Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti

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1 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti 1 Esercizi sulle curve parametriche Esercizi sulla parametrizzazione delle curve Esercizi sulla lunghezza di una curva Esercizi sugli integrali curvilinei Esercizi sugli integrali curvilinei di I specie Esercizi sugli integrali curvilinei di II specie

2 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti 1 Esercizi sulle curve parametriche Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. 1.1 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve Esercizio 1. Stabilire se le seguenti curve parametriche sono regolari: a t t, t 3, t 1, 1 No b t sin t, π t, t 1, 1 Sì c t log 1 + t, t t, e t, t, 3. Sì a La curva : 1, 1 R, t t, t 3, è derivabile con derivata continua t t, 3t. Poichè t, per t interno all intervallo 1, 1, si ha che non è regolare. È invece regolare a tratti. b La curva : 1, 1 R, t sin t, π t, è derivabile con derivata continua t cos t, 1. Poichè t, per ogni t 1, 1, si ha che è regolare. c La curva :, 3 R 3, t log 1 + t, t t, e t, è derivabile con derivata continua t 1 1+t, 1 t, et. Poichè t,, per ogni t, 3, si ha che è regolare. Esercizio. Scrivere le equazioni parametriche delle rette del piano che verificano le seguenti condizioni: a retta passante per P 4, e parallela al vettore u 1, 1 { x 4 t y + t, t R b retta passante per P 3, 5 e parallela all asse delle ascisse { x t 3 y 5, t R

3 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 3 c retta passante per P, e parallela all asse delle ordinate { x y t, t R d retta passante per P 1 3, 1 e P, { x 3 t y 1 + t, t R a La retta passante per P x P, y P parallela al vettore u u x, u y ha equazioni parametriche { x xp + tu x t R. y y P + tu y, per P 4, e u 1, 1 si ha { x 4 t y + t, t R. b Una retta parallela all asse delle ascisse è parallela al vettore u 1,. La retta passante per P x P, y P parallela al vettore u u x, u y ha equazioni parametriche { x xp + tu x y y P + tu y, t R. per P 3, 5 e u 1, si ha { x t 3 y 5, t R. c Una retta parallela all asse delle ordinate è parallela al vettore u, 1. La retta passante per P x P, y P parallela al vettore u u x, u y ha equazioni parametriche { x xp + tu x y y P + tu y, t R. per P, e u, 1 si ha { x y t, t R.

4 4 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti d Una retta passante per i punti P 1 x 1, y 1 e P x, y è parallela al vettore u x x 1, y y 1. per P 1 3, 1 e P, si ottiene u 1, 1. La retta passante per P x P, y P parallela al vettore u u x, u y ha equazioni parametriche { x xp + tu x y y P + tu y, t R. preso P P 1 3, 1 e u 1, 1 si ha { x 3 t y 1 + t, t R. Esercizio 3. Scrivere delle equazioni parametriche della { circonferenza del piano avente x + 3 cos t centro nel punto C, 1 e raggio r 3. t, π y sin t, La circonferenza di centro Cx C, y C e raggio r ha, per esempio, equazioni parametriche { x xc + r cos t y y C + r sin t, t, π. per C, 1 e r 3 si ha { x + 3 cos t y sin t, t, π. Esercizio 4. Scrivere le equazioni parametriche delle rette dello spazio che verificano le seguenti condizioni: a retta passante per P 1,, e parallela al vettore u 1, 3, 1 x t 1 y + 3t, z t, b retta passante per P 1, 3, e parallela all asse z x 1 y 3, z t, t R t R

5 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 5 c retta passante per P 4,, e parallela all asse y d retta passante per P 1 3, 3, 3 e P,, 7 x 4 y t, z, x 3 5t y 3 3t, z 3 1t, t R t R a La retta passante per P x P, y P, z P parallela al vettore u u x, u y, u z ha equazioni parametriche x x P + tu x y y P + tu y, t R. z z P + tu z, per P 1,, e u 1, 3, 1 si ha x t 1 y + 3t, t R. z t, b Una retta parallela all asse z è parallela al vettore u,, 1. La retta passante per P x P, y P, z P parallela al vettore u u x, u y, u z ha equazioni parametriche x x P + tu x y y P + tu y, t R. z z P + tu z, per P 1, 3, e u,, 1 si ha x 1 y 3, z t, t R. c Una retta parallela all asse y è parallela al vettore u, 1,. La retta passante per P x P, y P, z P parallela al vettore u u x, u y, u z ha equazioni parametriche x x P + tu x y y P + tu y, t R. z z P + tu z,

