1. Funzioni e grafici elementari

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1 1. Funzioni e grafici elementari Davide Catania [email protected] Esercitazioni di Analisi Matematica 1 A.A. 2016/17

2 Funzioni e grafici Grafici deducibili Funzioni periodiche Funzioni simmetriche Esercizi assegnati

3 Cos è una funzione da A in B? (A, B insiemi non vuoti) È una regola che a ogni elemento a A associa (fa corrispondere) esattamente un elemento b B (cioè uno e uno solo): f : A B A = domf è detto dominio di f. Cos è il grafico di una funzione? a b = f (a) Grf = { (x,y) A B : y = f (x) }

4 Test della retta verticale. Un grafico rappresenta una funzione se e solo se ogni retta verticale lo interseca in al più un punto (cioè in nessun punto o al massimo in un punto).

5 Esercizio 1 Quali grafici rappresentano una funzione?

6 Cos è l immagine di una funzione f : A B? Sono gli elementi di B associati a qualche elemento di A: immf = f (A) = { y B : y = f (x) per qualche x A } Data una funzione f : A B e dato un insieme A 1 A, cos è l immagine di A 1 tramite f? Sono gli elementi di B associati a qualche elemento di A 1 : f (A 1 ) = { y B : y = f (x) per qualche x A 1 }

7 Esercizio 2 Determina dominio e immagine della funzione f il cui grafico è riportato in figura. f f

8 Esercizio 3 Dato il grafico della funzione f in figura, determina f (], 1] [0,3[). f f

9 Data una funzione f : A B e dato un insieme B 1 B, cos è la preimmagine di B 1 tramite f? Sono gli elementi di A associati a qualche elemento di B 1 : f 1 (B 1 ) = { x A : f (x) B 1 }

10 Esercizio 4 Dato il grafico della funzione f in figura, determina f 1 (] 2,2[). f f

11 Quando una funzione f : A B è iniettiva? Se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B: x 1 /= x 2 f (x 1 ) /= f (x 2 ) x 1,x 2 A Quando una funzione f : A B è suriettiva su B? Se ogni elemento di B è associato a qualche elemento di A: f (A) = B cioè y B x A : f (x) = y Quando una funzione f : A B è biettiva? Se è sia iniettiva che suriettiva, cioè ogni elemento di B corrisponde esattamente a un elemento di A: y B!x A : f (x) = y

12 Test della retta orizzontale. Una funzione è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale ne interseca il grafico in al più un punto. Una funzione è suriettiva su B 1 se e solo se ogni retta orizzontale y = b, con b B 1, ne interseca il grafico in almeno un punto. Nota sulla suriettività. f : A f (A) è automaticamente suriettiva.

13 Esercizio 5 Individua le funzioni iniettive e quelle suriettive su R. f 1 f 2

14 Esercizio 6 Individua le funzioni iniettive e quelle suriettive su R. f 3 f 4

15 Funzioni e grafici Grafici deducibili Funzioni periodiche Funzioni simmetriche Esercizi assegnati

16 Valore assoluto. x = { x se x 0, x se x < 0. Nota: x 2 = x.

17 Grafico di y = f ( x ). Grafico di y = f (x).

18 Esercizio 7 Traccia il grafico di y = 3x 2 1.

19 Esercizio 8 Traccia il grafico di y = x 2 1 2x.

20 y = x 4, y = x 6 y = 1 x 2, y = 1 x 4 y = x 3, y = x 5 y = 1 x 3, y = 1 x 5

21 y = x 1/2, y = x 1/4 y = x 1/3, y = x 1/5 y = x a y = 1 x a a 4 a 3 y = x a 1 a 3 a 2 a 1 a 2 a 4 a R \ Q, 0 < a 1 < a 2 < 1 < a 3 < a 4

22 Funzione esponenziale: y = b x. Grafico per 0 < b < 1 Grafico per b > 1, es. y = e x ( e è circa 2.7) 1 1 Proprietà a,b > 0 r,s R n N,n 1 b 0 = 1, b 1 = b, b r > 0, ( n ) b r n r = b = b r/n, b r+s = b r b s, b r s = br b s, b rs = (b r ) s, (ab) r = a r b r, ( ) 1 r b r = = 1 ( a ) r b b r, a r = b b r.

