 x sen x x x = Teorema del confronto quando il ite è infinito. ( x 5 sen x ) = +. La somma di una funzione che tende a + e di una funzione definitivamente itata inferiormente tende a +. Definizione: iti per eccesso o per difetto; f(x) = l +, f(x) = l. Esempi vari. Teorema (aritmetica estesa dei iti): ite della somma, del prodotto, del rapporto di due funzioni nel caso in cui uno dei due iti sia infinito, oppure il denominatore del rapporto sia infinitesimo. Somma di una funzione che tende a + e una funzione itata inferiormente. Prodotto di un infinito e una funzione definitivamente lontana da zero. x x + 5 x (x ) = +. x x + 5 x ± (x ) = ±. x x + 5 x ± x 4x + =. Forme indeterminate: +, 0, 0 0,. (Sol.: ). (Sol.: ). (Sol.: ). (x/ x + x x + sen x). Calcolare Calcolare x x +. x x +. x x x + 5 Calcolare x + x. Calcolare Calcolare x x + 5 x + x. x x + 5 x + x. Limiti per x ± di rapporti di polinomi. Calcolare ). Calcolare ). Calcolare ). x6 + x 4 x ). (Sol.: x6 + x 4 x ). (Sol.: x6 + x 4 x ). (Sol.: Calcolare x9 + x 8 x ). (Sol.: + ). Limiti di potenze (s.d.). Esempio di risoluzione delle forme indeterminate: Calcolare ( x x 7). (Sol.: 0). Martedì 5 ottobre 0 ( ore) Lunedì 4 ottobre 0 ( ore) Calcolare (x x ). (Sol.: ). Calcolare x (5x5 x 4 +x +). (Sol.: ). Mercoledì 6 ottobre 0 ( ore) Limiti per x ± di polinomi.

4 c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 4 Giovedì 7 ottobre 0 ( ore) Lunedì ottobre 0 ( ore) Martedì ottobre 0 ( ore) Mercoledì ottobre 0 ( ore) Giovedì 4 ottobre 0 ( ore) Lunedì 8 ottobre 0 ( ore) Martedì 9 ottobre 0 ( ore) Mercoledì 0 ottobre 0 ( ore) Martedì 5 novembre 0 ( ore) Studiare la derivabilità della funzione f(x) = (sen x) /. Studiare la derivabilità della funzione f(x) = (sen x) 4/. Studiare la derivabilità della funzione f(x) = (sen(x 4 )) /. Teorema: Sia f : [a, b) R continua in [a, b) e derivabile in (a, b). Se esiste f (x) = l R, allora x a + esiste anche la derivata destra f +(a) e vale l. Analogo risultato si ha per la derivata sinistra (la dimostrazione verrà fatta in seguito). Proposizione: Se f(x) è una funzione derivabile pari, allora f (x) è dispari. Se f(x) è una funzione derivabile dispari, allora f (x) è pari. Punti di massimo e di minimo relativo (locale). Punti di massimo e di minimo relativo stretto (forte). Punti critici (o stazionari). Teorema di Fermat sui punti estremali (cioè: di massimo o di minimo relativo) interni di una funzione derivabile. Variante del Teorema di Fermat: cosa succede se il punto di massimo o minimo relativo si trova ad uno degli estremi dell intervallo. per il teorema di Fermat, i punti di massimo e minimo assoluti di una funzione continua in un intervallo chiuso e itato (che esistono per il teorema di Weierstrass) vanno cercati tra i seguenti:. i punti critici interni;. gli estremi dell intervallo;. i punti di non derivabilità. Trovare massimo e minimo assoluti della funzione f(x) = x + x nell intervallo [ 4 ], (inizio). Giovedì ottobre 0 ( ore) Lunedì 4 novembre 0 ( ore) Mercoledì 6 novembre 0 ( ore) Trovare massimo e minimo assoluti della funzione f(x) = x + x nell intervallo [ 4 ], (conclusione).