6 6 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti per P 4,, e u, 1, si ha x 4 y t, z, t R. d Una retta passante per i punti P 1 x 1, y 1, z 1 e P x, y, z è parallela al vettore u x x 1, y y 1, z z 1. per P 1 3, 3, 3 e P,, 7 si ottiene u 5, 3, 1. La retta passante per P x P, y P, z P parallela al vettore u u x, u y, u z ha equazioni parametriche x x P + tu x y y P + tu y, t R. z z P + tu z, per P P 1 3, 3, 3 e u 5, 3, 1 si ha x 3 5t y 3 3t, t R. z 3 1t, Esercizio 5. Scrivere una parametrizzazione dei segmenti aventi per estremi le seguenti coppie di punti: a A1, 1 e B, 3 t t + 1, t + 1, t, 1 b A 1, 1 e B, 3 t 3t 1, 1 4t, t, 1 c A, 1 e B1, t t, 1 t, t, 1 d A 1, 1 e B, 3 t 3t 1, 4t 1, t, 1 a Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A e Bx B, y B è :, 1 R definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A. per A1, 1 e B, 3 si ha :, 1 R definita da t t + 1, t + 1.

7 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 7 b Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A e Bx B, y B è :, 1 R definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A. per A 1, 1 e B, 3 si ha :, 1 R definita da t 3t 1, 1 4t. c Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A e Bx B, y B è :, 1 R definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A. per A, 1 e B1, si ha :, 1 R definita da t t, 1 t. d Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A e Bx B, y B è :, 1 R definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A. per A 1, 1 e B, 3 si ha :, 1 R definita da t 3t 1, 4t 1. Esercizio 6. Scrivere una parametrizzazione dei segmenti aventi per estremi le seguenti coppie di punti: a A1, 1, 1 e B, 3, 1 t t + 1, t + 1, 1 t, t, 1 b A 1, 1, 1 e B1,, 3 t t 1, 1 + t, 1 t, t, 1 c A, 1, e B1,, 1 t t, 1 t, t, t, 1 d A 1, 1, e B, 3, t 3t 1, 4t 1,, t, 1

8 8 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti a Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A, z A e Bx B, y B, z B è :, 1 R 3 definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A, z A + tz B z A. per A1, 1, 1 e B, 3, 1 si ha :, 1 R 3 definita da t t + 1, t + 1, 1 t. b Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A, z A e Bx B, y B, z B è :, 1 R 3 definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A, z A + tz B z A. per A 1, 1, 1 e B1,, 3 si ha :, 1 R 3 definita da t t 1, 1 + t, 1 t. c Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A, z A e Bx B, y B, z B è :, 1 R 3 definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A, z A + tz B z A. per A, 1, e B1,, 1 si ha :, 1 R 3 definita da t t, 1 t, t. d Una parametrizzazione del segmento di estremi Ax A, y A, z A e Bx B, y B, z B è :, 1 R 3 definita da t x A + tx B x A, y A + ty B y A, z A + tz B z A. per A 1, 1, e B, 3, si ha :, 1 R 3 definita da t 3t 1, 4t 1,. Esercizio 7. Scrivere una parametrizzazione degli archi di circonferenza del piano di centro O, e raggio r 1, verificanti le seguenti condizioni, percorsi sia in senso orario che antiorario:

9 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 9 a arco del I quadrante di estremi A, 1 e B1, orario: t sin t, cos t, t, π/, antiorario: t cos t, sin t, t, π/ b arco del III quadrante di estremi A 1, e B, 1 orario: t sin t, cos t, t, π/, antiorario: t cos t, sin t, t, π/ c arco del I e II quadrante di estremi A 1, e B1, orario: t cos t, sin t, t, π, antiorario: t cos t, sin t, t, π d arco del I, II e IV quadrante di estremi A, 1 e B 1, orario: t cos t, sin t, t antiorario: t sin t, cos t, t, 3 π,, 3 π a Una parametrizzazione della circonferenza di centro O, e raggio r 1 che induca su di essa un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto 1, è η :, π R definita da ηt cos t, sin t, mentre una parametrizzazione che induca su di essa un verso di percorrenza orario a partire dal punto 1, è δ :, π R definita da δt cos t, sin t. Osserviamo che η π, 1 A. una parametrizzazione dell arco del I quadrante di estremi A, 1 e B1, percorso in senso antiorario è :, π R definita da t η, π t cos t, sin t. Osserviamo inoltre che δ 3 π, 1 A e δπ 1, B. una parametrizzazione dell arco del I quadrante di estremi A, 1 e B1, percorso in senso orario è δ 3 π,π : 3 π, π R. Posto τ t 3 π, si ha che se t 3 π, π, allora τ, π e δt δ π + τ cos π + τ, sin π + τ sin τ, cos τ.

