Campi vettoriali. 1. Sia F (x, y) = ye x i + (e x cos y) j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per F, se esiste.

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1 Campi vettoriali. Sia F (x, y = ye x i + (e x cos y j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per F, se esiste.. Sia F (x, y = xy i + x j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per F, se esiste. 3. Sia F (x, y = xy i+y j un campo vettoriale. Calcolare l integrale di F lungo una circonferenza con centro sull asse y; F ammette potenziale? 4. Sia l arco di ellisse di equazione parametrica x = cos θ, y = 3 sin θ, θ π, e sia F (x, y = (3x + y i + xy j un campo vettoriale. a Calcolare il lavoro di F lungo. b Calcolare un potenziale per F, se esiste. c Utilizzare il potenziale per calcolare nuovamente il lavoro. 5. Sia F (x, y = y x xy (x + y i (x + y j. a Verificare che F è irrotazionale in R \ {(, }. b Calcolare un potenziale per F, se esiste. c Calcolare il lavoro di F lungo l arco di curva di equazione parametrica x = R cos t, y = R sin t, t π. 6. Sia F ( (x, y = y x ( i + xy + j. Verificare che F y è conservativo in E = {(x, y R : x >, y > }, e determinare un potenziale. ( ( 7. Sia F (x, y = x + x 3 i+ y y + x + y 3 j. a Determinare x + y la più ampia regione D R in cui F è di classe C. b Si verifichi che in tale regione F è irrotazionale. 8. Sia F (x, y = xy f(x i y log f(x j. Determinare f C (R in modo che F sia conservativo in R, e determinare il potenziale che si annulla in (,. Si calcoli F ds, dove è una curva congiungente i punti (, e (,. 9. Sia F x y (x, y = x + y i + x + y j. a Determinare un potenziale per F, se esiste. b Si calcoli F ds, dove è la circonferenza di centro l origine e

2 raggio percorsa in senso antiorario. c Si calcoli F ds, dove è l arco di parabola y = + x, x. d Si calcoli F ds, dove è un arco di una qualunque circonferenza centrata nell origine.. Sia F (x, y = y x x + y i + x + y j. a Verificare che F è irrotazionale in R \ {(, }. b Si calcoli F ds, dove è la circonferenza di centro l origine e raggio percorsa in senso antiorario. F è conservativo in R \ {(, }? c Determinare un potenziale per F in E = {(x, y R : y > }.. Sia F (x, y, z = x i + y j + z 3 k. Verificare che F è conservativo in R 3, e determinare un potenziale.. Sia F (x, y, z = f(x, y, z i + z j + y k. Determinare f C (R 3 in modo che F sia conservativo in R 3, e determinare un potenziale. 3. Sia F ( (x, y, z = αxz + yz i+( z log x ( x α y log z j+ x α + y log x y k. z Determinare α R in modo che F sia conservativo in E = {(x, y, z R 3 : x >, z > }. Determinare il potenziale che si annulla in (,,. 4. Sia F (x, y, z = yz i + xz j + xy k. Si calcoli il lavoro del campo lungo la curva composta dalla spezzata rettilinea che unisce (,, a (3,,, (3,, a (, 3, e (, 3, a (, 3,. 5. Nel piano cartesiano sia C la curva composta dall arco di parabola y = x che va da (, a (, 4 e dai segmenti che uniscono (, 4 a (, 4 e (, 4 a (,. Usando il teorema di Gauss-Green, si calcoli il lavoro del campo vettoriale F (x, y = y i + (y x j lungo la curva C percorsa in senso antiorario. 6. Usando la formula di Gauss-Green si calcoli l area dell ellisse E di equazione x a + y b. 7. Sia B un corpo rigido in rotazione attorno all asse z con velocità angolare ω costante. Sia V il campo che assegna ad ogni punto P di B la sua velocità: V = w r, dove ω = ω k, r = OP. Si scriva il campo V in coordinate cartesiane e si calcoli rotv.

