14. Studio grafico completo di funzioni

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1 14. Studio grafico completo di funzioni Davide Catania Esercitazioni di Analisi Matematica 1

2 Studio elementare di funzioni (1) Trova il dominio. data f (x) (2) Studia la simmetria e la periodicità (questo punto può essere posticipato). (3) Trova le eventuali intersezioni con gli assi. (4) Studia il segno. (5) Calcola i limiti agli estremi del dominio e trova gli eventuali asintoti. Ad ogni passo, rappresentiamo graficamente le informazioni ottenute.

3 Studio completo di funzioni data f (x) (6) Calcola la derivata prima f (x) e stabilisci dove è definita (domf domf ). (7) Trova i punti critici, cioè risolvi f (x) = 0. (8) Studia il segno di f (x), cioè risolvi f (x) > 0, studia la monotonia e trova i punti di massimo e di minimo locale (ascisse e ordinate). (9) Calcola la derivata seconda f (x) e stabilisci dove è definita. (10) Studia il segno di f (x), stabilisci la convessità e trova gli eventuali punti di flesso: a tangente orizzontale se f (x 0 ) = 0, a tangente obliqua se f (x 0 ) R \ {0}, a tangente verticale se lim x x0 f (x) {+, }. Ad ogni passo, rappresentiamo graficamente le informazioni ottenute.

4 Esercizio 1 Traccia il grafico di f (x) = e 1/x.

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9 f (x) = e 1/x f (x) x

10 Esercizio 2 Traccia il grafico di f (x) = lnx x estremi dell insieme A = e determina immf. Trova gli { lnn n : n N, n 1 }.

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15 f (x) = lnx x f (x) x

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17 Esercizio 3 (Analisi 1, 3 Settembre 2012) Sia data la funzione sin x f (x) = ln cosx Delle seguenti affermazioni (a) f è derivabile nel suo dominio (b) x = π è un punto di cuspide (c) f 1 (π/2) = ( 4(2 2+1) (d) min R f = 0 (e) max R f = ln ) le uniche corrette sono A : (a), (c), (d) B : (b), (c), (e) C : (a), (c), (e) D : (b), (d), (e).

18 Abbiamo già ottenuto: domf = R; f è pari e 2π-periodica; (0,ln2) è l unico punto di intersezione con gli assi; f (x) > 0 per ogni x reale; (π,ln2) è un punto del grafico di f ; non esistono i limiti di f (x) per x ± e non ci sono asintoti.

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22 ( ) sinx f (x) = ln cosx f (x) ln2 π x

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24 Esercizio 4 (Analisi 1, 1 Febbraio 2012) Sia data la funzione Delle seguenti affermazioni f (x) = x 2 + arctan 1 x + 2. (a) f è derivabile nel suo dominio (b) f ( 3) = 0 (c) x = 1 è un punto di massimo relativo (d) f è crescente su ], 3] (e) f ammette un punto di minimo assoluto le uniche corrette sono A : (a), (d), (e) B : (a), (b), (d) C : (b), (c), (d) D : (a), (c), (d).

25 Abbiamo già ottenuto: domf = ], 2[ ] 2,+ [; f non è simmetrica e non è periodica; (0,arctan 1 2 ) è l intersezione con l asse y; abbiamo tralasciato le intersezioni con l asse x e lo studio del segno; lim f (x) = 1 ± π (non ci sono asintoti verticali); x ( 2) ± 2 lim f (x) = ± e y = 1 x ± 2x asintoto obliquo completo.

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28 f (x) = x ( ) arctan x + 2 f (x) π x π 2 1

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30 Esercizio 5 (Analisi 1, 11 Giugno 2012) Sia data la funzione f (x) = Delle seguenti affermazioni 3 3 e x 2 + ln ex 2. (a) il dominio di f è ]ln2,+ [ (b) f è pari (c) lim f (x) = + (d) f ammette asintoto orizzontale per x (ln2) + x (e) f ammette y = x come asintoto obliquo per x + le uniche corrette sono A : (a), (c), (e) B : (b), (e) C : (b), (d) D : (c), (d), (e).

31 Abbiamo già ottenuto: domf = ],ln2[ ]ln2,+ [; f non è simmetrica; (0, 3) intersezione con l asse y; abbiamo tralasciato le intersezioni con l asse x e lo studio del segno; y = x asintoto obliquo destro; y = ln asintoto orizzontale sinistro; x = ln 2 asintoto verticale completo; lim f (x) = ±. x ln2 ±

32 f (x) = 3 3 e x 2 + ln ex 2 f (x) ln ln2 x

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36 Esercizio 6 (Analisi 1, 11 Giugno 2012) Sia data la funzione f (x) = 3 3 e x 2 + ln ex 2. Delle seguenti affermazioni [ ] (a) f è derivabile nel suo dominio (b) f (ln4) = (c) f è sempre decrescente sul suo dominio (d) f ammette un punto di minimo relativo in ln3 (e) f ammette un punto di minimo relativo in ln4 le uniche corrette sono A : (b), (c) B : (a), (b), (d) C : (a), (b), (e) D : (a), (d).

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40 f (x) = 3 3 e x 2 + ln ex 2 f (x) ln ln2 x

41 Esercizio 7 Dimostra che, per ogni x > 0, risulta arctan 1 x = π 2 arctanx.

42 Esercizio 8 Dimostra che 1 + t e t per ogni t R. Traccia il grafico di f (x) = e 7x 7x 1.

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49 f (x) = e 7x 7x 1 f (x) x

50 Esercizio 9 Traccia il grafico di f (x) = sinx + 4sin x 2.

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58 f (x) = sinx + 4sin x 2 f (x) 1 π x

59 Esercizio 10 Dimostra che l equazione ln(2 + arctanx) = 1 x 2 ha esattamente due soluzioni, di cui una nell intervallo ]0, 1[ e una nell intervallo ] 1, 0[. Suggerimento: studia f (x) = ln(2 + arctanx) + x 2 1 e dimostra che f (x) > 0 per x 0, f (x) < 0 per x 1, f (x) > 0 per x [ 1,0].

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63 Esercizio 11 Traccia il grafico delle seguenti funzioni: (a) f (x) = 2 x e (x2 +1) ; (b) f (x) = x + x 2 1; (c) f (x) = x2 2x 8 x 2 ; (d) f (x) = arcsin x 3 + x 1 ; ( (e) f (x) = ) x ; x (f) f (x) = x x x 1. Esercizio 12 Dimostra che e x 1 per ogni numero reale x < 1. 1 x