10 1 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti y A,1 1 O, B1, x 1 Fig. 1: L arco del I quadrante di estremi A, 1 e B1, in rosso. un altra parametrizzazione dell arco del I quadrante di estremi A, 1 e B1, percorso in senso orario è ϕ :, π R definita da ϕτ sin τ, cos τ. b Una parametrizzazione della circonferenza di centro O, e raggio r 1 che induca su di essa un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto 1, è η :, π R definita da ηt cos t, sin t, mentre una parametrizzazione che induca su di essa un verso di percorrenza orario a partire dal punto 1, è δ :, π R definita da δt cos t, sin t. Osserviamo che ηπ 1, A e η 3 π, 1 B. una parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A 1, e B, 1 percorso in senso antiorario è η π, 3 π : π, 3 π R. Posto τ t π, si ha che se t π, 3 π, allora τ, π e ηt ηπ + τ cos π + τ, sin π + τ cos τ, sin τ. un altra parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A 1, e B, 1 percorso in senso antiorario è :, π R definita da τ cos τ, sin τ.

11 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 11 y 1 A 1, O, 1 x B, 1 Fig. : L arco del III quadrante di estremi A 1, e B, 1 in rosso. Osserviamo inoltre che δ π, 1 B e δπ 1, A. una parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A 1, e B, 1 percorso in senso orario è δ π,π : π, π R. Posto τ t π, si ha che se t π, π, allora τ, π e π π π δt δ + τ cos + τ, sin + τ sin τ, cos τ. un altra parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A 1, e B, 1 percorso in senso orario è ϕ :, π R definita da ϕτ sin τ, cos τ. c Una parametrizzazione della circonferenza di centro O, e raggio r 1 che induca su di essa un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto 1, è η :, π R definita da ηt cos t, sin t, mentre una parametrizzazione che induca su di essa un verso di percorrenza orario a partire dal punto 1, è δ :, π R definita da δt cos t, sin t. Osserviamo che ηπ 1, A. una parametrizzazione dell arco del I e II quadrante di estremi A 1, e B1, percorso in senso antiorario è

12 1 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti y 1 A 1, O, B1, x 1 Fig. 3: L arco del I e II quadrante di estremi A 1, e B1, in rosso. :, π R definita da t η,π t cos t, sin t. Osserviamo inoltre che δπ 1, A e δπ 1, B. una parametrizzazione dell arco del I e II quadrante di estremi A 1, e B1, percorso in senso orario è δ π,π : π, π R. Posto τ t π, si ha che se t π, π, allora τ, π e δt δπ + τ cos π + τ, sin π + τ cos τ, sin τ. un altra parametrizzazione dell arco del I e II quadrante di estremi A 1, e B1, percorso in senso orario è ϕ :, π R definita da ϕτ cos τ, sin τ. d Una parametrizzazione della circonferenza di centro O, e raggio r 1 che induca su di essa un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto 1, è η :, π R definita da ηt cos t, sin t, mentre una parametrizzazione che induca su di essa un verso di percorrenza orario a partire dal punto 1, è δ :, π R definita da δt cos t, sin t.

13 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 13 y 1 A 1, O, 1 x B 1, Fig. 4: L arco del I, II e IV quadrante di estremi A, 1 e B 1, in rosso. Osserviamo che δ 3 π, 1 A. una parametrizzazione dell arco del I, II e IV quadrante di estremi A, 1 e B 1, percorso in senso orario è :, 3 π R definita da t δ, 3 πt cos t, sin t. Osserviamo inoltre che η π, 1 A e ηπ 1, B. una parametrizzazione dell arco del I, II e IV quadrante di estremi A, 1 e B 1, percorso in senso antiorario è η π,π : π, π R. Posto τ t π, si ha che se t π, π, allora τ, 3 π e π π π ηt η + τ cos + τ, sin + τ sin τ, cos τ. un altra parametrizzazione dell arco del I, II e IV quadrante di estremi A, 1e B 1, percorso in senso antiorario è ϕ :, 3 π R definita da ϕτ sin τ, cos τ. Esercizio 8. Scrivere una parametrizzazione degli archi dell ellisse del piano di equazione x + y a b che antiorario: 1, con a, b >, verificanti le seguenti condizioni, percorsi sia in senso orario