3 8. Sia E il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q posizionata nell origine: E Q (x, y, z = a Calcolare modulo e versore di E; 4πɛ b (x + y + z 3 determinare il dominio D di E e dire se è connesso, semplicemente connesso; c dire se E è irrotazionale, solenoidale; d determinare, se esiste, un potenziale U di E in D; e calcolare la circuitazione di E lungo la circonferenza unitaria di centro (,,, contenuta nel piano y =. 9. Il campo magnetico generato in un punto P dello spazio da un filo infinito coincidente con l asse z percorso da una corrente I è: B µ = π I k r, dove r k è il versore dell asse z, r è il vettore HP, H è la proiezione di P sull asse z (legge di Biot-Savart. a Scrivere il campo in componenti cartesiane; b calcolare modulo e versore di B; c determinare il dominio D di B e dire se è connesso, semplicemente connesso; d dire se B è irrotazionale, solenoidale; e stabilire se B è conservativo in D. Suggerimento: calcolare la circuitazione di B lungo una curva chiusa concatenata all asse z (teorema di Ampere.. Calcolare l area della regione A del piano x, y delimitata dalla retta y = x e dalla curva di equazione x = t + t, y = t 4 + t, con t [, ].. Calcolare l area della regione A del piano x, y delimitata dalla curva di equazione x = te t, y = te t, con t [, ], e il segmento Γ che congiunge gli estremi di.. Calcolare l area della regione A del piano x, y delimitata dalla curva di equazione x = t cos t, y = t sin t, con t [, π], e l asse x. 3. Dato il campo F (x, y, z = zi + xj + yk, si calcoli il lavoro di F lungo la curva, intersezione del piano z = y con il paraboloide di equazione z = x +y. Soluzioni.. F è irrotazionale in R, infatti F x = F connesso, quindi F è conservativo in R. U(x, y = ye x sin y.. F è irrotazionale in R, infatti F x = F connesso, quindi F è conservativo in R. U(x, y = 3 = ex ; R è semplicemente x dt+ y (e x cos t dt = = x; R è semplicemente x dt+ y x dt = x y.

4 3. L equazione paramentrica di è: x = r cos θ, y = y + r sin θ, θ π; π F ds = [ r cos θ(y + r sin θ sin θ + (y + r sin θr cos θ] dθ =. F non ammette potenziale poiché non è irrotazionale. 4. a L = F ds = 6. b U(x, y = 6. π x [( cos θ+9 sin θ( sin θ+ cos θ sin θ(3 cos θ] dθ = 3t dt+ y xt dt = x 3 +xy. c L = U(, U(, = 5. F F è irrotazionale infatti: x = F = y (x + y 3 (y 3x. b U y = xy (x + y U(x, y = xy (x + y dy + g(x = x + g(x. Imponendo x + y che U x sia uguale alla prima componente del campo si trova che g(x = c, x quindi U(x, y = x + y. c L = U( R, U(R, = R. 6. F F è conservativo in E, infatti E è semplicemente connesso e : x = F = y. U x = y x U(x, y = (y x dx + g(y = y x log x + g(y. Imponendo che U y sia uguale alla seconda componente del campo si trova che g(y = log y, quindi U(x, y = xy log x + log y. Il potenziale si può anche x trovare con gli integrali di linea: U(x, y = ( y t dt + (xt + t dt = x log x + x(y + log y = xy + log y log x + c. 7. F è di classe C in D = R \{(, x = }. b F x = F = 3 xy 3 x + y. F 8. x = F xyf(x = y f (x f(x. Integrando l equazione differenziale si trova f(x = x + c, con c > perché f C (R. Sia ad esempio f(x = x x +. U(x, y = t y t + dt + t log x + dt = y log(x +. F ds = U(, U(, = log. 9. U(x, y = log(x + y, esiste in R \ {(, }. b 4 F ds = perché

