Esercizi di Analisi Matematica

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1 Esercizi di Analisi Matematica Prof. G.Cardone. Numeri comlessi Calcolare le radici comlesse delle seguenti equazioni: z + i z + = z i = i z + i + = (z + ) = i z ( + i) z + i = z = + i i z i + i z + i i = z 4 + i + i = = z (4 + i) z i = = z 4 + i = z i i + z 6 iz = z 4 + i = z 4 + = i Calcolare la arte reale ed immaginaria di: z = ( + i) ( i) 8 : Calcolare le seguenti radici: r i r q 5 + i (i ) 5 :

2 . Cami di esistenza Calcolare il dominio di tutte le seguenti funzioni e di quelle che comaiono in tutti gli esercizi seguenti. f () = f () = f () = q ln (4 arctan + ) f () = cos sin ln ( 4) s tan q cos sin + f () = log ( arcsin ) q log sin r tan f () = cos Studiare il segno delle seguenti funzioni:. Limiti di funzioni Calcolare i seguenti iti: f () = 4 sin 4 sin ln ( + sin ) arctan (e ) ln ( + )! 4 + 4! sin ( ) + sin e tan cos!! ln ( + ) + sin tan tan cos! ln 4 sin + ln + sin! tan arctan ( +)!+! log 4 ( + ) ln ( + ) ln ( sin ) +! + sin! sin log + sin! sin 4!! cos sin sin + + 4! tan sin sin log ( )! +!

3 Determinare gli asintoti al gra co delle seguenti funzioni: + 4 f () = f () = f () = f () = arccos ln 4. Continuità e derivabilità Calcolare l insieme di de nizione e di derivabilità della funzione: Considerata la funzione f () = arccos ( ) + j (i) stabilire se è regolare in (ii) studiare gli eventuali unti di discontinuità della funzione Sia g () = g () nel unto = j arctan t dt. Scrivere l equazione della retta tangente al gra co di Per 4 4 si consideri la funzione F () = sin t dt (i) calcolare F (ii) scrivere l equazione della retta tangente a F () nel unto =. Determinare er quali valori dei arametri a e b la seguente funzione risulta continua e derivabile: a + se f () = + b se < : Classi care le discontinuità della seguente funzione: 8 < cos (ln jj) se > f () = ln ( + arctan ()) e + : se < : + Studiare continuità e derivabilità delle seguenti funzioni: ln jj se 6= sin se 6= f () = f () = se = : se = : f () = jln j

4 5. Studio di funzioni Studiare le seguenti funzioni e disegnarne il gra co:! f () = ( ) ln f () = arctan + f () = ln f () = arccos jj + f () = ln (e ) jj f () = jje jj f () = ln 4 f () = jj 9 f () = arctan f () = ln 4 cos f () = ln ln f () = + f () = f () = ln 4 sin + jln j f () = e + f () = f () = ln j j f () = ln ln + f () = arctan f () = e jj + f () = ln f () = ln e e + lnjj f () = e f () = jln () j f () = arctan f () = e + f () = arctan f () = ( ) f () = e Scrivere l equazione della retta tangente alle curve dell esercizio recedente in un unto qualsiasi del loro gra co. Studiare la monotonia della seguente funzione: f () = sin 4 cos : 4

5 6. Integrali Calcolare i seguenti integrali: + + d arcsin d + sin () r + 4 d + sin d cos d sin cos sin 4 + cos 4 d sin sin + cos d ( ) ( + ) d + + d sin cos + d + d ( ) sin + cos d arctan () ( + ) d e d = = sin + 4 cos d + d arctan + jjd e + 6e + 9e (e ) (e + ) d + ( + ) d arcsin d ( + ) ( 9) ( 4) d arccos d Calcolare l area sottesa dalle seguenti curve nell intervallo a anco indicato: f () = + in [ ] : Calcolare l area della regione iana n T = ( y) R : y ( ) e o + : 5

6 Calcolare i seguenti integrali imrori: e e + + arcsin ln + ln d + ( + + ) d + arctan d ( ) ( + 4) d: + ( ) d ln d: d + d d log + log + + e arcsin( ) d d d e ( + e ) Discutere la convergenza dei seguenti integrali: + sin 5 ln ( + ) ln d + 5 ln ( + ) ( + ) d + arctan d + arctan 5 + sin e d ln ( + ) (e ) sin d 7. Serie Numeriche Studiare le seguenti serie numeriche: X tan cos n n n= X n e n n= Studiare le seguenti serie e determinare la loro somma con un errore E tale che : X ( ) n n E < X ( ) n E < n + n= n= 6

7 8. Serie di otenze e Serie di Taylor Calcolare l insieme di convergenza e la somma delle seguenti serie: ) log 5 log 7 + log 9 log + ::::::::: ) 4! arcsin4 6! arcsin6 + 8! arcsin8 ::: ) 4! ln4 + 6! ln6 + 8! ln8 + ::: 9. Domini di funzioni di due variabili Calcolare il camo di esistenza delle seguenti funzioni: f ( y) = y ln (5 y) f ( y) = ln ( ) ln y + e +y. Equazioni di erenziali Calcolare gli integrali dei seguenti roblemi di Cauchy: ( y + y = y y () = y () = y = e (5 + ) y () = y () = y + y = sin t y () = y () =. Integrali doi Calcolare i seguenti integrali doi nei domini a anco indicati y ddy D = ( y) : y + y D D y ddy D = ( y) R : y y ddy dove D è D Calcolare gli integrali della sezione recedente mediante le formule di Gauss Green. 7

8 . Estremi relativi di funzioni di due variabili Determinare gli eventuali unti di estremo relativo delle seguenti funzioni: f ( y) = ye 4 y 8