14 14 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti a quarto di ellisse del I quadrante orario: t a sin t, b cos t, t, π/, antiorario: t a cos t, b sin t, t, π/ b quarto di ellisse del III quadrante orario: t a sin t, b cos t, t, π/, antiorario: t a cos t, b sin t, t, π/ c semiellisse del I e II quadrante orario: t a cos t, b sin t, t, π, antiorario: t a cos t, b sin t, t, π d arco del I, II e IV di estremi A a, e B, b orario: t a cos t, b sin t, t antiorario: t a sin t, b cos t, t, 3 π,, 3 π a Una parametrizzazione dell ellisse del piano di equazione x a + y b 1, con a, b >, che induca su di esso un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto a, è η :, π R definita da ηt a cos t, b sin t, mentre una parametrizzazione che induca su di esso un verso di percorrenza orario a partire dal punto a, è δ :, π R definita da δt a cos t, b sin t. Osserviamo che η π, b B. una parametrizzazione dell arco del I quadrante di estremi Aa, e B, b percorso in senso antiorario è :, π R definita da t η, π t a cos t, b sin t. Osserviamo inoltre che δ 3 π, b B e δπ a, A. una parametrizzazione dell arco del I quadrante di estremi Aa, e B, b percorso in senso orario è δ 3 π,π : 3 π, π R. Posto τ t 3 π, si ha che se t 3 π, π, allora τ, π e δt δ π + τ a cos π + τ, b sin π + τ a sin τ, b cos τ.

15 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 15 y B,b a O, Aa, x b Fig. 5: L arco del I quadrante di estremi Aa, e B, b in rosso. un altra parametrizzazione dell arco del I quadrante di estremi Aa, e B, b percorso in senso orario è ϕ :, π R definita da ϕτ a sin τ, b cos τ. b Una parametrizzazione dell ellisse del piano di equazione x a + y b 1, con a, b >, che induca su di esso un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto a, è η :, π R definita da ηt a cos t, b sin t, mentre una parametrizzazione che induca su di esso un verso di percorrenza orario a partire dal punto a, è δ :, π R definita da δt a cos t, b sin t. Osserviamo che ηπ a, A e η 3 π, b B. una parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A a, e B, b percorso in senso antiorario è η π, 3 π : π, 3 π R. Posto τ t π, si ha che se t π, 3 π, allora τ, π e ηt ηπ + τ a cos π + τ, b sin π + τ a cos τ, b sin τ.

16 16 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti y b A a, O, a x B b, Fig. 6: L arco del III quadrante di estremi A a, e B, b in rosso. un altra parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A a, e B, b percorso in senso antiorario è :, π R definita da τ a cos τ, b sin τ. Osserviamo inoltre che δ π, b B e δπ a, A. una parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A a, e B, b percorso in senso orario è δ π,π : π, π R. Posto τ t π, si ha che se t π, π, allora τ, π e π π π δt δ + τ a cos + τ, b sin + τ a sin τ, b cos τ. un altra parametrizzazione dell arco del III quadrante di estremi A a, e B, b percorso in senso orario è ϕ :, π R definita da ϕτ a sin τ, b cos τ. c Una parametrizzazione dell ellisse del piano di equazione x a + y b 1, con a, b >, che induca su di esso un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto a, è η :, π R definita da ηt a cos t, b sin t, mentre una parametrizzazione che induca su di esso un verso di percorrenza orario a partire dal punto a, è δ :, π R definita da δt a cos t, b sin t.

17 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 17 y b A a, O, Ba, x b Fig. 7: L arco del I e II quadrante di estremi A a, e Ba, in rosso. Osserviamo che ηπ a, A. una parametrizzazione dell arco del I e II quadrante di estremi A a, e Ba, percorso in senso antiorario è :, π R definita da t η,π t a cos t, b sin t. Osserviamo inoltre che δπ a, A e δπ a, B. una parametrizzazione dell arco del I e II quadrante di estremi A a, e Ba, percorso in senso orario è δ π,π : π, π R. Posto τ t π, si ha che se t π, π, allora τ, π e δt δπ + τ a cos π + τ, b sin π + τ a cos τ, b sin τ. un altra parametrizzazione dell arco del I e II quadrante di estremi A a, e Ba, percorso in senso orario è ϕ :, π R definita da ϕτ a cos τ, b sin τ. d Una parametrizzazione dell ellisse del piano di equazione x a + y b 1, con a, b >, che induca su di essa un verso di percorrenza antiorario a partire dal punto a, è η :, π R definita da ηt a cos t, b sin t,

18 18 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti mentre una parametrizzazione che induca su di essa un verso di percorrenza orario a partire dal punto a, è δ :, π R definita da δt a cos t, b sin t, y b A a, O, a x B, b Fig. 8: L arco del I, II e IV quadrante di estremi A a, e B, b in rosso. Osserviamo che δ 3 π, b B. una parametrizzazione dell arco del I, II e IV quadrante di estremi A a, e B, b percorso in senso orario è :, 3 π R definita da t δ, 3 πt a cos t, b sin t. Osserviamo inoltre che η π, b B e ηπ a, A. una parametrizzazione dell arco del I, II e IV quadrante di estremi A a, e B, b percorso in senso antiorario è η π,π : π, π R. Posto τ t π, si ha che se t π, π, allora τ, 3 π e π π π ηt η + τ a cos + τ, b sin + τ a sin τ, b cos τ. un altra parametrizzazione dell arco del I, II e IV quadrante di estremi A a, e B, b percorso in senso antiorario è ϕ :, 3 π R definita da ϕτ a sin τ, b cos τ.

