Esercitazioni di Analisi Matematica I

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1 Esercitazioni di Analisi Matematica I Andrea Corli 3 agosto 6

2 ii

3 Indice Introduzione v Nozioni preliminari. Sommatorie Fattoriali Numeri reali Intervalli, max, min, sup, inf Disuguaglianze Successioni 3. Definizioni Limiti Varia Serie numeriche 5 3. Definizioni Serie a termini positivi Serie a termini di segno qualsiasi Funzioni di una variabile reale 7 4. Grafici, che passione! Campo di esistenza Composizione e inversa Funzioni simmetriche Funzioni periodiche Funzioni monotòne, invertibili, inverse Limiti di funzioni e continuità 5. Limiti: fatti basilari Asintotici Calcolo di limiti Di tutto un po Continuità e teoremi relativi Calcolo differenziale 3 6. Generalità Calcolo di derivate Rette tangenti Mica sempre derivabili Inverse Varia umanità C n Concavità e convessità Grafici I Teoremi di de l Hospital Polinomi e formula di Taylor

4 iv INDICE 7 Calcolo integrale 7 7. Integrali come aree Varie semplici primitive Funzioni razionali Funzioni trigonometriche Aree di regioni piane Notazioni e dimensioni Integrali di funzioni discontinue Funzioni integrali Integrali generalizzati Bibliografia

5 Introduzione Questi esercizi si riferiscono agli argomenti svolti nel corso di Analisi Matematica I, corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale, tenuto presso l Università di Ferrara. Più precisamente, si tratta degli esercizi proposti duranti le esercitazioni in aula. Per quanto riguarda i libri di esercizi consigliati, si vedano [6, ]. Ferrara, 3 agosto 6 Andrea Corli

6 vi INTRODUZIONE

7 Capitolo Nozioni preliminari. Sommatorie.. Scrivere in forma di sommatoria Provare che n k= k = n(n + ), n k= (k + ) = n...3 Calcolare n k= ( )k, n k= q k...4 Calcolare n k+ k= log k.. Fattoriali.. Siano a n = (n)! e b n = (n + )!, per n =,,,.... Calcolare a, a, a, b n b n+... Sia ( ) n k = n! k!(n k)! per n N e k =,,,..., n. Calcolare ( n k) per n =,,, 3 e tutti i relativi valori di k. Provare che ( ) ( ) n n =. k n k Provare che ( ) ( ) n + n = + k k Costruire il triangolo di Tartaglia. k= ( ) n. k Scrivere termine a termine la formula di Newton n ( ) n (a + b) n = a n k b k k nei casi n = 3, 4, 5. a n a n+ e b, b, b,..3 Un lucchetto (come quelli di alcune chiusure per biciclette, o come quelli dell aula di informatica) ha 4 finestre e cifre per ogni finestra. Quante combinazioni?

8 CAPITOLO. NOZIONI PRELIMINARI.3 Numeri reali.3. Provare in dettaglio che se m è un numero naturale non nullo, allora.3. Provare che 3 è irrazionale. m pari m pari..4 Intervalli, max, min, sup, inf.4. Rappresentare graficamente gli intervalli [, ], (, ], ( /, 3/), (, ), [, + ). Rappresentare inoltre gli insiemi seguenti e dire se sono o meno intervalli: [, ] ( /, 3/), [, ] ( /, 3/), (, ] (, 3), (, ] (, 3), (, ) [, + ]..4. Dire se gli intervalli [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) hanno massimo o minimo..4.3 Semplificare se possibile le seguenti espressioni, rappresentare gli insiemi graficamente, calcolare massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore: [, 3) (, 4), (, 3) [, ] (, ], [, ) [, ], [, ) (, 4], [, 3] (4, 5), [, ) {4}, [, 3] \ {}..4.4 Siano a, b due numeri reali; provare che min{a, b} = a + b a b, max{a, b} = a + b + a b..4.5 Calcolare massimo, minimo (se esistono) ed estremo superiore, estremo inferiore di {( ) n n n+ : n N}..4.6 Sia E R; può un punto di E essere sia massimo che minimo di E?.5 Disuguaglianze.5. Per quali a e b la disuguaglianza a b a b diventa una uguaglianza?.5. Calcolare parte intera e frazionaria di 8.,,., Provare che [x] + [y] [x + y] [x] + [y] +.