23 Grafico di y = f (x) + k, (k > 0) Grafico di y = f (x) k, (k > 0)

24 Grafico di y = f (x + h), (h > 0) Grafico di y = f (x h), (h > 0)

25 Traslazioni a confronto. y = f (x) + k y = f (x + h) y = f (x) k y = f (x h)

26 Esercizio 9 Traccia il grafico di y = ( 1 2) x

27 Quando una funzione f : A B è invertibile? Quando è iniettiva. Se f : A B è invertibile, cos è la sua funzione inversa? f 1 : f (A) A b a = f 1 (b) quell unico a tale che f (a) = b. Nota: f 1 (x) /= ( f (x) ) 1 = 1 f (x).

28 Proprietà fondamentale delle funzioni inverse. Se f : A B è invertibile, allora f 1( f (x) ) = x x A, f ( f 1 (x) ) = x x f (A). Grafico di y = f 1 (x): simmetrico al Grf rispetto alla bisettrice y = x.

29 Funzione logaritmo: y = lg b x (b > 0,b /= 1). La funzione b x : R ]0,+ [ è invertibile. Per definizione, y = lg b x: ]0,+ [ R è la funzione inversa di y = b x. Grafico con 0 < b < 1 Grafico con b > 1, es. b = e (lnx := lg e x) y = e x 1 1 y = lnx y = lg 1 (x) 2 1

30 Proprietà dei logaritmi. a,b ]0,+ [ \ { 1}, r,s > 0, t R Inoltre lg b 1 = 0, lg b b = 1, ( r ) lg b (rs) = lg b r + lg b s, lg b = lg s b r lg b s, lg b r t = t lg b r, lg b r = lg a r lg a b. y = lg b x x = b y, lg b b x = x x R, b lg b x = x x ]0,+ [.

31 Esercizio 10 Traccia il grafico di y = lg 1 (4x). 2

32 Esercizio 11 Traccia il grafico di y = e 2lnx.

33 Funzioni iperboliche. coshx = ex +e x, sinhx = ex e x 2 2 f (x) = sinhx, tanhx = ex e x e x +e x. f (x) = coshx f (x) = tanhx cosh 2 x sinh 2 x = 1 x R, tanhx = sinhx coshx { X = coshx, Y = sinhx X 2 Y 2 = 1 iperbole x R.

34 Come si ricava esplicitamente l espressione della funzione inversa di una funzione invertibile y = f (x)? ( arcoshx := cosh 1 x = ln x + ( arsinhx := sinh 1 x = ln ) x 2 1 x + x artanhx := tanh 1 x = 1 2 ln 1 + x 1 x x [1,+ [, ) x R, x ] 1,1[.

35 Grafico di y = f (x). Grafico di y = f ( x).

36 Esercizio 12 Traccia il grafico di y = tanh(1 x).

37 Grafico di y = Bf (x) B > 1. Grafico di y = bf (x) 0 < b < 1.

38 Grafico di y = f (Ax) A > 1. Grafico di y = f (ax) 0 < a < 1.

39 Dilatazioni e contrazioni a confronto. y = Bf (x) y = f (Ax) y = bf (x) y = f (ax)

40 Esercizio 13 Traccia il grafico di y = tan(2 x ).

41 Esercizio 14 Traccia il grafico di y = cos ( ) 2π 3x 6.

42 In alternativa: y = cos ( ) ( 2π 3x 6 = cos x 2 π ) 3

43 y = arccosx π y = arcsinx π y = arctanx π 2

44 Conclusioni sui grafici deducibili. Le trasformazioni riguardano tutti i grafici reali, non solo quelli delle funzioni elementari richiamate. A volte è necessario applicare le trasformazioni in un preciso ordine, altre volte no. Se un certo ordine non funziona, provarne un altro. Per tracciare y = f ( x h ), rappresentiamo y = f (x), y = f ( x ) e infine y = f ( x h ). Per tracciare y = f (h x), riscriviamo y = f (h x) = f ( (x h) ) e rappresentiamo y = f (x), y = f ( x) e infine y = f ( (x h) ). Per tracciare y = f (ax h), riscriviamo y = f (ax h) = f e infine y = f ( a ( x h a ) ) e rappresentiamo y = f (x), y = f (ax) ( a ( x h a ) ). Memorizza i grafici delle funzioni elementari con le indicazioni numeriche fondamentali!