19 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve 19 *Esercizio 9. Scrivere una parametrizzazione regolare a tratti della curva del piano costituita dai lati del triangolo di vertici A1,, B1, 1, O,, percorsa in senso antiorario a partire da A. 1, t se t < 1 t t, t se 1 t < t, se t 3 y B1, 1 1 O 3 A1, x Le parametrizzazioni dei tre lati del triangolo di vertici A1,, B1, 1, O, percorsi nel verso ABO sono rispettivamente: AB : 1 :, 1 R, 1 t 1, t, BO : :, 1 R, t 1 t, 1 t, OA : 3 :, 1 R, 3 t t,. una parametrizzazione regolare a tratti della curva del piano costituita dai lati del triangolo di vertici A1,, B1, 1, O,, percorsa in senso antiorario a partire da A è :, 3 R definita da 1 t se t < 1 1, t se t < 1 t t 1 se 1 t < t, t se 1 t < 3 t se t 3 t, se t 3. *Esercizio 1. Scrivere una parametrizzazione regolare a tratti della curva dello spazio costituita dai lati del triangolo di vertici A1,,, B,,, C,, 3, percorsa nel verso ABC. 1 t, t, se t < 1 t, 4 t, 3t 3 se 1 t < t,, 9 3t se t 3

20 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti Le parametrizzazioni dei tre lati del triangolo di vertici A1,,, B,,, C,, 3 percorsi nel verso ABC sono rispettivamente: AB : 1 :, 1 R 3, 1 t 1 t, t,, BC : :, 1 R 3, t, t, 3t, CA : 3 :, 1 R 3, 3 t t,, 3 3t. una parametrizzazione regolare a tratti della curva dello spazio costituita dai lati del triangolo di vertici A1,,, B,,, C,, 3, percorsa nel verso ABC è :, 3 R 3 definita da 1 t se t < 1 1 t, t, se t < 1 t t 1 se 1 t <, 4 t, 3t 3 se 1 t < 3 t se t 3 t,, 9 3t se t Esercizi sulla lunghezza di una curva Esercizio 1. Calcolare la lunghezza della curva t t 1, 1 t, + 3 t3, t, 1. Confrontare tale lunghezza con quella del segmento di estremi A e B , AB 3 La curva :, 1 R 3 è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1, t, t,,, per ogni t, 1. Inoltre per ogni t, 1 si ha La lunghezza di è l 1 t 1 + 4t + 4t 4 t + 1. t dt 1 1 t + 1 dt 3 t3 + t 5 3. Osserviamo che la lunghezza del segmento di estremi A 1, 1, e B 1,, 8 3 è AB 3.

21 Esercizi sulla lunghezza di una curva 1 Esercizio. Calcolare la lunghezza della curva t e t, e t +1, t, 1. Confrontare tale lunghezza con quella del segmento di estremi A e B 1. e 1, AB e 1 La curva :, 1 R è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t e t, e t,, per ogni t, 1. Inoltre per ogni t, 1 si ha La lunghezza di è l 1 t e t. t dt 1 e t dt e t 1 e 1. Osserviamo che la lunghezza del segmento di estremi A 1, e B 1 e, e + 1 è AB e 1. Infatti, il sostegno di è proprio il segmento AB. Esercizio 3. Calcolare la lunghezza dei seguenti archi di curva: a t sin t t cos t, t sin t + cos t, t, π π 8 b t cos t, cos t sin t, t, π π c t t 3, t , t, 1 7 d t t, log 1 t, t a, b, 1 < a < b < 1 e t t, t 3, t, 1 4 a b + log 1+b 1 b 1+a log 1 a a La curva :, π R definita da t sin t t cos t, t sin t + cos t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t t sin t, t cos t,, per ogni t, π. Inoltre per ogni t, π si ha La lunghezza di è l π t dt t t. π t dt 1 t π π 8.