9 Capitolo Successioni. Definizioni.. Provare, usando la definizione, che lim n log ( + n) = ; lim n (n n ) = ; lim n n! = +... Dire se hanno limite le successioni a n = n sin ( nπ..3 Dire se le seguenti successioni sono limitate, monotòne: ( ) { a n = nπ sin, b n = n + ( ) n, c n = 4 ), bn = n sin ( ) nπ. n se n è pari, n se n è dispari...4 Se una successione non è crescente è allora necessariamente decrescente?..5 Dire se la successione n 5 n è definitivamente decrescente...6 Si è visto che se una successione è convergente allora è limitata. Ripercorrere la dimostrazione considerando le successioni a n = n e b n = ( )n n.. Limiti.. Cercare un asintotico semplice di (i) n log n+n log(3n) ; (ii) n + n; (iii) 3 n + 3 n... Calcolare (i) lim n log ( n + n + ) ; (ii) lim n 3 n ; (iii) lim n a n, dove a n = n n ; (iv) lim n log n log 3 n...3 Calcolare (i) lim n 3n +n n 3 n +3 ;

10 4 CAPITOLO. SUCCESSIONI ( n ) (ii) lim n + n n; (iii) lim n cos n log n ; (iv) lim n (log n) n...4 Calcolare (i) lim n n! n n ; (ii) lim n n! n n/...5 Calcolare lim n q n +q n per q..3 Varia.3. Cercare due successioni a n b n, a n strettamente monotòna e b n non monotòna..3. E (+) una forma indeterminata?.3.3 Dire se ha limite la successione a n = n ( ) n n.

11 Capitolo 3 Serie numeriche 3. Definizioni 3.. Per quali q > si ha che n q k definitivamente? k= 3. Serie a termini positivi 3.. Studiare il comportamento delle serie 3 n n 3 n + n ; n= n= n n n= n n 3 n ; n! ; log b n ; n= ( n ) 3 n. n= 3.. Studiare il comportamento delle serie n log n ; n= (log n) n ; n= 3..3 Provare che n= n log n = Serie a termini di segno qualsiasi 3.3. Studiare il comportamento delle serie n= n sin(3n) 3 n ;

12 6 CAPITOLO 3. SERIE NUMERICHE q n per q ; + qn n= 3.3. Studiare il comportamento delle serie a termini di segno alterno ( ) n n n; n= n ( ) n n n ; n= ( ) n n log n. n=

13 Capitolo 4 Funzioni di una variabile reale 4. Grafici, che passione! 4.. Rette e semipiani... Disegnare le rette y = x + 3, 3x y =, x =. Disegnare le regioni di piano {y < x + } {x < 3y + }. Rappresentare il triangolo di vertici (, ), (, ), (, ) come intersezione di tre semipiani. Dedurre le espressioni analitiche delle rette in Figura Figura 4.: Rette. 4.. Parabole... Disegnare y = x, 3x, 3 x, (x ), 3(x + ). Dedurre le espressioni analitiche delle parabole in Figura Disegnare i grafici di H(x + ) H( x); sgn(x + ) + sgn(x ) Disegnare in uno stesso piano i grafici di e x, e x ; e ax, con a > ; x /, x 3/4, x 4/3, x 5/ Disegnare i grafici delle funzioni + x + sin x, x sin x, x x, e x log x, e x log x.

