5 DERIVATA. 5.1 Continuità

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1 5 DERIVATA 5. Continuità Definizione 5. Sia < a < b < +, f : (a, b) R e c (a, b). Diciamo che f è continua in c se sono verificate le ue conizioni: (i) c esiste (ii) = f(c) c Si osservi che nella efinizione preceente si assume che la funzione f è efinita in c, ovvero che è assegnato il valore f(c). Esempio 5.2 I polinomi e la funzione esponenziale sono funzioni continue su R. La funzione logaritmo è continua su (0, + ). Esempio 5.3 La funzione 2 + se 0 = se > 0 ha una iscontinuità in 0. Infatti non esiste il ite per che tene a zero, perchè il ite estro e sinistro in 0 sono iversi. 44

2 Esempio 5.4 La funzione = se > 0 0 se 0 ha una iscontinuità in 0. Si osservi anche che f è continua a sinistra in Definizione i erivata Definizione 5.5 Siano f : (a, b) R e c (a, b). Diciamo che f è erivabile in c se esiste finito il ite c f(c). c Tale ite viene inicato con f (c) e è etto erivata i f in c. Se una funzione f : (a, b) R è erivabile in ogni punto c (a, b), iciamo che f è erivabile in (a, b). Valgono analoghe efinizioni nel caso i intervalli chiusi, chiusi a estra o chiusi a sinistra. Poneno = c + h si vee che il ite nella Definizione 5.5 può anche essere scritto nella forma f f(c + h) f(c) (c) =. h 0 h Per inicare la erivata f (c) i f in c useremo anche le notazioni Df(c) e f (c). f(a) Sia f : (a, b) R. Se il ite estro = f a + a +(a) esiste finito, iciamo che f è erivabile a estra in a e chiamiamo erivata estra i f in a il numero f + (a). In maniera analoga si efinisce la erivata sinistra. Sia f : (a, b) R. Osserviamo che f è erivabile in c (a, b) se e solo se f è erivabile a estra e a sinistra in c e f + (c) = f (c). 45

3 Esempio 5.6 I polinomi e la funzione esponenziale sono funzioni erivabili su R. La funzione logaritmo è erivabile su (0, + ). Esempio 5.7 Sia = R. Abbiamo f(0) 0 0 e = = f(0) 0 = = ; = quini f è erivabile a sinistra e a estra nel punto 0, ma non è ivi erivabile, perché f +(0) f (0). 5.3 Tangente al grafico i una funzione Sia a < b + e sia f : (a, b) R erivabile in c (a, b). Definizione 5.8 La retta tangente al grafico ella funzione f nel punto i ascissa c è efinita come la retta passante per (c, f(c)) con coefficiente angolare f (c). Essa ha quini equazione = f (c)( c) + f(c). Esempio 5.9 Sia = m + q, R. Allora f (c) = m c R. La retta tangente in ogni punto coincie con la funzione stessa. Esempio 5.0 Siano = 2, R, e c =. Allora f (c) = 2 e l equazione ella retta tangente al grafico i f nel punto i ascissa c è = = (c, f(c)) = (, 0) = 2 46

4 5.4 La funzione erivata Definizione 5. Se f : (a, b) R è erivabile in (a, b), la funzione f : (a, b) R f : f () è etta funzione erivata i f. Esempio 5.2 Sia = R. Allora f f () = R. f Esempio 5.3 Sia = R. Allora f () = se < 0 se > 0 = = f () Si osservi che f non è efinita in 0 (vei Esempio 5.7). 5.5 Derivabilità e continuità Teorema 5.4 Siano f : (a, b) R e c (a, b). Se f è erivabile in c, allora f è continua in c. Esitono funzioni continue in un punto, ma non ivi erivabili. Per esempio la funzione =, R, è continua in 0, ma non è ivi erivabile. 5.6 Derivate i alcune funzioni elementari Calcoliamo la erivata i alcune funzioni elementari. 47

5 Esempio 5.5 Sia = c R, ove c è una costante reale. Allora f f( + h) c c 0 () = = = h 0 h h 0 h h 0 h = 0. Esempio 5.6 Sia = m + q R, ove c è una costante reale. Allora f f( + h) m( + h) + q (m + q) m h () = = = h 0 h h 0 h h 0 h = m. Esempio 5.7 Sia = 2 R, ove c è una costante reale. Allora f f( + h) ( + h) 2 2 2h () = = = h 0 h h 0 h h 0 h = 2. Tabella elle erivate i alcune funzioni elementari nel loro campo i esistenza. f () C 0 n α α α R a a lna a > 0, a 0 e e ln 48