22 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti b La curva :, π R definita da t cos t, cos t sin t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t cos t sin t, cos t sin t,, per ogni t, π. Inoltre per ogni t, π si ha t 1. La lunghezza di è l π t dt π dt π. c La curva :, 1 R definita da t t 3, t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 3t, t,, per ogni t, 1. Inoltre per ogni t, 1 si ha La lunghezza di è l 1 t dt t 9t 4 + 4t t 9t t 9t + 4dt 1 9t d La curva : a, b R definita da t t, log 1 t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1, t,, per ogni t a, b. 1 t Inoltre per ogni t a, b, con 1 < a < b < 1, si ha t 1 + 4t 1 t 1 + t 1 t. La lunghezza di è l b a t dt b a 1 + t 1 t dt b a t + 1 dt 1 + t b t log 1 t + log 1 + t a b + log 1 + b a 1 b log 1 + a 1 a. e La curva :, 1 4 R definita da t t, t 3 è regolare a tratti. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1, 3 t 1, per ogni t, 1 4. Inoltre per ogni t, 1 4 si ha La lunghezza di è l 1 4 t dt t t tdt t

23 . Esercizi sugli integrali curvilinei 3 Esercizi sugli integrali curvilinei Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore..1 Esercizi sugli integrali curvilinei di I specie Esercizio 1. Dopo aver verificato che il sostegno delle curve è contenuto nel dominio delle funzioni, calcolare i seguenti integrali curvilinei: a x, t t, t, t, a, a > a 3 1 b 1 y, t sin t, cos t, t, π c d x, 1 + y, t cos t, sin t, t π y, t t, e t, t, log π e f x + y, t cos t + t sin t, sin t t cos t, t, π π 3 1 1, t t, t log t, t 1, x log log log + log log log 1 + g h x + z, t t, 3 t, t 3, t, 1 z, t cos t, sin t, t, t, π π 3 1

24 4 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti a La funzione fx, y x è definita su dom f R. il sostegno di :, a R, t t, t, è evidentemente contenuto in dom f. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1, t, per ogni t, a. Inoltre per ogni t, a si ha che ft f t, t t, t 1 + 4t. f x a ft t dt 1 1 a t t dt a 3 1. b La funzione fx, y 1 y è definita su dom f 1 + 4t 3 a { } x, y R : y 1. La curva :, π R è definita da t sin t, cos t. Posto x, y t, si ha che y cos t 1 per ogni t, π. il sostegno di, Im, è contenuto in dom f. Si osserva che Im è l arco della circonferenza di centro O, e raggio 1 del I e IV quadrante avente per estremi i punti A, 1 e B, 1. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t cos t, sin t, t, π. Inoltre per ogni t, π si ha ft fsin t, cos t 1 cos t sin t, t 1. f π π 1 y ft π t dt 1 cos t dt sin t dt π cos t. c La funzione fx, y x 1+y è definita su dom f R. il sostegno di :, π R, t cos t, sin t, è evidentemente contenuto in dom f. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t sin t, cos t, t, π.

25 Esercizi sugli integrali curvilinei di I specie 5 Inoltre per ogni t, π si ha ft fcos t, sin t f π x 1 + y cos t 1 + sin t, t 1. ft t dt π posto z sin t, da cui dz cos t dt, si ottiene z dz arctan z π 4. cos t 1 + sin t dt d La funzione fx, y y è definita su dom f R. il sostegno di :, log R, t t, e t, è evidentemente contenuto in dom f. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1, e t, t, log. Inoltre per ogni t, log si ha ft f t, e t e t, t 1 + e t. f y log 1 3 ft t dt 1 + e t 3 log log e t 1 + e t dt e La funzione fx, y x + y è definita su dom f R. il sostegno di :, π R, t cos t + t sin t, sin t t cos t, è evidentemente contenuto in dom f. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua. t t cos t, t sin t, t, π. Inoltre per ogni t, π si ha ft f cos t + t sin t, sin t t cos t 1 + t, t t. f π π x + y ft t dt 4t 1 + t dt t 3 π π

26 6 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti } f La funzione fx, y 1 x {x, è definita su dom f y R : x. La curva : 1, R è definita da t t, t log t. x t per ogni t 1,. dom f. Posto x, y t, si ha che il sostegno di, Im, è contenuto in La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua Inoltre per ogni t 1, si ha t 1, 1 + log t, t 1,. ft ft, t log t 1 t, t log t. f 1 x ft t dt log t dt t posto z 1 + log t, da cui dz 1 t dt, si ottiene 1+log z dz. 1 Calcoliamo separatamente + z dz. Posto z sinh u, da cui u sinh 1 z log z z e dz cosh u du, si ha che 1 + z dz f 1+log 1 1 cosh u du 1 u + sinh u cosh u + c z 1 + z + log z z + c, c R. 1 + z dz log log + 1 log 1 + log + 1 z 1 + z + log z + 1+log 1 + z 1 1 log log + g La funzione fx, y, z x + z è definita su dom f R 3. il sostegno di :, 1 R 3, t t, 3 t, t 3, è evidentemente contenuto in dom f. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1, 3 t, 3t,, t, 1.