14 8 CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE (a) 3 (b) (c) (d) Figura 4.: Parabole Disegnare i grafici di log x ; + x Di quali funzioni sono grafici le curve in Figura 4.3? (a) (b) (c) (d) Figura 4.3: Grafici Disegnare il grafico delle funzioni x ; f(x) = max{sin x, cos x} in [ π, π]; g(x) = max sin t, in [ π, π]. π t x 4..9 E vero che il grafico della funzione f(ax + x ) si deduce da quello di f(ax) per traslazione di x?

15 4.. CAMPO DI ESISTENZA 9 4. Campo di esistenza 4.. Determinare il campo di esistenza di log (log x), log log x x, x, x +5x+6 ; arcsin(x 3 + ). 4.. Determinare il campo di esistenza di x x, x log x, (log x) x. 4.3 Composizione e inversa 4.3. Composizione: calcolare f g e g f dove f(x) = x, g(x) = log x; sia f(x) = + x. Calcolare f f e f f f Calcolare, se esiste, la funzione inversa di x ; tanh x; + log x; log (log 3 x); x x Calcolare il campo di esistenza e disegnare il grafico delle funzioni f(x) = tg(arctg x) e g(x) = arctg(tg x). 4.4 Funzioni simmetriche 4.4. Dire se le seguenti funzioni sono pari, dispari o non sono simmetriche: arcsin x, arccos x, arccos x π, sin(x 3 ), cos(x 3 ).

16 CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 4.5 Funzioni periodiche 4.5. Calcolare il periodo di sin(ωx), sin(ωx + φ), dove ω R \ {}, φ R Calcolare il periodo delle funzioni (sin x), cos x Calcolare il periodo di sin(px) + cos(qx), con p, q Q Sono periodiche le funzioni e x sin x (lunghezza d onda), sin x x, sin(3x )? Dare un esempio di una funzione pari, positiva, periodica di periodo Dire se le funzioni e sin x e sin(sin x) sono periodiche e disegnarne un grafico approssimativo Provare che la funzione sin(x ) non è periodica. 4.6 Funzioni monotòne, invertibili, inverse 4.6. Provare che la somma di due funzioni monotòne dello stesso tipo (ad esempio, entrambe crescenti o entrambe strettamente decrescenti) è ancora una funzione monotòna dello stesso tipo Mostrare con un esempio che il prodotto di due funzioni monotòne dello stesso tipo non è necessariamente una funzione monotòna Provare che il prodotto di due funzioni monotòne dello stesso tipo e strettamente positive è ancora una funzione monotòna dello stesso tipo Siano f e g due funzioni monotòne (crescenti o decrescenti, non necessariamente dello stesso tipo). Studiare il tipo di monotonìa della funzione composta g f E decrescente la funzione x? Può una funzione pari essere invertibile? Può una funzione dispari essere invertibile? Calcolare dominio e immagine della funzione f(x) = arcsin(3x ). Disegnare un grafico approssimativo di f Dire se le seguenti funzioni sono invertibili e, in caso affermativo, calcolare la funzione inversa: e x, 3 x 5.

17 Capitolo 5 Limiti di funzioni e continuità 5. Limiti: fatti basilari 5.. Dimostrare, usando la definizione di limite, che lim x + e x = ; lim x + log x =. 5.. Sia f : R R definita da f(x) = x se x <, f() =, f(x) = x se x >. Disegnare il grafico di f, studiarne il limite in, discuterne la continuità Sia f : (, + ) R tale che lim n f( n ) = ; è allora vero o falso che lim x f(x) =? 5. Asintotici 5.. Trovare degli asintotici semplici per x delle funzioni n= tg x, cotg x, arctg x, arcsin x. 5.. Studiare tramite gli asintotici la convergenza delle serie ( ) ( ) n + ( ) sin, log n n n, sinh + n. 5.3 Calcolo di limiti 5.3. Calcolare lim x + x log 5.3. Calcolare lim x + ( ( x + x + ) x x + x. + ). n= n= e x+ x Calcolare lim x ± + x. log (log x) Calcolare lim x + + log x. e x Calcolare lim x log( + x ) Calcolare lim x ( + 3x) x.