6 5.7 Regole i erivazione Teorema 5.8 (Algebra elle erivate) Siano f, g : (a, b) R erivabili in c (a, b). Allora f + g e fg sono erivabili in c e (f + g) (c) = f (c) + g (c) (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c). Inoltre se g(c) 0, allora f g è erivabile e ( ) f (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g g 2. (c) Esempio 5.9 Sia = 2 + R. Allora f () = (2 + ) 2 ( 2 + ) 2 = 2 ( 2 + ) Derivata prima e monotonia - Ricerca i massimi e minimi Teorema 5.20 Sia f : (a, b) R erivabile. Valgono le seguenti proprietà:. se f > 0 in (a, b), allora f è strettamente crescente in (a, b); 2. se f 0 in (a, b), allora f è crescente in (a, b); 3. se f < 0 in (a, b), allora f è strettamente ecrescente in (a, b); 4. se f 0 in (a, b), allora f è ecrescente in (a, b); 5. se f 0 in (a, b), allora f è costante in (a, b). Sia c (a, b) e sia f : (a, b) R continua in (a, b) e erivabile in (a, b) \ {c}.. Se f () > 0 per (c, b) e f () < 0 per (a, c), allora c è un punto i minimo per. 2. Se f () < 0 per (c, b) e f () > 0 per (a, c), allora c è un punto i massimo per. 49

7 Esempio 5.2 Sia = 2, allora f () = 2 e 0 è un punto i minimo per f. f f < 0 e f è ecrescente in (, 0) f > 0 e f è crescente in (0, + ) f f (0) = 0 Esempio 5.22 Sia = 2, allora f () = 2 e 0 è un punto i massimo per f. f f (0) = 0 f > 0 e f è crescente in (, 0) f < 0 e f è ecrescente in (0, + ) f 5.9 Teorema i De l Hôpital Teorema 5.23 (Teorema i e l Hôpital) Siano c [a, b] e f, g : (a, b) R erivabili in (a, b) \ {c} con g() 0 in (a, b) \ {c}. Se c g() = 0 0 oppure c g() = (più precisamente se = g() = 0 oppure = g() = ± ) c c c c e se f () c g esiste, () allora c g() = f () c g (). 50

8 Un enunciato analogo vale per i iti estri e sinistri e per c = ±. Esempio 5.24 Consieriamo = ln( + ) e g() = e. Osserviamo che il ite 0 ln(+) e presenta sotto la forma ineterminata 0/0. Abbiamo si f () 0 g () = 0 cosicché al Teorema i e l Hôpital otteniamo ln( + ) (e ) = 0 0 g() = ln( + ) 0 e =. + e =, Esempio 5.25 Consieriamo = e g() = e. Osserviamo che il ite + g() = presenta sotto la forma ineterminata + +. Abbiamo f () + g () = + cosicché al Teorema i e l Hôpital otteniamo + (e ) = + e = 0. e = 0, + e si Esempio 5.26 Consieriamo = e g() = e. Abbiamo che è iverso a f () 0 g () = 0 (e ) = 0 0 g() = 0 e = 0. e =, Osserviamo che il ite non presenta forma ineterminata e quini non possiamo applicare il 0 g() Teorema i e l Hôpital. Esempio 5.27 Sia n N. Applicano il Teorema i e l Hôpital n volte otteniamo n + e = 0 n N. 5

