Calcolo integrale: esercizi svolti

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1 Calcolo integrale: esercizi svolti Integrali semplici Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione delle funzioni razionali fratte Integrazione con sostituzioni speciali Integrazione di funzioni definite a tratti Integrali definiti Altri esercizi

2 Calcolo integrale: esercizi svolti Integrali semplici Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: a) b) + cos log + sin + c, c R] + sin ] + + log + ) + arctan + c, c R c) sin cos. tan cot + c, c R] a) Consideriamo l integrale indefinito + cos + sin. Poichè + cos è la derivata di + sin, si ha che + cos log + sin + c, c R. + sin b) Consideriamo l integrale indefinito + +. Si ha che ) log + ) + arctan + c, c R. + c) Consideriamo l integrale indefinito sin cos. Poichè sin + cos, si ha che sin cos sin + cos sin cos tan cot + c, c R. cos + sin

3 . Integrazione per parti Integrazione per parti Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per parti: a) arcsin arcsin + + c, c R ] b) log log log + ) ] + c, c R 9 c). ) 5 ) 5 + c, c R ] a) Consideriamo l integrale indefinito arcsin. Integrando per parti si ha che arcsin arcsin arcsin + + c, c R. b) Consideriamo l integrale indefinito log ) Integrando due volte per parti si ha che log log log. log log 9 log + 9 log 9 log c log log + 9 ) + c, c R.

4 4 Calcolo integrale: esercizi svolti c) Consideriamo l integrale indefinito ). Integrando per parti si ha che ) ) + ) ) 5 ) 5 + c, c R. Integrazione per sostituzione Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: a) log log + c, c R ] b) sin + sin log + sin ) + c, c R ] c) log 6 + ) + c, c R ] a) Consideriamo l integrale indefinito log. Posto t log si ha che dt. Quindi log t dt t + c log + c, c R.

5 4. Integrazione delle funzioni razionali fratte 5 b) Consideriamo l integrale indefinito sin sin cos + sin + sin. Posto t sin si ha che dt cos. Quindi sin cos + sin t + t dt log + t ) + c log + sin ) + c, c R. c) Consideriamo l integrale indefinito +. Posto t 6, si ha che 6t 5 dt. Quindi + 6 t t + dt 6 t t + ) dt t + t t +6t 6 log t + +c log 6 + ) +c, c R. 4 Integrazione delle funzioni razionali fratte Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: ] + a) + ) log + arctan + c, c R + b) + ) + log + c, c R ] c) + ] log + log + + c, c R d) + + ) log arctan + + c, c R e) log arctan + ] + c, c R

6 6 Calcolo integrale: esercizi svolti a) Consideriamo l integrale indefinito + + ). Si ha che Quindi + + ) A + B + C + A + B) + C + A + ) { A C B. + + ) + ) log + arctan + + log + arctan log + ) + c log + arctan + c, c R. + b) Consideriamo l integrale indefinito + ). Si ha che + ) A + B + C + + d ) D + E A + B + C D + E + A + B)4 + C D) + A E) D E + ) A B C D E.

7 4. Integrazione delle funzioni razionali fratte 7 Quindi + ) d )] + d + + ) log + log + ) + c log + + c, c R. c) Consideriamo l integrale indefinito Eseguendo la divisione fra i polinomi si ha che Quindi ) Si ha che 5 ) + ). 5 ) + ) A + B A + B) + A B + ) + ) Quindi { A B ) + ) + + ) log + log + + c, c R.

8 8 Calcolo integrale: esercizi svolti d) Consideriamo l integrale indefinito + + ). Si ha che + + ) A + B + C + + A + B) + A + C) + A + + ) A B C. Quindi si ha che + + ) ) log log 6 log + + ) ) ] + essendo ) + +, si ha che log 6 log + + ) 6 ) ] + + posto t +, si ha che dt, quindi log 6 log + + ) 6 t + dt log 6 log + + ) 6 arctan t + c log 6 log + + ) log arctan + + c 6 arctan + + c, c R.

9 4. Integrazione delle funzioni razionali fratte 9 e) Consideriamo l integrale indefinito Si ha che Quindi ) ). A + B + C A + B) + A + C) + 5A + + 5) ) + 4 ) Poichè si ha che Quindi A B C 4. ) log log log + + 5) ) ) ], ) ] arctan c, c R ) log log + + 5) ) log log + + 5) arctan + + c log arctan + + c, c R.

10 Calcolo integrale: esercizi svolti 5 Integrazione con sostituzioni speciali Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti utilizzando la formula di integrazione per sostituzione: a) sin log tan ] + c, c R b) 4 + ] c, c R c). arcsin ] + c, c R + a) Consideriamo l integrale indefinito Posto t tan sin. si ha che dt. Poichè sin t, si ha che +t +t sin t dt log t + c log tan + c, c R. b) Consideriamo l integrale indefinito 4 +. ) Posto sinh t, quindi t settsinh log + + 4, da cui cosh t dt, si ha che sinh t dt e t e t ) dt. Posto z e t, cioè z + + 4, da cui dz e t dt, si ha che 4 + e t e t ) dt + + c, c R. + 4 z z ) dz z + c