27 Esercizi sugli integrali curvilinei di I specie 7 Inoltre per ogni t, 1 si ha ft f t, 3 t, t 3 t + t 3, t t + 9t 4. f x + z 1 ft t dt 1 posto z 18t + 9t 4, da cui dz 36 t + t 3 dt, si ottiene t + t t + 9t 4 dt z dz 1 + z h La funzione fx, y, z z è definita su dom f { } x, y, z R 3 : z. La curva :, π R è definita da t cos t, sin t, t. Posto x, y, z t, si ha che z t per ogni t, π. il sostegno di, Im, è contenuto in dom f. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t sin t, cos t, t,, t, π. Inoltre per ogni t, π si ha ft f cos t, sin t, t t, t 1 + 4t. f π z ft t dt t 3 π 1 1 π t 1 + 4t dt 1 + 4π 3 1. Esercizio. Calcolare f nei seguenti casi: a fx, y x + y, è una parametrizzazione del triangolo di vertici A1,, O,, B, b fx, y, z x + y, è una parametrizzazione del segmento di estremi A1, 1, e B,, 3 6

28 8 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti c fx, y xy, è una parametrizzazione del quarto di ellisse del I quadrante di equazione x + y 1, con a, b > aba +ab+b a b 3a+b a La funzione fx, y x+y è continua su R. La curva che parametrizza il bordo del triangolo di vertici A1,, O,, B, 1 è regolare a tratti. Dette 1,, 3 le curve che parametrizzano rispettivamente i lati OA, AB e BO, si ha che f f + f + f. 1 3 Si ha che: 1 :, 1 R, 1 t t,, :, 1 R, 3 :, 1 R, t 1 t, t, 3 t, 1 t. Le tre curve 1,, 3 sono regolari. Infatti, sono derivabili con derivata continua 1 t 1,, t 1, 1, 3 t, 1. Inoltre per ogni t, 1 si ha 1 f 1 t ft, t, f t f1 t, t 1, f 3 t f, 1 t 1 t, f 1 t 1t dt + 1 f f + f + f t dt + 1 f t t dt + 1 t 1, t, 3 t dt + 1 t dt 1 +. f 3 t 3t dt b La funzione fx, y, z x + y è continua su R 3. Una parametrizzazione del segmento di estremi A1, 1, e B,, è :, 1 R 3 definita da t 1 t, 1 + t, t. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1, 1,. Inoltre per ogni t, 1 si ha f ft f1 t, 1 + t, t t 1, t 6. 1 ft t dt 1 6 t 1 dt t

29 Esercizi sugli integrali curvilinei di II specie 9 c La funzione fx, y xy è continua su R. Una parametrizzazione del quarto di ellisse del I quadrante di equazione x + y 1, con a, b > è :, π a b R definita da t a cos t, b sin t. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua Inoltre per ogni t, π si ha t a sin t, b cos t, t ft fa cos t, b sin t ab cos t sin t, t f π, π. a sin t + b cos t. π ft t dt ab cos t sin t a sin t + b cos t dt π ab cos t sin t b + a b sin t dt posto z sin t, da cui dz cos t dt, si ottiene 1 ab z b + a b z dz ab 1 3 a b ab a 3 b 3 3 a b aba + ab + b. 3a + b b + a b z 3 1. Esercizi sugli integrali curvilinei di II specie Esercizio 1. Calcolare F dp nei seguenti casi: a F x, y y, x, t t sin t, 1 cos t, t, π π b F x, y y, x, è una parametrizzazione del semiellisse del I e II quadrante di equazione x + y 1, con a > b >, percorso in senso orario 4 a b 3 ab c F x, y, x, è una parametrizzazione del triangolo di vertici O,, A,, B1, 3 che induce un verso di percorrenza antiorario 3

30 3 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti a La funzione F x, y y, x è continua su R. La curva :, π R definita da t t sin t, 1 cos t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t 1 cos t, sin t, t, π. Inoltre per ogni t, π si ha F t t F t sin t, 1 cos t 1 cos t, sin t integrando per parti 1 + cos t, t sin t 1 cos t, sin t 1 + cos t1 cos t + t sin t sin t t sin t. F dp π F t t dt π π π t cos t + cos t dt π. t sin t dt b La funzione F x, y y, x è continua su R. Una parametrizzazione del semiellisse del I e II quadrante di equazione x + y a b orario, è :, π R definita da 1, con a, b >, percorso in senso t a cos t, b sin t. La curva è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t a sin t, b cos t, t, π. Inoltre per ogni t, π si ha F t t F a cos t, b sin t a sin t, b cos t b sin t, a cos t a sin t, b cos t ab sin 3 t + a b cos 3 t. F dp π π F t t dt ab b sin 3 t + a cos 3 t dt.