45 Funzioni e grafici Grafici deducibili Funzioni periodiche Funzioni simmetriche Esercizi assegnati

46 Quando una funzione f : A R R è T-periodica (periodica di periodo T)? Quando contemporaneamente: A è periodico, cioè x A x + T A; f (x + T) = f (x) per ogni x A. Risulta f (x + Tk) = f (x) per ogni x A, per ogni k Z. Esempi: y = cosx, y = sinx y = tanx

47 Esercizio 15 Determina il periodo di y = tan ( x 3) cosx.

48 Verifica della periodicità di y = tan ( x 3) cosx.

49 y = tan ( x 3) cosx, f (x + 6π) = f (x)

50 Esercizio 16 Determina il periodo di y = sin 2 x. 1 π

51 Funzioni e grafici Grafici deducibili Funzioni periodiche Funzioni simmetriche Esercizi assegnati

52 Esercizio 17 Quali grafici rappresentano una funzione?

53 Esercizio 18 Quali grafici rappresentano funzioni iniettive, funzioni suriettive su R, funzioni suriettive su [0,1] (fra i grafici ), funzioni biettive da R in R?

54 Esercizio 19 Traccia il grafico delle seguenti funzioni; stabilisci graficamente se sono iniettive e qual è la loro immagine. (a) y = 3x + 2, (b) y = 2x x + 1, { (c) y = 3 x 1 x se x 0, x + 2, (d) y = 1 x 2 se x < 0, (e) y = x + 1 x, (f) y = x x, ( ) 1 x (g) y = + 2, (h) y = x 1, (i) y = e x 2 3, (j) y = lg(1 x), (k) y = lg 1 2 (x + 3), (l) y = lnx 2, ( (m) y = 2sin x π 4 ), (n) y = tan( x 1), (o) y = 2arctan(3x 6), (p) y = arccos x.

55 Esercizio 20 Traccia il grafico delle seguenti funzioni; stabilisci graficamente se sono iniettive e qual è la loro immagine. (a) y = 1 3x, (b) y = 1 + 9x 2, (c) y = x 2 3x x, (d) y = x 3 + 1, (e) y = 2x 4, (f) y = 3 x, (g) y = x 1/2, (h) y = x π 1, (i) y = 2e x 1, (j) y = ln x 1, 2 (k) y = artanh( 2 x ), (l) y = coshx 2, π ), (m) y = 2 sin( 3 3 x (n) y = cos 2 x sin 2 x, (o) y = arcsin(sinx), (p) y = cos(arccosx).

56 Esercizio 21 Data f (x) = 3x 1 x+2, determina graficamente f (] 2,1]), f ([ 1,1]), f (],1] \ { 2}), f 1 (]3,4]). Esercizio 22 Data f (x) = 3 x 1 x +2, determina f 1 ([1,2]) e f 1 ([ 2, 1]). Esercizio 23 Trova f (R), f ([ 1,2]), f 1 ({0}) e f 1([ 1 2, 1 2]), per f (x) = { x 1 se x 0, x 2 + 2x se x < 0. Esercizio 24 Data f (x) = 4x x 2, determina graficamente domf, immf, f ([1,2]), f (]1,4]).

57 Esercizio 25 Data f (x) = x+ x x 2, trova graficamente dominio, immagine e f 1 ([ 1,3]). Esercizio 26 Traccia il grafico di f (x) = 1 2 9x x 8; in base a questo, trova domf, stabilisci se la funzione è iniettiva e scegli il codominio di f affinché sia suriettiva. Esercizio 27 Determina grafico, dominio e immagine di y = 2sinx 1 e y = cos(x +π) + 2.