18 CAPITOLO 5. LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITÀ Calcolare lim x xe sin x. lim x + xesin x. 5.4 Di tutto un po 5.4. Delle seguenti funzioni calcolare il campo di esistenza, limiti nei punti significativi, asintoti, asintotici nei punti significativi: x + 3x ; x + ( ) x + arctg ; x + ( ) x arctg ; x xe x ; ( log x+ x +x ) Provare che non esiste né il lim x + cos x né il lim x + sin( x ) Provare che non esiste il lim x + tg x x. 5.5 Continuità e teoremi relativi 5.5. Sia f : [, ] [, 3] R definita da f(x) = se x [, ] e f(x) = se x [, 3]. E continua la funzione f? 5.5. Dire se le seguenti funzioni sono prolungabili per continuità in : x log x, e x, arctg x Una funzione f continua in (a, b) è necessariamente limitata? Provare che l equazione tg x + e x 5 = ha almeno una soluzione in ( π/, π/) Provare che la funzione x 3 e x ha massimo e minimo in R.

19 Capitolo 6 Calcolo differenziale 6. Generalità 6.. Cosa succede cambiando un segno nella definizione di derivata? Provare che lim h f(x h) f(x ) h = f (x ). 6.. E se facessimo lim h f(x+h) f(x h) h? 6..3 Provare che f pari f dispari, f dispari f pari. 6. Calcolo di derivate 6.. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni (operazioni fondamentali): x 3 + 3x, x 3/ x /3, x log x, e x sin x, 6.. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni (composizione): e x, x, log(log x), 3x, (log x) log x. x x + x + 3x Provare il seguente risultato, usato per motivare la formula di derivazione della funzione inversa: se le rette y = m x + q e y = m x + q, con m, m, sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, allora m m = Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: log(x); log 5x ; arctg ( x 3 ) ; cos(x 4 ), cos 4 (x); log x+ x ; ( x arctg e x3 ; 3 x +x ; x log x, x x. +x ); 6..5 Calcolare D n x Provare che D tanh x = tanh x Provare che D arccotg x = +x.

20 4 CAPITOLO 6. CALCOLO DIFFERENZIALE 6.3 Rette tangenti 6.3. Calcolare la retta tangente al grafico di f nel punto ( x, f(x ) ), dove f(x) = log x, x = ; f(x) = x, x = Calcolare le equazioni delle rette tangenti al grafico di f(x) = x passanti per il punto P = (, a ), con a. 6.4 Mica sempre derivabili Dire se le funzioni seguenti sono derivabili in e in caso negativo specificare il tipo di non derivabilità: x 3, x 5, x 4 3. Dire per quali α la funzione x α è derivabile in, classificando i tipi di non derivabilità Studiare i punti di non derivabilità di e x ; x ; x 3 ; x 5x + 6; 3 x Prolungare per continuità la funzione f, definita in (, + ), a e quindi calcolare f +(): f(x) = x log x; f(x) = e x. 6.5 Inverse 6.5. Provare che f(x) = x + log x è invertibile e calcolare (f ) (). 6.6 Varia umanità 6.6. Dare un esempio di una funzione f tale che lim x + f(x) =, ma non esiste lim x + f (x) Dare un esempio di una funzione f : R R tale che f < ma f > Si considerino i grafici delle funzioni rappresentati in Figura 6.. Disegnare il grafico delle loro derivate. Quali potrebbero essere le funzioni i cui grafici appaiono in figura?.4 f 5 g h Figura 6.: Grafici di funzioni.