9 5.0 Derivata ella funzione composta e ella funzione inversa Teorema 5.28 (Derivata ella funzione composta) Siano f : (a, b) R e g : (c, ) R erivabili rispettivamente in c (a, b) e f(c) (c, ). Allora g f è erivabile in c e (g f) (c) = g (f(c))f (c). Esempio 5.29 Siano = 2 e g() = e, R. Allora (g f)() = e 2 e (g f) () = e 2 2. Esempio 5.30 Sia = e 2, R. Allora f () = e 2 ( ) 2 = e 2 2( ) ( )2 4 = e 2. Esempio 5.3 Sia = 3 2, R. Allora = ( 2 ) /3 e f () = 3 (2 ) /3 2 = ( 2 ) 2. Teorema 5.32 (Derivata ella funzione inversa) Sia f una funzione invertibile in (a, b). Supponiamo f erivabile in c con f (c) 0. Allora f è erivabile in f(c) e si ha (f ) (f(c)) = f (c). Dimostrazione. La formula per calcolare la erivata ella funzione inversa, nota la sua erivabilità, segue alla formula i erivazione elle funzioni composte. Infatti, all uguaglianza (f f)() = (a, b), ricaviamo = (f f) (c) = `f (f(c)) f (c). Più ifficile è imostrare che la funzione inversa i una funzione erivabile è erivabile. (si vea: Bramanti, Pagani, Salsa, MATEMATICA Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.). Esempio 5.33 Sia = e, R. Allora f () = ln, (0, + ) e, se = = e, (f ) () = e =. 52

10 5. Tabella elle erivate f () F() F () C 0 C C f () + g() f () + g () α α α g() f ()g() + g () a a ln a g() f ()g() g () (g()) 2 e e [] α α [] α f () ln ln () f () log a () lna e g() g ()e g() 5.2 Stuio i funzioni. Per Tracciare il grafico i una funzione seguiamo lo schema seguente. Si consiglia i leggere lo schema guarano contemporaneamente un esercizio i stuio i funzione svolto.. Dominio e eventuali simmetrie. Se non è inicato il ominio, allora si etermina il campo i esistenza e lo si assume come ominio (si vea la sottosezione 2.. Campo i esistenza). Se il ominio non è tutta la retta reale si einano al piano cartesiano le parti el piano a escluere. Se il ominio è simmetrico rispetto allo 0, allora si cercano eventuali simmetrie (si vea la sottosezione 2.4 Funzioni simmetriche). Si etermina f( ) e si vee se è uguale a (in tal caso la funzione è pari) oppure è uguale a (in tal caso la funzione è ispari). Se nessuna elle ue uguaglianze è verificata allora la funzione non presenta simmetrie rispetto all asse elle o rispetto all origine. 2. Intersezioni con gli assi. Se = 0 è nel ominio ella funzione, allora si etermina l intersezione con l asse elle orinate poneno = 0 e calcolano il valore f(0). Si etermina l intersezione con l asse elle ascisse 53

11 poneno = = 0 e ricavano il valore i. Si segnano sul piano cartesiano i punti i intersezione con gli assi. 3. Segno i f. Si stuia il segno i f risolveno la isequazione > 0. Si einano al piano cartesiano le parti el piano escluse. 4. Limiti agli estremi el ominio. Se il ominio è formato a più intervalli, allora si calcolano il iti agli estremi i tutti gli intervalli. Per esempio se il ominio fosse (, ) (, 3), ovremmo calcolare i iti per,, + e 3. Si segnano sul piano cartesiano i risultati ei iti. 5. Asintoti. (Si vea la sottosezione 3.3 Asintoti) Dal punto preceente si euce se esistono o meno asintoti orizzontali o verticali. Possono esistere asintoti obliqui solo quano = ± oppure + ±. In tal caso si procee calcolano + (oppure = ). Se tale ite esiste e è uguale a un m) e se anche questo ite esiste numero reale m 0, allora si calcola m (oppure + e è uguale a un numero reale q (anche uguale a zero) allora esiste l asintoto obliquo i equazione = m+q. Si segnano sul piano cartesiano gli eventuali asintoti. 6. Calcolo i f. Si calcola la erivata prima i f.(si vea la sottosezione 5. Tabella elle erivate) 7. Segno i f. Si risolve l equazione f () = 0 per eterminare i punti a tangente orizzontale (possibili punti i massimo o minimo). Si risolve la isequazione f () > Intervalli i monotonia. Negli intervalli in cui f () > 0 la funzione f è strettamente crescente; negli intervalli in cui f () < 0 la funzione f è strettamente ecrescente. (si veano le sottosezioni 2.6 e 5.8) 9. Eventuali massimi e minimi. Dallo stuio preceente si euce l esistenza o meno i massimi e/o minimi. Per esempio se f () = 0 per = 2, f () < 0 per < 2 e f () > 0 per 2 < <, allora f ha un minimo in = 2. (Si veano le sottosezioni 2.7 e 5.8). 0. Si traccia il grafico ella funzione. 54