5 è una linea chiusa. c log R log R =. F ds = U(, 5 U(, = log 9. d F ds =. a F è irrotazionale in R \ {(, }, infatti F x = F. b F ds = π [ ] sin t cos t cos t + sin ( sin t + t cos t + sin t (cos t dt = π. Poiché l integrale lungo una curva chiusa è non nullo, F non è conservativo in R \ {(, }. c E è semplicemente connesso, dunque F ammette potenziale in E. U(x, y = y F (, t dt + x F (t, y dt = arctan x y.. F è conservativo in R 3, infatti R 3 è semplicemente connesso e : rot F =. U(x, y, z = x t dt + y t dt + z t 3 dt = 3 x3 + y + 4 z4.. Si ha che rotf = f z j f k =, quindi f(x, y, z = g(x. U(x, y, z = x g(t dt + z y dt = x g(t dt + yz. 3. Affinché rotf =, deve essere α =. U(x, y, z = (t + t dt + y ( z log x dt + x + y log x y dt = x z + yz log x y log z. t 4. Il campo non è conservativo. Sia il segmento congiungente (,, con (3,, ; le equazioni parametriche di sono: x = 3t, y =, z =, t. Sia il segmento congiungente (3,, con (, 3, ; le equazioni parametriche di sono: x = 3 t, y = 3t, z = t, t. Sia 3 il segmento congiungente (, 3, con (, 3, ; le equazioni parametriche di 3 sono: x =, y = 3, z = t, t. F ds = F ds + F ds + [ F ds = 3t 3 + 9t(3 t ] dt = Sia D la regione intena alla curva; F ds = ( x F y F dx dy = C D ( 4 ( x y dx dy = (x + y dy dx = 68 D x 5. 5 x

6 6. Sia F = x j, e sia C = E + ; allora le equazioni parametriche di C sono: x = a cos θ, y = b sin θ, θ π, e E = dx dy = ( x F E E π [ y F dx dy = F ds = a cos θ j ( a sin θ i + b cos θ j ] dt = πab. C 7. V = ωy i + ωx j, rot V = w. (Il rotore di un campo di velocità è legato alle rotazioni: le particelle che occupano la posizione P = (x, y, z ruotano attorno all asse parallelo alla direzione del rotore con velocità proporzionale al modulo del rotore. 8. a E = Q 4πɛ x + y + z, vers E E = (x, y, z E = x + y + z ; b D = R 3 \ {(,, }, è connesso e semplicemente connesso; c rote =dive=; d U(x, y, z = Q ; e la circuitazione è nulla poiché il campo 4πɛ x + y + z è conservativo in D. 9. a B = µ ( y π I x + y, x x + y, ; b B = µ π I x + y, vers B = ( B B = y x + y, x ; x + y, c D = R 3 \ {asse z}, è connesso, non semplicemente connesso; d rotb =divb=; e B non ammette potenziale in D: cosideriamo la circonferenza unitaria di centro (,, contenuta nel piano x, y; le equazioni parametriche di sono: x = cos θ, y = sin θ, z =, θ π. Si ha che B ds = µ ( sin θ, cos θ, ( sin θ, cos θ, dθ = µ π π I π π I dθ = µ I, dunque B non è conservativo in D.. La curva ha come estremi l origine e il punto (,, e si trova sotto la bisettrice dato che t + t t 4 + t se t. Il bordo di A è quindi composto da e dal segmento di equazione parametrica x = t, y = t con t. Sia F = x j, applicando Gauss-Green si ha che: A = dx dy = F ds = (t + t(4t 3 + dt t dt = 3.. La curva ha come estremi l origine e il punto (e,, e si trova sopra il e segmento dato che te t e tet se t. Sia F = x j, applicando Gauss- 6 A + A

7 Green si ha che: A = et e dt = 3. A dx dy = + A F ds = te t (e t te t dt +. La curva ha come estremi l origine e il punto ( π,, e si trova sopra l asse x. Sia F = x j, applicando Gauss-Green si ha che: A = dx dy = A π π π F ds = t cos t(sin t+t cos t dt+ t dt = t cos tdt+ t cos t sin tdt = + A π t [sin t cos t + t] π t π (sin t cos t + tdt + t cos t sin tdt = π Se (x, y, z, (x, y soddisfa l equazione: x +y y =, che rappresenta una circonferenza di centro (, e raggio. Una parametrizzazione di è: x(t = cos t, y(t = + sin t, z(t = + sin t, con t π. Il lavoro π vale: [ ( + sin t( sin t + cos t cos t + ( + ] sin t cos t dt = π. π 7