21 6.7. C N Dare un esempio di una funzione continua e derivabile in [, ] che abbia un numero infinito di punti di massimo e di minimo in [, ] Dare un esempio di una funzione f tale che, per x +, si ha che f(x) ma f (x). Disegnarne un grafico approssimativo. Dare un esempio di una funzione g tale che, per x +, si ha che g (x) ma g(x). Disegnarne un grafico approssimativo. Pertanto, per x +, f f. 6.7 C n 6.7. Sia f : R R la funzione definita da f(x) = ax + b se x e f(x) = e x se x >. Dire per quali valori di a e b la funzione è derivabile. Per tali valori è f di classe C? 6.7. Sia f : R R la funzione definita da f(x) = x se x e f(x) = e x di classe C (R) Dare un esempio di una funzione di classe C n ma non di classe C n Si considerino le funzioni f n (x) = { x n sin x se x, se x =, per n =,,,.... A quali classi di funzioni derivabili appartengono? se x >. Dire se è 6.8 Concavità e convessità 6.8. Sia f una funzione invertibile. Mostrare che dalla convessità di f non si può dedurre nulla a proposito della convessità (o concavità) di f (a differenza della monotonìa). Più precisamente, dare un esempio di una funzione f convessa con f convessa e di una funzione f convessa con f concava. 6.9 Grafici 6.9. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni: f(x) = x e x ; g(x) = 3 xe x ; h(x) = x 3 + x x Disegnare il grafico della funzione f(x) = x 3 e x. x + x Disegnare il grafico della funzione g(x) = x Disegnare il grafico della funzione h(x) = e 3 log x Disegnare il grafico della funzione k(x) = x ( ) x arctg. x Disegnare i grafici delle seguenti funzioni: f(x) = x x x ;

22 6 CAPITOLO 6. CALCOLO DIFFERENZIALE g(x) = x 3 log x ; h(x) = (x )e x Trovare una funzione f tale che f() =, f () =, f () = e tracciarne un grafico approssimativo. 6. I Teoremi di de l Hospital 6.. Calcolare con gli asintotici e quindi con l Hospital il lim x e x + cos x 3. sin x 6.. Calcolare sin x x lim x x tg x Provare che x sin x x3 6 per x. Tramite questo risultato ritrovare il risultato dell Esercizio Sia f : R R una funzione derivabile e supponiamo che lim x + f (x) =. E vero che f ha un asintoto a +? 6..5 E vero che e x cos x e x per x? 6. Polinomi e formula di Taylor 6.. Calcolare i polinomi di MacLaurin di ordine n delle funzioni sinh x e cosh x. 6.. Calcolare il polinomio di MacLaurin di grado 3 della funzione tg x Usando i polinomi di MacLaurin trovare un asintotico per x della funzione f(x) = sin x (sin x).

23 Capitolo 7 Calcolo integrale 7. Integrali come aree 7.. Calcolare ragionando per simmetria. x(x ) dx disegnando dapprima il grafico della funzione integranda e poi 7. Varie semplici primitive 7.. Calcolare, integrando per parti, x sin x dx. x log(x + 3) dx; x cosh(x) dx; arctg x dx; arcsin x dx. 7.. Risolvere integrando per sostituzione i seguenti integrali: e x dx, + e x sinh x dx, xe x dx, cotg x dx, 7..3 Integrare per parti i seguenti integrali: e log x x( + log x) dx; π cos x sin x + dx; x 3 ( + x 4 ) 3 dx. x x dx Calcolare (x + ) 3 dx, (x + ) 3 dx, x(x + ) 3 dx Calcolare e 3 x dx.

24 8 CAPITOLO 7. CALCOLO INTEGRALE 7.3 Funzioni razionali 7.3. Nell integrazione delle funzioni razionali, nel caso in cui Q non ha radici reali, si è sfruttato il fatto che se P ha grado minore od uguale ad uno e Q ha grado due, allora esistono delle costanti c e c tali che P (x) Q(x) = c Q (x) Q(x) + c Q(x). Provarlo rigorosamente Calcolare Calcolare Calcolare Calcolare Calcolare x + 3 (x + ) dx; x(x + ) dx; x (x + 3) dx; x (x + 3) dx; x + x 4 dx. x 3 + x dx. x 3 3x + x dx. x + x (x + ) dx. + x 3 dx. 7.4 Funzioni trigonometriche 7.4. Calcolare sin x dx Calcolare + sin x cos x dx Calcolare ( + sin x) 3 sin(x) dx Calcolare sin 4 x dx, cos 5 x dx Calcolare sin(3x) cos(x) dx Calcolare sin x + cos x + sin x dx Provare che se α allora a a sin(αx)e βx dx = cos(αx)e βx dx = ( α [ α + β e aβ cos(aα) + β ) ] α sin(aα), α α + β [ β α + e aβ ( sin(aα) β α cos(aα) ) ].