5 c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 5 Trovare gli estremi superiore e inferiore della stessa funzione nell intervallo ( 4 ),. Dato il grafico di una funzione f, disegnare il grafico di f. Calcolare la derivata della funzione x x. Esercizio per casa: Dire se la funzione x x è prolungabile in maniera derivabile nell origine. Calcolare la derivata della funzione f(x) g(x), se f e g sono derivabili (con f(x) > 0). Esercizio : Stabilire se la funzione f(x) = x sen + x è invertibile nel suo dominio, e in caso x + affermativo calcolare la derivata della funzione inversa nel punto y = + sen. seguente nella scorsa lezione abbiamo visto il Teorema: Sia f : [a, b) R continua in [a, b) e derivabile in (a, b). Se esiste f (x) = l R, allora x a + esiste anche la derivata destra f +(a) e vale l. Tuttavia se x a + f (x) non esiste, non si può concludere nulla su f +(a), come mostra il seguente La funzione f(x) = x sen x se x 0 0 se x = 0 è derivabile in x = 0, tuttavia non esistono e f (x). x 0 Teorema di Rolle e suo significato geometrico. f (x) x 0 + Teorema di Lagrange e suo significato geometrico. Giovedì 7 novembre 0 ( ore) Teorema di Cauchy. Criterio necessario e sufficiente di monotonia. Criterio sufficiente di stretta monotonia. Corollario: Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Condizione necessaria e sufficiente per la stretta monotonia di una funzione (come riportato nel testo []). Verificare che la funzione f(x) = x + sen x è strettamente crescente in R. Studio degli intervalli di crescenza e decrescenza di f(x) = x e x. Lunedì novembre 0 ( ore) provare che arctg x + arctg x = π per ogni x > 0, e che arctg x + arctg x = π per ogni x < 0. provare che ln x x per ogni x > 0. provare che cos x x per ogni x R. Asintoti verticali. Asintoti orizzontali. Asintoti obliqui. Esempi. Come si trova un asintoto obliquo. Dire se le seguenti funzioni ammettono asintoti obliqui: f(x) = x +, g(x) = x + x, h(x) = 4 x 4 + x 7/. Martedì novembre 0 ( ore) Numeri complessi C. Parte reale. Parte immaginaria. Rappresentazione dei numeri complessi, operazioni tra numeri complessi. Esempi. Modulo di un numero complesso. Numeri complessi coniugati. Esempi. Proprietà del modulo e del coniugato. Notazione trigonometrica di un numero complesso. Argomento. Notazione esponenziale (notazione di Eulero e iθ ). Identità di Eulero. Esercizi di trasformazione di un numero complesso da notazione cartesiana a notazione trigonometrica, e viceversa. Prodotto di numeri complessi in notazione trigonometrica. Significato geometrico. Esercizi. Potenze di un numero complesso. Calcolare ( + i) 4. Calcolare ( + i) 44.

6 c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 6 Mercoledì novembre 0 ( ore) Rapporto di due numeri complessi in rappresentazione trigonometrica. Potenze di un numero complesso. Formula di De Moivre. Calcolare ( i) ( + i) 7. Radici n-esime di un numero complesso e loro rappresentazione geometrica. soluzioni dell equazione z 6 =. Scrivere i numeri complessi z = ( i ) ) 4 4 i, w = ( i) 6 sia in forma trigonometrica che nella forma a + ib. Successivamente scrivere le radici terze di w (solo in forma trigonometrica) e disegnarle nel piano complesso. Teorema fondamentale dell algebra (s.d.). Conseguenze. Nei numeri reali il teorema non vale! Proprietà dell operazione di coniugio: z + w = z + w, zw = zw, ( z ) = z w w. Proposizione: Sia P (z) un polinomio a coefficienti reali. Se z C è una radice di P (z), anche il suo coniugato z lo è. Mercoledì 0 novembre 0 ( ore) Giovedì novembre 0 ( ore) Lunedì 5 novembre 0 ( ore) Martedì 6 novembre 0 ( ore) Mercoledì 7 novembre 0 ( ore) Giovedì 8 novembre 0 ( ore) Lunedì dicembre 0 ( ore) Giovedì 4 novembre 0 ( ore) Ancora sui numeri complessi. Derivata seconda, concavità, convessità. Martedì dicembre 0 ( ore) Lunedì 8 novembre 0 ( ore) Mercoledì 4 dicembre 0 ( ore) Martedì 9 novembre 0 ( ore) Giovedì 5 dicembre 0 ( ore)

7 c Andrea Dall Aglio - Analisi Matematica: Diario delle lezioni - 8 novembre 0 7 Lunedì 9 dicembre 0 ( ore) Martedì 0 dicembre 0 ( ore) Mercoledì dicembre 0 ( ore) Giovedì dicembre 0 ( ore) Lunedì 6 dicembre 0 ( ore) Martedì 7 dicembre 0 ( ore) Mercoledì 8 dicembre 0 ( ore) Giovedì 9 dicembre 0 ( ore) Riferimenti bibliografici [] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw-Hill (seconda edizione). [] P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica uno, Liguori editore.