31 Esercizi sugli integrali curvilinei di II specie 31 Osserviamo che π cos 3 t dt. Infatti, π π cos 3 π t dt cos 3 t dt + cos 3 t dt π posto nel secondo integrale τ π t, da cui dτ dt, si ottiene π cos 3 t dt π cos 3 π τ dτ In modo del tutto analogo si prova che π sin 3 t dt π π π F dp ab b sin 3 t + a cos 3 t ab π cos 3 t dt sin 3 t dt. π dt ab π sin t 1 cos t dt ab cos t + 1 π 3 cos3 t cos 3 τ dτ. sin 3 t dt 4 3 ab. c La funzione F x, y, x è continua su R. La curva che parametrizza il bordo del triangolo di vertici O,, A,, B1, 3 è regolare a tratti. Dette 1,, 3 le curve che parametrizzano rispettivamente i lati OA, AB e BO, nel verso OAB, si ha che Si ha che: F dp F dp + F dp + F dp :, 1 R 1 t t,, :, 1 R 3 :, 1 R t t, 3t, 3 t 1 t, 3 3t. Le tre curve 1,, 3 sono regolari. Infatti, sono derivabili con derivata continua 1 t,, t 1, 3, 3 t 1, 3. Inoltre per ogni t, 1 si ha F 1 t 1t F t,,, t,, F t t F t, 3t 1, 3, t 1, 3 3 t, F 3 t 3t F 1 t, 3 3t 1, 3, 1 t 1, 3 31 t. F dp F dp + F dp + F dp 1 3

32 3 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti F 1 t 1t dt + F t t dt + F 3 t 3t dt 1 3 t dt t dt 3 1 t t 1 3. Esercizio. Calcolare a F x, y, z F dp nei seguenti casi: x, 1, 4z x + y + z + 1, t t, t 3, t, t, log 45 b F x, y, z x y, zx, x, t 1 + cos t, sin t, sin t, t, π 3π c F x, y, z y, z, x, t a cos t, a sin t, b, t, π, a, b > πa d F x, y, z y z, z x, x y, t a cos t, a sin t, bt, t, π, a, b > πaa + b x, 1, 4z a La funzione F x, y, z x + y + z + 1 è continua su R3. La curva :, R 3 definita da t t, t 3, t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t Inoltre per ogni t, si ha F t t F 1, 3t, t,, t,. t, t 3, t 1, 3t, t t, 1, 4t t 4 + t 3 + t + 1 1, 3t, t F dp 8t3 + 3t + t t 4 + t 3 + t + 1. F t t dt log t 4 + t 3 + t + 1 log 45. 8t 3 + 3t + t t 4 + t 3 + t + 1 dt

33 Esercizi sugli integrali curvilinei di II specie 33 b La funzione F x, y, z x y, zx, x è continua su R 3. La curva :, π R 3 definita da t 1 + cos t, sin t, sin t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t sin t, cos t, 4 sin t cos t,, t, π. Inoltre per ogni t, π si ha F t t F 1 + cos t, sin t, sin t sin t, cos t, 4 sin t cos t 1 + cos t sin t, 1 + cos t sin t, 1 cos t sin t, cos t, 4 sin t cos t sin t 4 sin t cos t 6 sin t cos t + 4 sin t cos t + 4 sin t cos t..1 π F dp F t t dt π Osserviamo che π sin t 4 sin t cos t 6 sin t cos t + 4 sin t cos t + 4 sin t cos t dt. π 1 π sin t dt t sin t cos t π, sin t cos t dt 1 π sin t dt 1 1 π t sin t cos t π 4, π 1 π sin t cos t dt t 3 sin3, π π Sostituendo in.1 si ottiene sin t cos t dt 1 3 cos3 t π, 1 π sin t cos t dt t sin. F dp 3π. c La funzione F x, y, z y, z, x è continua su R 3. La curva :, π R 3 definita da t a cos t, a sin t, b, con a, b >, è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t a sin t, a cos t,,, t, π.

34 34 Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti Inoltre per ogni t, π si ha F t t F a cos t, a sin t, b a sin t, a cos t, a sin t, b, a cos t a sin t, a cos t, a sin t + ab cos t. F dp π F t t dt π a sin t + ab cos t dt 1 a t sin t cos t + 1 π ab sin t πa. Esercizio 3. Determinare per quali valori di a R si annulla F dp, dove F x, y x + y, axy e t cos t, sin t, t, π. a R La funzione F x, y x + y, axy è continua su R. La curva :, π R definita da t cos t, sin t è regolare. Infatti, è derivabile con derivata continua t sin t, cos t, t, π. Inoltre per ogni t, π si ha F t t F cos t, sin t sin t, cos t 1 + cos t, a cos t sin t sin t, cos t sin t + a 1 cos t sin t. F dp π F t t dt π cos t 1 π 3 a 1 cos3 t. Ne segue che F dp si annulla per ogni a R. sin t + a 1 cos t sin t dt