25 7.5. AREE DI REGIONI PIANE Si consideri l integrale 4 x t = sin x ma... x dx. Sembra ragionevole fare il cambiamento di variabili 7.5 Aree di regioni piane 7.5. Calcolare l area della regione limitata compresa tra la parabola y = x + 3x e l iperbole xy = Calcolare l area della regione piana limitata dalle funzioni f(x) = 3 x e g(x) = x x. 7.6 Notazioni e dimensioni 7.6. E corretta dimensionalmente la formula Dove sta l errore? D cos(ax + b) = (ax + b) sin(ax + b)? 7.6. Sono corrette dimensionalmente le formule Dove sta l errore? Sapendo che D log(ax) = ax + e D log(ax) = a x? e x dx = π, dire quali delle seguenti formule sono dimensionalmente plausibili: + πa, e ax dx = π/a, π/a, πa. Quale è il risultato corretto? Si noti che m = m ha senso (si pensi al Teorema di Pitagora) Stabilire le dimensioni di a e b nell espressione log(ab) = log a + log b. 7.7 Integrali di funzioni discontinue 7.7. Calcolare 3 x[x] dx Vero o falso che sgn(x) dx = x? In altre parole, è x una primitiva di sgn(x)? 7.8 Funzioni integrali 7.8. Sia f una funzione continua in R e F la sua funzione integrale relativa al punto. Provare che f pari F dispari, f dispari F pari Sia f(x) = x. Disegnare in uno stesso sistema di riferimento i grafici delle funzioni F, F, F Sia f(x) = sin x. Disegnare in uno stesso sistema di riferimento i grafici delle funzioni f e F. Interpretare il secondo in termini di area. Analogo esercizio nel caso di f(x) = cos x.

26 CAPITOLO 7. CALCOLO INTEGRALE 7.9 Integrali generalizzati In tutti gli esercizi seguenti, tracciare, se possibile, un grafico approssimativo delle funzioni integrande negli intervalli specificati dagli integrali Calcolare i seguenti integrali generalizzati (a > ): x log x dx; + e ax dx; + xe x dx; 7.9. Provare che l integrale + specificando in che senso è da interpretare; calcolarlo Quali dei seguenti integrali generalizzati sono convergenti? e x x dx è convergente utilizzando i criteri di convergenza, / x log x dx, / x log x dx, + x log x dx Dire se i seguenti integrali sono convergenti usando i criteri di convergenza e disegnare un grafico approssimativo delle funzioni integrande: π sin x x dx, e x dx, x 3/ + log x x dx Dare un esempio di una funzione f che non tende a per x + ma tale che + f(x) dx è convergente. Provare quindi che se f, se esiste lim x + f(x) = l e infine se + f(x) dx è convergente, allora l = Studiare la funzione g(x) = Studiare la funzione h(x) = x x e t dt. sin t + t dt.

27 Bibliografia [] M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa. Analisi Matematica. Zanichelli, 8. [] B.P. Demidovich. Esercizi e problemi di analisi matematica. Editori Riuniti, 3. [3] E. Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica. Volume. Bollati Boringhieri, 99. [4] I.S. Gradshteyn e I.M. Ryzhik. Table of integrals, series, and products. Academic Press, 994. [5] J. Marsden e A. Weinstein. Calculus I. Springer, 985. [6] S. Salsa e A. Squellati. Esercizi di Analisi matematica. Zanichelli,.