11 6. Integrazione di funzioni definite a tratti c) Consideriamo l integrale indefinito + ). Posto sin t, per t π, π ], si ha che t arcsin, cos t sin t e cos t dt. Quindi ) dt t + c arcsin + c, c R. 6 Integrazione di funzioni definite a tratti Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni definite a tratti: e se e ) + c se a) f) sin se > cos + c se >, sin π + π ) se b) f) se >. π cos π ) + π sin π ) + c se c + π se >, c R c R a) Consideriamo la funzione e se f) sin se >. Determiniamo una generica primitiva F di f su R. Si ha che e e e e e + c e ) + c, c R, sin cos + c, c R. Quindi e ) + c se F ) cos + c se >,

12 Calcolo integrale: esercizi svolti dove c, c R sono tali che la generica primitiva F è continua in. Quindi deve essere Poichè F ) c, F ) lim + F ). lim F ) c +, si ha che c c. Quindi, posto c c, si ha che una generica primitiva di f è e ) + c se F ) c R. cos + c se >, b) Consideriamo la funzione sin π + π ) se f) se >. Determiniamo una generica primitiva F di f su R. Si ha che sin π + π ) sin π ) integrando per parti Quindi π cos π ) + π ) sin π ) cos π ) π cos π ) + π sin π ) + c, c R, 8 + 7) c, c R. F ) π cos π ) + π sin π ) + c se c se > dove c, c R sono tali che la generica primitiva F è continua in. Quindi deve essere Poichè F ) c + π, F ) lim + F ). lim + F ) c +,,

13 7. Integrali definiti si ha che c c + π. Quindi, posto c c, si ha che una generica primitiva di f è π cos π ) + π sin π ) + c se F ) c + π se >, c R. 7 Integrali definiti Esercizio. Calcolare i seguenti integrali definiti: a) π 6 π sin 6π 6] b) π sin + sin + sin )sin + ) cos ] 6 π log c) e e log ). )] log a) Consideriamo l integrale definito Si ha che π π 6 π sin. π 6 π 6 π sin 6 π) sin + integrando per parti ] π π 6 6 π) cos 6 6 π 6 6 π) sin π π cos + 6 π) cos ] + 6 cos π π 6 6 ] π 6 π π 6 sin + 5π + 6 sin ] π 6 6π 6.

14 4 Calcolo integrale: esercizi svolti b) Consideriamo l integrale definito π sin + sin + sin )sin + ) Posto t sin, da cui dt cos, si ha che Si ha che π sin + sin + sin )sin + ) cos cos. t + t + t )t + ) dt. t + t + t )t + ) A t + Bt + C t + A + B)t + B + C)t + A C t )t + ) A B C. Quindi si ha che t + t + t )t + ) dt ] log t + t + ) t dt + t ) + dt log + arctan t ] π log. 6 c) Consideriamo l integrale definito e e log ). Posto t log, da cui dt, si ha che e e log ) t dt. Posto y t, da cui t y + e quindi dt ydy, si ha che t dt y y dy ] y log y log ) dy y ).

15 8. Altri esercizi 5 8 Altri esercizi Esercizio. Scrivere lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine della funzione f) arctan e t dt. È ben noto che se g è una funzione continua definita in un intorno di e se α >, allora g) o α ), gt) dt o α+),. Quindi utilizzando gli sviluppi di McLaurin delle funzioni arctan e e s si ottiene f) arctan o 5)) o 5)) e t dt t + t4 + o t 4)) dt t t + t o 5)) o ] o 6),. Ne segue che lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine di f è f) o 6),. + o 5)) 5)) Esercizio. Scrivere lo sviluppo di McLaurin arrestato al nono ordine della primitiva della funzione che si annulla in. f) cos Essendo f continua, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, la funzione F ) ft) dt cos t dt è la primitiva di f che si annulla in. Inoltre, è ben noto che se g è una funzione continua definita in un intorno di e se α >, allora g) o α ), gt) dt o α+),.

16 6 Calcolo integrale: esercizi svolti Quindi utilizzando lo sviluppo di McLaurin della funzione cos s si ottiene F ) cos t dt t 4 + t8 + o t 8)) dt t 5 t5 + ] 7 t9 + o 9)) o 9),. Ne segue che lo sviluppo di McLaurin arrestato al sesto ordine di F è F ) o 9),. Esercizio. Calcolare l area delle seguenti regioni di piano: a) A, y) R :, y ) log )] + log log log b) B {, y) R : 5, } + y log ] c) C, y) R : e, log y 4 + log. e + ) ] 7 a) Posto f) log ) l area di A è data da Area A, osserviamo che per si ha che f). Quindi f) Posto t log, da cui dt, si ha che ) log log t dt ] log log t + log + t log Quindi l area di A è Area A log +log log ). ). log log )] + t log t t + ) dt + t ) + log log. log

17 8. Altri esercizi 7 b) Posto f) +, osserviamo che per 5 si ha che f). Quindi l area di B è data da Area B 5 f) 5 posto t, da cui t + e t dt, 5 + Quindi l area di B è Area B log. t t + ) dt + log t + + ] log t + ). ) t + t + ) dt c) Posto f) Infatti, log 4+ log, osserviamo che per e si ha che f). log 4 + log log 4 + log e le funzioni g) log 4+ log e h) sono crescenti nell intervallo, e] con g) 7, h) e per ogni, e]. Ne segue che g) h) per ogni, e], cioè f) per ogni, e]. Quindi l area di C è data da e ] Area C log e 4 + log posto t log, da cui dt, e log 4 + log ) e t dt ) e t4 + t ) dt 4 + t ) e 4 + t ] Quindi l area di C è Area C e + ) 7. e + ) 7.